1.4: Profundidad real y aparente

Cuando miramos hacia abajo en una piscina de agua desde arriba, la piscina se ve menos profunda de lo que realmente es. La Figura I.6 muestra la formación de una imagen virtual de un punto en el fondo de la piscina por refracción en la superficie.

El diámetro de la pupila del ojo humano está en el rango de 4 a 7 mm, por lo que, cuando estamos mirando hacia abajo en una piscina (o de hecho mirando cualquier cosa que no esté muy cerca de nuestros ojos), los ángulos involucrados son pequeños. Así en la Figura I.6 se le pide que imagine que todos los ángulos son pequeños; en realidad dibujarlos pequeños haría para un dibujo muy estrecho. Como los ángulos son pequeños, puedo aproximar la ley de Snell:

\[\begin{align} n &= \frac{\sin \theta '}{\sin \theta} \label{eq2} \\[4pt] & \approx \dfrac{ \tan \theta ' }{ \tan \theta } \label{eq:1.4.1} \end{align} \]

y por lo tanto

\[ \frac{\text{real depth}}{\text{apparent depth}}=\frac{h}{h'}=\frac{\tan \theta'}{\tan \theta} = n. \label{eq:1.4.2} \]

Para el agua,\(n\) se trata\(\frac{4}{3}\), de manera que la profundidad aparente es aproximadamente\(\frac{3}{4}\) de la profundidad real.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Un astrónomo coloca una película fotográfica, o un CCD, en el foco principal de un telescopio. Entonces decide insertar un filtro de vidrio, de índice de refracción\(n\) y espesor\(t\), frente a la película (o CCD). ¿En qué dirección debe mover la película o CCD, y en cuánto, para que la imagen permanezca enfocada?

Ahora bien, si la ley de Snell realmente estuviera dada por Ecuación\(\ref{eq:1.4.1}\), todos los rayos refractados del objeto, cuando se producen al revés, parecerían divergir de un solo punto, a saber, la imagen virtual. Pero la ley de Snell es realmente Ecuación\ ref {eq2}, entonces, ¿qué pasa si no hacemos la aproximación de ángulo pequeño?

Tenemos

\[ \dfrac{h}{h'} = \frac{\tan \theta'}{\tan \theta}\]

y, si aplicamos la identidad trigonométrica

\[\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1- \sin^2 \theta}} \]

y aplicar la ley de Snell (Ecuación\ ref {eq2}), encontramos que

\[ \frac{h}{h'} = \frac{n \cos \theta}{\sqrt{1-n^2 \sin^2 \theta}} \label{eq:1.4.3} \]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar eso, a primer orden en\( \theta \) esa Ecuación\ ref {eq:1.4.3} se convierte\(h/h' = n\).

\(\ref{eq:1.4.3}\)La ecuación muestra\(h'\) como una función de\( \theta \) − y que los rayos refractados, cuando se proyectan hacia atrás, no todos parecen provenir de un solo punto. En otras palabras, un objeto de punto no da como resultado una imagen de punto. La Figura I.7 muestra (para\(n = 1.5\) — es decir, vidrio en lugar de agua) las proyecciones hacia atrás de los rayos refractados para\( \theta '\) = 15, 30, 45, 60 y 75 grados, junto con su envoltura o “curva cáustica”. El “objeto” está en la esquina inferior izquierda del marco, y la superficie es el lado superior del marco.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

(para los matemáticamente cómodos). Mostrar que las ecuaciones paramétricas para la curva cáustica son

\[ x-y \tan \theta' - h \tan \theta = 0 \nonumber\]

y

\[ ny \sec^3 \theta ' + h \sec^3 \theta = 0. \nonumber \]

Aquí,\(y = 0\) se toma como la superficie refractora,\( \theta\) y\( \theta ' \) están relacionados por la ley de Snell.

Así, la refracción en una interfaz plana produce una aberración en el sentido de que la luz de un objeto puntual no diverge de una imagen puntual. Este tipo de aberración es algo similar al tipo de aberración producida por la reflexión de un espejo esférico, y en esa medida la aberración podría denominarse “aberración esférica”. Si un punto en el fondo de un estanque se ve en ángulo con la superficie, en lugar de perpendicular a ella, se produce una aberración adicional llamada “astigmatismo”. Esto se discutirá en el Capítulo 4.