10.8: Red de difracción. Poder resolutivo
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Observamos la onda difractada sobre una pantalla que podemos parametrizar por coordenadas lineales (como \(x^{\prime}\) ) o angulares (como \(\left.\theta^{\prime}\right)\).
La integral que aparece en la aproximación de FF la simbolizaremos por \(\int\). Esta integral debe estar extendida a \(\bigcup_{j} \Sigma_{j}\), es decir
\[
\hat{u} \propto \int_{\bigcup_{j=1}^{N} \Sigma_{j}}=\sum_{j=1}^{N} \int_{\Sigma_{j}} \notag
\]
haciendo las mismas operaciones de cambio de variable que con la doble rendija, lo que obtenemos es una serie de fases que salen de las integrales
\[
\hat{u} \propto \int_{\Sigma_{1}}+e^{-i \varphi} \int_{\Sigma_{1}}+e^{-2 i \varphi} \int_{\Sigma_{1}}+\ldots+e^{-i(N-1) \varphi} \int_{\Sigma_{1}} \notag
\]
(el factor que cambia en el exponente es debido a que vamos pasando de \(d\) a \(2 d\) a \(3 d\), etc.). En general
\[
\begin{gathered}
\hat{u} \propto\left(1+e^{-i \varphi}+\ldots+e^{-i(N-1) \varphi}\right) \int_{\Sigma_{1}} \\
\propto(\operatorname{sinc}(\phi)) \times \sum_{j=1}^{N} e^{-i(j-1) \varphi}
\end{gathered}
\]
lo que cambia respecto a la doble rendija es que tenemos un primer factor que es interferencia de \(N\) ondas, y no de dos. Por otra parte, no es exactamente como el FP, puesto que en este teníamos \(\infty\) ondas interfiriendo. \(Y\) el otro factor es la difracción de una sola onda, que modula la inteferencia del resto.
Las \(\phi\) y \(\varphi\) son las mismas variables que en la doble rendija. Sumando la serie geométrica
\[
\hat{u}=\frac{1-e^{-i N \varphi}}{1-e^{-i \varphi}} \operatorname{sinc}(\phi) \notag
\]
haciendo el módulo al cuadrado y sacando factor común
\[
I\left(x^{\prime}\right) \propto\left(\frac{\sin \left(N \frac{\varphi}{2}\right)}{\sin \frac{\varphi}{2}}\right)^{2} \times \operatorname{sinc}^{2} \phi \notag
\]
tenemos un factor \(I_{d}\) de interferencia de \(N\) ondas y otro de difracción, ya conocido: \(I_{a}\).