7.18: Estructura Hiperfina

Los niveles y líneas de muchos átomos tienen una estructura hiperfina que es detectable solo con alta resolución, lo que puede requerir no solo interferometría sino también una fuente de baja temperatura y baja presión para que el ancho de línea intrínseco sea pequeño. Parte de esta estructura muy fina se debe a la existencia de varios isótopos, y no es técnicamente lo que normalmente se entiende por estructura hiperfina, sino que se denomina mejor como efectos isotópicos, los cuales se tratan en la sección 7.19. La estructura hiperfina propiamente dicha surge de la existencia del espín nuclear, y es este aspecto el que se trata en esta sección.

Los protones y neutrones, los constituyentes de un núcleo atómico, conocidos colectivamente como “nucleones”, tienen, como el electrón, un espín de\(1/2\). Es decir, poseen un impulso angular

\[\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)}\hbar = \frac{1}{2} \sqrt{3} \hbar\]

orientado de tal manera que el componente en alguna dirección puede tener sólo uno de los dos valores\(\pm \frac{1}{2}\hbar\). En consecuencia, un núcleo con un número par de nucleones debe tener un espín integral (que podría ser cero) mientras que un núcleo con un número impar de nucleones debe tener un espín integral más medio, que no puede ser cero. El número cuántico de espín de un núcleo se denota con el símbolo\(I\). La magnitud del momento angular nuclear es\(\sqrt{I(I+1)}\hbar\). Cabe señalar que diferentes isótopos de un elemento dado en general tienen diferentes espines nucleares y en consecuencia diferente estructura hiperfina.

Ya sea que los electrones en un átomo estén acoplados por\(LS\)\(jj\) o por acoplamiento intermedio, el acoplamiento entre los electrones es mucho más fuerte que el acoplamiento débil entre electrones y núcleo. Así, al considerar el acoplamiento entre los electrones y el núcleo, suele\(J\) considerarse como un “buen número cuántico”. Para determinar el momento angular total de un átomo, tenemos que sumar (vectorialmente, y por las reglas de la mecánica cuántica) el momento angular nuclear\(\textbf{I}\) al momento angular electrónico\(\textbf{J}\). Esto forma el momento angular total del átomo, incluyendo el espín nuclear, denotado por el símbolo\(\textbf{F}\):

\[\textbf{F} = \textbf{J} + \textbf{I} . \label{7.18.1} \tag{7.18.1}\]

Esta ecuación es muy similar a la ecuación 7.13.3, excepto que, en la ecuación 7.13.3, aunque\(S\) puede ser integral o integral-más-una mitad,\(L\) es integral; mientras que, en la ecuación 7.18.1 ambas\(J\) y\(I\) tienen la posibilidad de ser integral o integral-más-una mitad. En todo caso, hay\(2 \text{min}\ \left\{ I , J \right\} + 1\) valores de\(F\), pasando de\(|J-I|\) a\(J+1\). Si\(J + I\) es integral, todos los valores de\(F\) son integrales; y si\(J + I\) es integral-más-una mitad, también lo son todos los valores de\(F\). La magnitud de\(\textbf{F}\) es\(\sqrt{F(F+1)}\hbar\).

La naturaleza de la interacción entre\(\textbf{J}\) y\(\textbf{I}\) es la misma que entre\(\textbf{L}\) y\(\textbf{S}\) en\(LS\) acoplamiento, y en consecuencia el espaciamiento de los valores del término de los niveles hiperfinos es similar al descrito por la ecuación 7.17.1 para el espaciamiento de los niveles dentro de un término para \(LS\)-acoplamiento a saber:

\[T = \frac{1}{2} b [F(F+1) - J(J+1) - I(I+1)], \tag{7.18.2} \label{7.18.2}\]

