8.2: Aproximación de Stirling. Multiplicadores Lagrangianos.

En la derivación de la ecuación de Boltzmann, tendremos ocasión de hacer uso de un resultado en matemáticas conocido como aproximación de Stirling para el factorial de un número muy grande, y también necesitaremos hacer uso de un dispositivo matemático conocido como multiplicadores lagrangianos. Estos dos temas matemáticos se describen en esta sección.

8.2i Aproximación de Stirling

La aproximación de Stirling es

\[\ln{N}! \cong N \ln{N} - N . \tag{8.2.1} \label{8.2.1}\]

Su derivación no siempre se da en las discusiones sobre la ecuación de Boltzmann, y por lo tanto ofrezco una aquí.

La función gamma se define como

\[\Gamma (x+1) = \int_0^\infty t^x e^{-t} dt \tag{8.2.2} \label{8.2.2}\]

o, lo que equivale a lo mismo,

\[\Gamma (x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} dt. \tag{8.2.3} \label{8.2.3}\]

En cualquier caso es fácil derivar, por integración por partes, la fórmula de recursión

\[\Gamma (x+1) = x \Gamma (x). \tag{8.2.4} \label{8.2.4}\]

Si\(x\) es un entero positivo,\(N\), esto equivale a

\[\Gamma (N+1) = N!. \tag{8.2.5} \label{8.2.5}\]

Voy a partir de la ecuación\(\ref{8.2.2}\). Es fácil demostrar, por diferenciación con respecto a\(t\), que el integrando\(t^x e^{-t}\) tiene un valor máximo de\((x/e)^x\) dónde\(t = x\). Por lo tanto, voy a dividir ambos lados de la ecuación por este valor máximo, para que el nuevo integrando sea una función que tenga un valor máximo de\(1\) donde\(t = x\):

\[\left( \frac{e}{x} \right)^x \Gamma (x+1) = \int_0^\infty \left( \frac{t}{x} \right)^x e^{-(t-x)} dt. \tag{8.2.6} \label{8.2.6}\]

Ahora haz un pequeño cambio de variable. Vamos\(s = t − x\), para que

\[\left( \frac{e}{x} \right)^x \Gamma (x+1) = \int_{-x}^\infty \left(1+ \frac{s}{x} \right)^x e^{-s} ds = \int_{-x}^\infty f(s) ds. \tag{8.2.7} \label{8.2.7}\]

Teniendo en cuenta que pretendemos obtener una aproximación para grandes valores de\(x\), intentemos obtener una expansión de\(f (s)\) como serie en\(s/x\). Una forma conveniente de obtener esto es tomar el logaritmo del integrando:

\[\ln f(s) = x \ln \left( 1+\frac{s}{x}\right) - s, \tag{8.2.8} \label{8.2.8}\]

y. siempre que\(|s| < x\), la expansión de Maclaurin sea

\[\ln f(s) = x \left( \frac{s}{x} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{s}{x} \right)^2 + ... \right) - s. \tag{8.2.9} \label{8.2.9}\]

Si\(x\) es suficientemente grande, esto se convierte

\[\ln f(s) = - \frac{s^2}{2x}, \tag{8.2.10} \label{8.2.10}\]

para que\[\left( \frac{e}{x} \right)^x \Gamma (x+1) = \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( - \frac{s^2}{2x} \right) ds. \tag{8.2.11} \label{8.2.11}\]

Si bien esta integral no es particularmente fácil, es al menos bien conocida (ocurre en la teoría de la distribución gaussiana, por ejemplo), y su valor lo es\(\sqrt{2\pi x}\). Así tenemos, para grandes\(x\),

\[\Gamma (x+1) = \left( \frac{x}{e} \right)^x \sqrt{2 \pi x} \tag{8.2.12} \label{8.2.12}\]

o, si\(x\) es un número entero,

\[N! = \left( \frac{N}{e} \right)^N \sqrt{2 \pi N} \tag{8.2.13} \label{8.2.13}\]

Al tomar logaritmos de ambos lados, obtenemos

\[\ln{N!} = \left( N + \frac{1}{2} \right) \ln{N} - N + \ln{\sqrt{2 \pi}} , \tag{8.2.14} \label{8.2.14}\]

o, ya que\(N\) es grande:

\[\ln{N!} \cong N \ln{N} - N . \tag{8.2.15} \label{8.2.15}\]

Para muy grandes\(N\) (es decir, si\(\ln{N} >> 1\)), podemos hacer la aproximación adicional

\[\ln{N!} = N \ln N \tag{8.2.16} \label{8.2.16}\]

o

\[\log{N!} = N \log{N}. \tag{8.2.17} \label{8.2.17}\]

Cualquiera de las ecuaciones 8.2.12 - 17 puede denominarse aproximación de Stirling.

