10.2: Ampliamiento Térmico

Comencemos con una suposición de que el ensanchamiento de la amortiguación de la radiación es insignificante, de manera que, para todos los fines prácticos, la dispersión de las frecuencias emitidas por una colección de átomos en un gas es infinitesimalmente estrecha. El observador, sin embargo, no verá una línea infinitesimalmente delgada. Esto se debe al movimiento de los átomos en un gas caliente. Algunos átomos se mueven aquí, y la longitud de onda se desplazará al azul; otros se están moviendo yon, y la longitud de onda se desplazará al rojo. El resultado será un ensanchamiento de las líneas, conocido como ensanchamiento térmico. Cuanto más caliente sea el gas, más rápido se moverán los átomos, y más amplias serán las líneas. Seremos capaces de medir la temperatura cinética del gas a partir del ancho de las líneas.

Primero, un breve recordatorio de los resultados relevantes de la teoría cinética de los gases, y establecer nuestra notación.

\[\nonumber \begin{align}\text{Notation:}\qquad &c=\text{ speed of light } \\ \nonumber&\mathbf{V}=\text{ velocity of a particular atom }=u\hat{\mathbf{x}}+v\hat{\mathbf{y}}+w\hat{\mathbf{z}} \\ \nonumber &V = \text{ speed of that atom } = \left (u^2+v^2+w^2 \right )^{\frac{1}{2}} \\ \nonumber &V_\text{m} = \text{ modal speed of all the atoms } = \sqrt{\frac{2kT}{m}}=1.414\sqrt{\frac{kT}{m}} \\ \nonumber &\overline V = \text{mean speed of all the atoms }=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=1.596 \sqrt{\frac{kT}{m}}=1.128V_\text{m} \\ \nonumber &V_\text{RMS} =\text{ root mean square speed of all the atoms } =\sqrt{\frac{3kT}{m}}=1.732\sqrt{\frac{kT}{m}}=1.225V_\text{m} \\ \end{align}\]

La distribución Maxwell da la distribución de velocidades. Considera un gas de\(N\) átomos, y deja\(N_VdV\) ser el número de ellos que tienen velocidades entre\(V\text{ and }V + dV\). Entonces

\[\label{10.3.1}\frac{N_VdV}{N}=\frac{4}{\sqrt{\pi}V_\text{m}^3}V^2\text{exp}\left ( -\frac{u^2}{V_\text{m}^2}\right ) dV.\]

Más relevante para nuestro tema actual es la distribución de un componente de velocidad. Escogeremos el\(x\) -componente, y supondremos que la\(x\) dirección es la línea de visión del observador mientras mira a través de una atmósfera estelar. Dejar\(N_udu\) ser el número de átomos con componentes de velocidad entre\(u\text{ and }du\). Entonces la distribución gaussiana es

\[\label{10.3.2}\frac{N_udu}{N}=\frac{1}{\sqrt{\pi}V_\text{m}}\text{exp}\left ( -\frac{u^2}{V_\text{m}^2}\right ) du,\]

lo que, por supuesto, es simétrico\(u = 0\).

Ahora un átomo con un componente de velocidad de línea de visión\(u\) da lugar a un desplazamiento Doppler\(\nu - \nu_0\), donde (siempre que\(u^2 << c^2\))\(\frac{\nu-\nu_0}{\nu_0}=\frac{u}{c}\). Si estamos mirando una línea de emisión, el lado izquierdo de la Ecuación\ ref {10.3.2} nos da el perfil de línea\(I_\nu(\nu)/I_\nu(\nu_0)\) (siempre que la línea sea ópticamente delgada, como siempre se supone en este capítulo a menos que se especifique lo contrario). Así, el perfil de línea de una línea de emisión es

\[\label{10.3.3}\frac{I_\nu(\nu)}{I_\nu(\nu_0)}=\text{exp}\left [ -\frac{c^2}{V_\text{m}^2}\frac{(\nu-\nu_0)^2}{v\nu_0^2}\right ].\]

Este es un perfil gaussiano, o Doppler.

Es fácil demostrar que el ancho completo a la mitad del máximo (FWHM) es

\[\label{10.3.4}w=\frac{V_\text{m}\nu_0}{\text{c}}\sqrt{\ln 16}=1.6651\frac{V_\text{m}\nu_0}{\text{c}}.\]

Este es también el ancho completo a la mitad mínima (fWHm) de una línea de absorción, en unidades de frecuencia. Este es también el FWHM o FWHM en unidades de longitud de onda, siempre que\(\lambda_0\) se sustituyan por\(\nu_0\).

El perfil de una línea de absorción de profundidad central\(d ( = \frac{I_\nu(\text{c})-I_\nu(\nu_0)}{I_\nu(\text{c})})\) es

\[\label{10.3.5}\frac{I_\nu(\nu)}{I_v(c)}=1-d\text{ exp}\left [ -\frac{c^2}{V_\text{m}^2}\frac{(\nu-\nu_0)^2}{\nu_0^2}\right ] ,\]

que también se puede escribir

\[\label{10.3.6}\frac{I_\nu(\nu)}{I_\nu(\text{c})}=1-d \text{exp}\left [ -\frac{(\nu-\nu_0)^2\ln 16}{w^2}\right ].\]

(Verifica que cuando\(\nu - \nu_0 = \frac{1}{2}w\), el lado derecho sea\(1-\frac{1}{2}d\). Haz lo mismo para la ecuación 10.2.22.)

En la figura X.2, dibujo dos perfiles gaussianos, cada uno de la misma anchura equivalente que los perfiles lorentzianos de la figura X.1, y de las mismas dos profundidades centrales, es decir 0.4 y 0.8. Vemos que un perfil gaussiano es “todo núcleo y sin alas”. Una inspección visual de un perfil puede llevar a uno a creer que probablemente sea gaussiano, pero, para estar seguro, se podría escribir la ecuación\ ref {10.3.6} en la forma

\[\label{10.3.7}\ln \left [ \frac{I_\nu(\text{c})-I_\nu(\nu)}{I_\nu(\text{c})}\right ] =\ln d -\frac{(\nu-\nu_0)^2\ln 16}{w^2}\]

y trazar una gráfica del lado izquierdo versus\((\nu - \nu_0)^2\). Si el perfil es verdaderamente gaussiano, esto dará como resultado una línea recta, a partir de la cual\(w\) y se\(d\) puede encontrar desde la pendiente e interceptar.

Integrar el perfil Doppler para encontrar el ancho equivalente es un poco menos fácil que integrar el perfil de Lorentz, pero se deja como un ejercicio para demostrar que

\[\nonumber \begin{align}\text{Equivalent width } &=\sqrt{\frac{\pi}{\ln 16}}\times\text{ central depth }\times \text{FWHm} \\ &=1.064 \times \text{ central depth }\times \text{FWHm}. \\ \end{align}\]

Compárelo con la ecuación 10.2.23 para un perfil de Lorentz.

\(\text{FIGURE X.2}\)

La Figura X.3 muestra un perfil lorentziano (continuo) y un perfil gaussiano (discontinuo), teniendo cada uno la misma profundidad central y la misma fWHm. La relación entre la anchura equivalente lorenziana y la anchura equivalente gaussiana es\(\frac{\pi}{2}\div \sqrt{\frac{\pi}{\ln 16}}=\sqrt{\pi \ln 2}=1.476.\)

\(\text{FIGURE X.3}\)