excepto eso\(b<<a\). Se obedece la regla del intervalo de Landé; es decir, la separación de dos niveles hiperfinos dentro de un nivel es proporcional al mayor de los dos\(F\) valores involucrados. Existen reglas de selección similares para las transiciones entre los niveles hiperfinos de un nivel y los de otro, es decir,\(\Delta F\) y\(\Delta J =0\),\(\pm 1\)\( ( 0 \leftrightarrow 0) \) prohibido, y (¡naturalmente!) \(\Delta I = 0\). El cálculo de los espaciamientos e intensidades en la estructura hiperfina de una línea es precisamente como calcular los espaciamientos e intensidades de las líneas dentro de un multiplete en\(LS\) acoplamiento.

Para núcleos con espín cero, el número cuántico\(M\) se asoció con el vector\(\textbf{J}\), el cual se orientó de tal manera que su\(z\) -componente estaba\(M\hbar\), donde\(M\) podría tener cualquiera de los\(2J+1\) valores de\(−J\) a\(+J\). (Aquí estamos describiendo la situación en el modelo vectorial descriptivo cuasimecánico, más que en términos de los posibles valores propios de los operadores cuántico-mecánicos, lo que proporciona la razón real de los valores restringidos de los números cuánticos). Con espín nuclear, sin embargo, el número cuántico\(M\) se asocia con el vector\(\textbf{F}\), que está orientado de tal manera que su\(z\) -componente es\(M\hbar\), donde\(M\) puede tener cualquiera de los\(2F+1\) valores de\(−F\) a\(+F\), siendo estos valores integrales o integral-más-una mitad según\(F\) sea integral o integral-más-una mitad. Así, cada nivel se divide en niveles\(2\text{min} \left\{ J , I \right\} + 1\) hiperfinos, y cada nivel hiperfino es\((2F+1)\) -veces degenerado. Así es el peso estadístico de un nivel\((2I +1)(2J +1)\). (Para una derivación de esto, recordar el Ejercicio en la Sección 7.14 relativo al peso estadístico de un término en\(LS\) acoplamiento.)

Si el espín nuclear es cero, el peso estadístico de un nivel es el mismo que su degeneración, es decir, justo\(2J+1\). Para espín nuclear distinto de cero, la expresión correcta para el peso estadístico es\((2I+1)(2J+1)\). Sin embargo, el peso estadístico a menudo se trata como si fuera meramente\(2J+1\), y de hecho hay muchos contextos en los que esto se puede hacer de manera segura. Volveremos a esto en el Capítulo 9 al discutir las ecuaciones de Boltzmann y Saha.

La estructura hiperfina de las líneas del espectro no suele ser evidente en el espectro visible de las estrellas. Generalmente la resolución es demasiado pobre y las líneas están tan ampliadas por la alta temperatura como para enmascarar cualquier estructura hiperfina. Sin embargo, el espín nuclear de, por ejemplo, el átomo\(^51 \text{V}\) (vanadio) es\(I = 7/2\), y la estructura hiperfina de las líneas, aunque no esté completamente resuelta, es suficiente para hacer que las líneas sean notablemente amplias. En la región radiofónica, la línea más famosa de todas es la línea\(21\) -cm de hidrógeno atómico, y esto implica estructura hiperfina. El término suelo de\(\text{H} \ _\text{I}\) is\(1s \ ^2 S\), que consiste en el nivel único\(^2 S_{1/2}\). Este nivel tiene\(J = \frac{1}{2}\). El espín nuclear (espín de un protón) es\(I = \frac{1}{2}\), por lo que el nivel se divide en dos niveles hiperfinos con\(F = 0\) y\(1\). La línea\(21\) -cm es la transición entre estos dos niveles hiperfinos. La transición está prohibida a la radiación dipolar eléctrica (no hay cambio de paridad) y por lo tanto implica radiación dipolo magnético. Por lo tanto, es intrínsecamente una línea muy débil, pero hay muchísimo espacio ahí fuera con muchísimo hidrógeno en ella.