6.2: Modelos simples de la atmósfera para explicar el oscurecimiento de las extremidades

1. El Sol consiste en un cuerpo esférico que emite radiación continua de cuerpo negro de radiancia (intensidad específica)\(B_\nu\) rodeado por una atmósfera poco profunda (“plano paralelo”) que absorbe la luz y es de espesor óptico\(\tau(\nu)\) pero no emite. Ver figura\(\text{VI.3}\).

\(\text{FIGURE VI.3}\)

La intensidad específica emergente en el centro del disco es

\[I_\nu(0) = B_\nu e^{-\tau(\nu)} \label{6.2.1}\]

y en una posición en el disco dada por\(\theta\) es

\[I_\nu (\theta) = B_\nu e^{-\tau(\nu) \sec \theta} \label{6.2.2}\]

para que el oscurecimiento de las extremidades sea dado por

\[I_\nu (\theta) = I_v (0) e^{-\tau(\nu)(\sec \theta -1)} \label{6.2.3}\]

Si el oscurecimiento de las extremidades es efectivamente así, entonces una gráfica de\(\ln \left[ I_\nu (\theta) / I_\nu (\theta) \right]\) versus\(1 − \sec \theta\) será una línea recta cuya pendiente será el espesor óptico de la atmósfera. Sin embargo, en la práctica dicha gráfica no produce una línea recta, y una comparación de la Ecuación\(\ref{6.2.3}\), que se muestra en la figura\(\text{VI.4}\), con el oscurecimiento observado de las extremidades que se muestra en la figura\(\text{VI.2}\), sugiere que este no es en absoluto un modelo prometedor.

\(\text{FIGURE VI.4}\)

Ecuación\(\ref{6.2.3}\) para cuatro valores del espesor óptico\(\tau\) de la atmósfera. Las curvas se dibujan para\(\tau = 0.2, 0.4, 0.6\) y\(0.8\). Las curvas no se parecen mucho a las curvas empíricas observadas de figura\(\text{VI.2}\), lo que sugiere que este no es un modelo atmosférico muy bueno.

2. Este segundo modelo es similar al primer modelo, excepto que la atmósfera emite radiación además de absorberla. Suponemos que la superficie del Sol es un cuerpo negro de intensidad específica\(B_1\). El subíndice\(1\) se refiere a la superficie del Sol. He omitido un subíndice\(\nu\). El argumento es el mismo si estamos tratando con la intensidad específica por unidad de intervalo de frecuencia (función Planck) o la intensidad específica integrada (ley de Stefan). Supongamos que la atmósfera, de espesor óptico\(\tau\), es una atmósfera emisora, absorbente, de función fuente\(B_2\), siendo una función de Planck correspondiente a una temperatura más fría que la superficie. La intensidad específica emergente será la suma de la intensidad emergente de la atmósfera (ver Ecuación 5.7.2) y la intensidad específica de la superficie reducida por su paso a través de la atmósfera. En el centro del disco, este será

\[I(0) = B_1 e^{-\tau} + B_2 \left( 1 - e^{-\tau} \right) \label{6.2.4}\]

y en una posición\(\theta\) en el disco será

\[I(\theta) = B_1 e^{-\tau \sec \theta} + B_2 \left(1 - e^{- \tau \sec \theta} \right) \label{6.2.5}\]

y así el oscurecimiento de las extremidades será dado por

\[\frac{I(\theta)}{I(0)} = \frac{(B_1 - B_2) e^{-\tau \sec \theta} + B_2}{(B_1 - B_2) e^{-\tau} + B_2} \label{6.2.6}\]

Al intentar encontrar un buen ajuste entre la Ecuación\(\ref{6.2.6}\) y el oscurecimiento observado de las extremidades, ahora tenemos dos parámetros ajustables,\(\tau\) y la relación\(B_2/B_1\). En la figura\(\text{VI.5}\) se muestra el oscurecimiento de las extremidades para\(\tau = 0.5, 1.0, \ 1.5\) y\(2.0\) para una proporción representativa\(B_2 /B_1 = 0.5\). Si se trata de radiación integrada en todas las longitudes de onda, esto implicaría una temperatura atmosférica igual a\((0.5)^{1/4} = 0.84\) veces la temperatura de la superficie. No existe una combinación de los dos parámetros que dé un oscurecimiento de las extremidades muy similar al oscurecimiento observado de las extremidades, por lo que este modelo no es especialmente bueno.

