6.1: Introducción. El oscurecimiento empírico de extremidades

El Sol no es igual de brillante por todas partes, sino que se oscurece hacia la extremidad. El efecto es más pronunciado en el extremo azul del espectro y menos pronunciado en el rojo. Una representación empírica razonablemente buena de la forma del oscurecimiento de las extremidades viene dada por una ecuación para la intensidad específica de la forma

\[I(r) = I(0) \left[ 1 - u \left( 1 - \sqrt{\frac{a^2-r^2}{a^2}} \right) \right] \label{6.1.1}\]

Aquí,\(a\) es el radio del disco solar,\(r\) es la distancia radial desde el centro del disco y\(u\) es el coeficiente de oscurecimiento de las extremidades. Esto a menudo se escribe en términos de\(\theta\) (ver Figura\(\text{VI.1}\)) o de\(\mu = \cos \theta\):

\[\begin{align} I(\theta) &= I(0) \left[ 1-u(1-\cos \theta) \right] \\[5pt] &= I(0) [1-u(1-\mu)] \label{6.1.2} \end{align}\]

\(\text{FIGURE VI.1}\)

Ya sea escrito en forma de Ecuación\(\ref{6.1.1}\) o\(\ref{6.1.2}\),\(I(0)\) es la intensidad específica en el centro del disco. La intensidad específica en la extremidad (donde\(r = a\) o\(\theta = 90^\circ\)) es\(I(0)(1−u)\). El coeficiente de oscurecimiento de las extremidades se puede escribir como

\[u = \dfrac{I(\text{center}) - I(\text{limb})}{I(\text{center})}.\]

\(\ref{6.1.1}\)La ecuación se muestra en forma gráfica en la figura\(\text{VI.2}\) para diferentes valores del coeficiente de oscurecimiento de las extremidades.

\(\text{FIGURE VI.2}\). Ecuación\(\ref{6.1.1}\) para seis coeficientes de oscurecimiento de extremidades, desde la curva más baja hacia arriba,\(u = 1.0, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2 \ \text{and} \ 0.0\). La “curva” para el último de estos (sin oscurecimiento de extremidades) se forma a partir de tres de las líneas limítrofes. La curva para\(u = 1\) es un círculo. El radio del disco se toma para ser\(1\),\(r = 0\) es el centro del disco y\(r = \pm 1\) es la extremidad.

El oscurecimiento de las extremidades es mucho mayor en el violeta y cerca del ultravioleta que en el rojo. Por ejemplo, a una longitud de onda de\(600 \ \text{nm}\),\(u = 0.56\), mientras que en\(320 \ \text{nm} \ u = 0.95\).

Se puede obtener una representación empírica ligeramente mejor del oscurecimiento de las extremidades con dos parámetros,\(u^\prime\) y\(\nu^\prime\):

\[I(\theta) = I(0) \left[ 1 - u^\prime (1 - \cos \theta ) - \nu^\prime \sin^2 \theta \right] \label{6.1.3}\]

¿Por qué se oscurece el Sol hacia la extremidad?

Quizás imaginemos que la superficie del Sol irradia como un cuerpo negro con un resplandor lambertiano uniforme, pero está rodeado de una atmósfera absorbente. La luz de cerca de la extremidad tiene que atravesar una mayor longitud de la atmósfera que la luz de cerca del centro del disco y esto explica el oscurecimiento de la extremidad. Si esa es la explicación, deberíamos poder calcular qué forma de oscurecimiento de extremidades esperar, y ver qué tan bien concuerda con lo que se observa. Si el acuerdo es sólo moderadamente bueno, quizá podríamos suponer que la atmósfera no es sólo una atmósfera absorbente, sino que también emite radiación propia, y podríamos ver si podríamos ajustar la relación de emisión a extinción (la función fuente) para obtener un buen acuerdo con el modelo y la observaciones. O tal vez, en lugar de pensar en una superficie radiante uniforme fuertemente separada de una atmósfera circundante, podemos imaginar que no existe un límite tan agudo, sino que, más bien, la densidad y temperatura de los gases solares aumentan continuamente con la profundidad. En ese caso, supongamos que podemos ver en todas partes a una profundidad óptica dada, digamos a\(\tau = 1\). Cerca de la extremidad, una profundidad óptica de unidad no nos lleva muy profundo (en términos de kilómetros) a la atmósfera, porque estamos mirando casi tangencialmente a la superficie del Sol, por lo que solo alcanzamos niveles relativamente altos en la atmósfera donde la temperatura es relativamente fría. Cerca del centro, en cambio, donde estamos mirando hacia abajo perpendicularmente hacia el Sol, una profundidad óptica de uno llega en profundidad (en términos de kilómetros) a lugares donde la atmósfera es muy calurosa. Así el centro aparece más brillante que la extremidad.

En todo caso, el punto es que, al hacer mediciones precisas de la forma del oscurecimiento de la extremidad y comparar estas mediciones con las predicciones de diferentes modelos, en principio deberíamos poder deducir algo sobre la racha de densidad y temperatura con profundidad óptica en la atmósfera.

Una dificultad práctica de hacer esto es que resulta que es necesario realizar mediciones bastante precisas de la forma exacta de la extremidad oscureciéndose muy cerca de la extremidad para poder distinguir de manera convincente entre diferentes modelos.

¿Hay alguna posibilidad de poder medir el oscurecimiento de las extremidades de las estrellas distintas del Sol? El futuro dirá si los avances en la tecnología, como la óptica adaptativa, pueden permitirnos observar directamente el oscurecimiento de las extremidades de otras estrellas. Otros métodos son posibles. Por ejemplo, la curva de luz detallada de una estrella binaria eclipsante sin duda nos da información sobre el oscurecimiento de la extremidad de la estrella que se está eclipsando. Hay muchos factores que afectan la forma de la curva de luz de una estrella binaria eclipsante, y la interpretación detallada de las curvas de luz no es nada fácil, pero nadie afirmó nunca que la astronomía fuera fácil. En principio, las ocultaciones lunares o asteroides de las estrellas podrían permitirnos determinar el oscurecimiento de las extremidades de una estrella. Otro método posible es a partir de un cuidadoso examen de los perfiles lineales en el espectro de una estrella giratoria. Si una estrella es de brillo uniforme y está girando rápidamente, los perfiles de intensidad de sus líneas espectrales se ensanchan y tienen un perfil semielíptico. Sin embargo, si la estrella se oscurece hacia la extremidad, el perfil de la línea se ve afectado. Si el disco de la estrella está completamente oscurecido (\(u = 1\), de manera que la intensidad específica en la extremidad es cero), es un ejercicio interesante para demostrar que el perfil de la línea es parabólico. Para el oscurecimiento intermedio de las extremidades, el perfil no es elíptico ni parabólico; un análisis exacto de su forma podría en principio indicarnos el coeficiente de oscurecimiento de las extremidades.