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# 10.8: Red de difracción. Poder resolutivo

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Encontraremos analogías con el problema de interferencia de infinitas ondas representado por un FABRY-PEROT. El objetivo es obtener algo que en su parte de interferencia se comporte como el FP. El montaje se muestra en la figura 10.23. Cada rendija la identificaremos por un $$\Sigma_{i}$$. La distancia entre las rendijas es siempre la misma, $$d$$. La oap se aproxima formando un ángulo $$\theta$$ con el eje $$z$$. Se puede decir que $$\mathbf{k} \in \xi z\left(k_{y}=0\right)$$, $$k_{x}=k \sin \theta .$$

Observamos la onda difractada sobre una pantalla que podemos parametrizar por coordenadas lineales (como $$x^{\prime}$$ ) o angulares (como $$\left.\theta^{\prime}\right)$$.

La integral que aparece en la aproximación de FF la simbolizaremos por $$\int$$. Esta integral debe estar extendida a $$\bigcup_{j} \Sigma_{j}$$, es decir

$\hat{u} \propto \int_{\bigcup_{j=1}^{N} \Sigma_{j}}=\sum_{j=1}^{N} \int_{\Sigma_{j}} \notag$

haciendo las mismas operaciones de cambio de variable que con la doble rendija, lo que obtenemos es una serie de fases que salen de las integrales

$\hat{u} \propto \int_{\Sigma_{1}}+e^{-i \varphi} \int_{\Sigma_{1}}+e^{-2 i \varphi} \int_{\Sigma_{1}}+\ldots+e^{-i(N-1) \varphi} \int_{\Sigma_{1}} \notag$

(el factor que cambia en el exponente es debido a que vamos pasando de $$d$$ a $$2 d$$ a $$3 d$$, etc.). En general

$\begin{gathered} \hat{u} \propto\left(1+e^{-i \varphi}+\ldots+e^{-i(N-1) \varphi}\right) \int_{\Sigma_{1}} \\ \propto(\operatorname{sinc}(\phi)) \times \sum_{j=1}^{N} e^{-i(j-1) \varphi} \end{gathered}$

lo que cambia respecto a la doble rendija es que tenemos un primer factor que es interferencia de $$N$$ ondas, y no de dos. Por otra parte, no es exactamente como el FP, puesto que en este teníamos $$\infty$$ ondas interfiriendo. $$Y$$ el otro factor es la difracción de una sola onda, que modula la inteferencia del resto.

Las $$\phi$$ y $$\varphi$$ son las mismas variables que en la doble rendija. Sumando la serie geométrica

$\hat{u}=\frac{1-e^{-i N \varphi}}{1-e^{-i \varphi}} \operatorname{sinc}(\phi) \notag$

$I\left(x^{\prime}\right) \propto\left(\frac{\sin \left(N \frac{\varphi}{2}\right)}{\sin \frac{\varphi}{2}}\right)^{2} \times \operatorname{sinc}^{2} \phi \notag$
tenemos un factor $$I_{d}$$ de interferencia de $$N$$ ondas y otro de difracción, ya conocido: $$I_{a}$$.