1.18: Presión de Radiación (P)

Los fotones llevan impulso\(h/\lambda\) y por lo tanto ejercen presión. La presión es la tasa de cambio de momento (es decir, fuerza) por unidad de área.

La presión\(P\) ejercida por la radiación (en\(\text{N m}^{-2}\), o\(\text{Pa}\)) está relacionada con la densidad\(u\) de energía de la radiación (in\(\text{J m}^{-3}\)) por

\[P=2u \tag{1.18.1} \label{1.18.1}\]

\[P=u \tag{1.18.2} \label{1.18.2}\]

\[P=u/3 \tag{1.18.3}\label{1.18.3}\]

o

\[P = u/6 \tag{1.18.4}\label{1.18.4}\]

dependiendo de las circunstancias!

Primero, podemos imaginar un haz paralelo de fotones que han recorrido un largo camino desde su fuente original. Por ejemplo, podrían ser fotones que han llegado a un cometa desde el Sol, y están a punto de sacar material del cometa para formar la cola del cometa. Cada uno de ellos viaja con velocidad\(c\). Suponemos que hay\(n\) de ellos por unidad de volumen, y por lo tanto el número de ellos por unidad de área que llegan por unidad de tiempo es\(nc\). Cada uno de ellos lleva impulso\(h/\lambda\). [Al igual que en la sección 1.17 no es necesario que todos lleven el mismo impulso. El impulso total es la suma de cada uno.] La tasa de llegada de impulso por unidad de área es\(nhc/\lambda = nh\nu\). Pero\(h\nu\) es la energía de cada fotón, por lo que la tasa de llegada de impulso por unidad de área es igual a la densidad de energía. (Verifique que estos sean dimensionalmente similares). Si todos los fotones se pegan (es decir, si son absorbidos), la tasa de cambio de impulso por unidad de área (es decir, la presión) es igual a la densidad de energía (Ecuación\(\ref{1.18.2}\)); pero si se reflejan elásticamente, la tasa de cambio de impulso por unidad de área es el doble de la densidad de energía (Ecuación\(\ref{1.18.1}\)).

Si la radiación es isotrópica, la situación es diferente. La radiación puede ser aproximadamente isotrópica profunda en la atmósfera de una estrella, aunque me imagino que no es completamente isotrópica, porque seguramente habrá un gradiente de temperatura en la atmósfera. Supongo que para que la radiación sea verdaderamente isotrópica, tendrías que ir al centro mismo de la estrella.

Partimos de la Ecuación 1.17.4, que da la velocidad a la que los fotones llegan a un punto por unidad de área. (“en un punto por unidad de área”? ¡Esto tiene sentido solo si se tiene en cuenta el significado de “por unidad”!) Si la energía de cada fotón es\(\text{E}\), el impulso de cada uno es\(\text{E}/c\). (Esta es la relación, desde la relatividad especial, entre la energía y el impulso de una partícula de masa de reposo cero.) Sin embargo, es el componente normal del momento el que contribuye a la presión, y el componente normal de cada fotón lo es\((\text{E} \cos \theta)/c\). La velocidad a la que llega este componente normal de impulso por unidad de área se encuentra multiplicando el integrando en la Ecuación 1.17.4 por esta. Teniendo en cuenta que\(n\text{E}\) es la densidad energética\(u\), obtenemos

\[\frac{u}{4\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \sin \theta \cos^2 \theta \ d\theta d\phi. \tag{1.18.5} \label{1.18.5}\]

La presión en la superficie es la velocidad a la que está cambiando el componente normal de este impulso. Si los fotones se pegan, esto es

\[\frac{u}{4\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \sin \theta \cos^2 \theta \ d\theta d\phi = u/6. \tag{1.18.6} \label{1.18.6}\]

Pero si rebotan, es el doble de esto, o\(u/3\).