\(\text{FIGURE VI.5}\)
Ecuación\(\ref{6.2.6}\) para\(B_2/B_1 = 0.5\), y\(\tau = 0.5, \ 1.0, \ 1.5\) y\(2.0\).

3. En este modelo no asumimos una fotosfera dura y rápida rodeada por una atmósfera de función fuente uniforme; más bien, suponemos que la función fuente varía continuamente con la profundidad. En figura\(\text{VI.6}\) dibujamos dos niveles en la atmósfera, a profundidades ópticas\(\tau\) y\(\tau + d\tau\). El lector debe recordar que sólo se trata de una atmósfera “plana paralela”, es decir, una que es superficial en comparación con el radio de la estrella. Por lo tanto, la distancia geométrica entre los dos niveles es muy exagerada en la figura.

\(\text{FIGURE VI.6}\)

La función fuente de la carcasa entre profundidades ópticas\(\tau\) y\(\tau + d\tau\) es\(S(\tau)\). En la dirección\(\theta\) la luminosidad (intensidad específica) de una capa elemental de espesor óptico\(d\tau\) es\(S(\tau)\sec \theta d\tau\).. (No he indicado explícitamente en esta expresión la dependencia de la frecuencia o longitud de onda de la función fuente o profundidad óptica.) Para cuando la radiación de este caparazón alcanza la parte más externa de la atmósfera (es decir, dónde\(\tau = 0\)), se ha reducido en un factor\(e^{-\tau \sec \theta}\). La intensidad específica resultante de la adición de todas esas conchas elementales es

\[I(\theta) = \sec \theta \int_0^\infty S(\tau) e^{-\tau \sec \theta} d\tau \label{6.2.7}\]

Esta importante Ecuación, atribuida a Karl Schwarzschild, da el oscurecimiento de las extremidades en función de la forma en que la función fuente varía con la profundidad óptica. La situación habitual es que es el oscurecimiento de las extremidades lo que se conoce y se requiere encontrar\(S(\tau)\), por lo que la Ecuación\(\ref{6.2.7}\) tiene que resolverse como una Ecuación integral. Esto, sin embargo, no es tan difícil como puede aparecer primero porque se notará que si escribimos\(s = \sec \theta\), la Ecuación es meramente una Transformación de Laplace:

\[I(s) = s \text{L} [S(\tau)] \label{6.2.8}\]

de manera que la función fuente es la transformada inversa de Laplace del oscurecimiento de las extremidades.

Si asumimos que la función fuente se puede expresar como un polinomio en la profundidad óptica:

\[S(\tau) = I(0) \left( a_0 + a_1 \tau + a_2 \tau^2... \right) \label{6.2.9}\]

encontramos para el oscurecimiento de las extremidades (recordando eso\(1/s = \cos \theta\))

\[I(\theta) = I(0) \left( a_0 + a_1 \cos \theta + 2a_2 \cos^2 \theta ...\right) \label{6.2.10}\]

Si comparamos esto con la Ecuación 6.3 de oscurecimiento empírico de extremidades encontramos los\(a\) coeficientes en términos de los coeficientes de oscurecimiento de extremidades, de la siguiente manera:

\[a_0 = 1-u^\prime - \nu^\prime \label{6.2.11}\]

\[a_1 = u^\prime \label{6.2.12}\]

\[a_2 = \frac{1}{2} \nu^\prime \label{6.2.13}\]

Si extendemos este análisis un poco más, encontramos que si la función source viene dada por

\[S(\tau) = I(0) \sum^N_0 a_n \tau^n \label{6.2.14}\]

el oscurecimiento de las extremidades es

\[I(\theta) = I(0) \sum^N_0 u_n \mu^n \label{6.2.15}\]

donde\(\mu = \cos \theta\) y se deja al lector determinar una relación general entre el\(a_n\) y el\(u_n\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Si el oscurecimiento de las extremidades viene dado por la Ecuación\ ref {6.1.2}, calcule la intensidad específica media (resplandor)\(\bar I\) sobre el disco solar en términos de\(I(0)\) y\(u\). Si el oscurecimiento de las extremidades viene dado por la Ecuación\ ref {6.1.3}, ¿cuál es la intensidad específica media en términos de\(I(0), \ u^\prime\) y\(\nu^\prime\)? Este es un cálculo importante porque si, por ejemplo, se necesita calcular la irradiancia de un planeta o un cometa por el Sol, la intensidad del Sol es la media de radiancia multiplicada por el área proyectada del disco solar