El mayor valor\(N\) por el que mi calculadora de mano volverá\(N!\) es\(69\). Para ello, da

\[\ln{N!} = 226.2, \quad N\ln{N} - N = 223.2 .\]

Para números muy grandes, la aproximación será mucho mejor. La aproximación extrema representada por ecuaciones\(\ref{8.2.16}\) o\(\ref{8.2.17}\), sin embargo, se vuelve razonable sólo para números irrazonablemente grandes, como el número de protones en el Universo. Estaremos haciendo uso de la ecuación de aproximación mucho mejor\(\ref{8.2.15}\), que no requiere números tan inimaginablemente enormes.

Para números más pequeños que comúnmente tratamos en espectroscopía (donde normalmente estamos tratando con el número de átomos en una muestra de gas) la siguiente aproximación es notablemente buena:

\[\ln{N!} = \left( N + \frac{1}{2} \right) \ln N - N + \frac{1}{12N} + \ln{\sqrt{2 \pi}} \tag{8.2.18} \label{8.2.18}\]

Esto casi lo mismo que ecuación\(\ref{8.2.14}\), salvo que, al derivarlo, he llevado a expansión de ecuación\(\ref{8.2.9}\) a un término más. Así, a ocho cifras significativas,\(20! = 2.432 902 0 \times 10^{18}\), mientras que la ecuación\(\ref{8.2.18}\) da como resultado\(2.432 \ 902 \ 9 \times 10^{18}\).

8.2ii Multiplicadores Lagrangianos

Este tema se refiere al problema de determinar dónde una función de varias variables es un máximo (o un mínimo) donde las variables no son independientes sino que están conectadas por una o más relaciones funcionales.

Dejar\(\psi = \psi(x, y, z)\) ser alguna función de\(x\),\(y\) y\(z\). Entonces, si\(x\),\(y\) y\(z\) son variables independientes, uno normalmente entendería que, donde\(\psi\) es un máximo, las derivadas son cero:

\[\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial \psi}{\partial z} = 0. \tag{8.2.19} \label{8.2.19}\]

Sin embargo, si\(x\),\(y\) y no\(z\) son completamente independientes, sino que están relacionados por alguna ecuación restrictiva como\(f (x, y,z) = 0\), la situación es un poco menos simple. Me viene a la mente un ejemplo desde la termodinámica. Entropía\(S\),, es una función del estado:\(S = S(P,V ,T)\). Sin embargo, para una sustancia en particular\(P\),,\(V\) y\(T\) están relacionados por una ecuación de estado. En efecto, no podemos determinar\(S\) para el sistema en ningún punto del\(P\),\(V\),\(T\) espacio, pero estamos restringidos a explorar solo en la superficie bidimensional representada por la ecuación de estado.

Volvemos ahora a nuestra función\(\psi\). Si nos movemos por desplazamientos infinitesimales\(dx\),\(dy\),\(dz\) a partir de un punto donde\(\psi\) es un máximo, los cambios correspondientes en ambos\(\psi\) y\(f\) serán cero, y por lo tanto deben cumplirse ambas de las siguientes ecuaciones:

\[d \psi = \frac{\partial \psi}{\partial x} dx + \frac{\partial \psi}{\partial y} dy + \frac{\partial \psi}{\partial z} dz = 0, \tag{8.2.20} \label{8.2.20}\]

\[df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz = 0 . \tag{8.2.21} \label{8.2.21}\]

En consecuencia, cualquier combinación lineal de\(\psi\) y\(f\)\(\phi = \psi + \lambda f\), tal como, donde\(\lambda\) es una constante arbitraria, también satisface una ecuación similar. A la constante\(\lambda\) se le llama a veces “multiplicador indeterminado” o “multiplicador lagrangiano”, aunque a menudo alguna información adicional en un problema real permite identificar la constante -y veremos un ejemplo de ello en la derivación de la ecuación de Boltzmann.

En resumen, las condiciones que\(\psi\) es un máximo si\(x\),\(y\) y\(z\) están relacionadas por una restricción funcional\(f (x, y,z) = 0\) son

\[\frac{\partial \phi}{\partial x} = 0 , \ \frac{\partial \phi}{\partial y} = 0, \ \frac{\partial \phi}{\partial z} = 0, \tag{8.2.22} \label{8.2.22}\]

donde\(\phi = \psi + \lambda f\).

Por supuesto, si\(\psi\) es una función de muchas variables\(x_1\)\(x_2…\), no sólo de tres, y las variables están sujetas a varias restricciones, como\(f = 0, \ g = 0, \ h = 0…\), etc., donde\(f\),,\(g\)\(h\), etc., son funciones que conectan todas o algunas de las variables, las condiciones para \(\psi\)ser un máximo (o mínimo) son

\[\frac{\partial \psi}{\partial x_i} + \lambda \frac{\partial f}{\partial x_i} + \mu \frac{\partial g}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial h}{\partial x_i} + ... = 0, \quad i=1,2,3,... \tag{8.2.23} \label{8.2.23}\]