7.2: Matriz dieléctrica
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Transparente significa que toda la energía que entra en un volumen \(V\) sale de él. Llamaremos \(\Sigma\) a la superficie cerrada que confina \(V\). Para formular cuantitativamente que toda la energía que entra sale hacemos la integral de superficie
\[
\int_{\Sigma} \mathbf{n}_{\Sigma} \cdot\langle\mathbf{S}\rangle d s=0 \notag
\]
\(\left(\mathbf{n}_{\Sigma}\right.\) es el vector normal a al superficie y \(d s\) un elemento diferencial de ella). Cualquier superficie debe cumplir esta condición, que por el teorema de GaUss se reduce a
\[
\nabla \cdot\langle\mathbf{S}\rangle=0 \notag
\]
el promedio del vector de POYNTING vale, para ondas armónicas
\[
\langle\mathbf{S}\rangle=\frac{1}{2} \Re\left\{\mathbf{E} \wedge \mathbf{H}^{*}\right\} \notag
\]
Procedamos por partes. Utilizando una igualdad vectorial
\[
\nabla\left(\mathbf{E} \wedge \mathbf{H}^{*}\right)=\mathbf{H}^{*} \nabla \wedge \mathbf{E}-\mathbf{E} \nabla \wedge \mathbf{H}^{*} \notag
\]
y los rotacionales
\[
\begin{aligned}
&\nabla \wedge \mathbf{E}=i \omega \mu \mathbf{H} \\
&\nabla \wedge \mathbf{H}=-i \omega \mathbf{D}
\end{aligned}
\]
dados por las ecMm obtenemos
\[
\nabla \cdot\langle\mathbf{S}\rangle=-\frac{i \omega}{4} \sum_{k, l}\left(\epsilon_{k l}^{*}-\epsilon_{l k}\right) E_{k} E_{l}^{*} \notag
\]
donde \(k, l\) recorren las coordenadas \(x, y, z\). Esto debe ser cero para toda onda, porque se trata de una propiedad intrínseca del material, lo que conduce a
\[
\epsilon_{k l}^{*}=\epsilon_{l k} \notag
\]
es decir \(\epsilon^{+}=\epsilon\) : la matriz dieléctrica es hermítica (puede tener elementos complejos, pero debe cumplir esas relaciones). Lo que sabemos es que por ser hermítica, la matriz se puede diagonalizar a una matriz con elementos sólo reales (autovalores reales) cuyos autovectores son ortogonales.