10.7: Ampliación Instrumental

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Incluso si el perfil de amortiguación de radiación de una línea es despreciable y si está sujeto a un ensanchamiento térmico, de presión y rotacional despreciable, todavía tiene que sufrir la indignidad del ensanchamiento instrumental. Casi cualquier tipo de espectrógrafo ampliará una línea. El ensanchamiento producido por un prisma es inversamente proporcional al tamaño del prisma, y el ensanchamiento producido por una rejilla es inversamente proporcional al número de surcos en la rejilla. Después de que un espectro es producido (y ampliado) por un espectrógrafo, puede ser escaneado por otro instrumento como un microfotómetro, o incluso si se registra digitalmente, se amplía aún más por la función de dispersión puntual. El ensanchamiento instrumental puede determinarse en principio experimentalmente midiendo el perfil producido instrumentalmente de una línea intrínsecamente muy estrecha. Entonces, cuando se utiliza el instrumento para examinar una línea amplia, el perfil observado es la convolución del perfil verdadero y el perfil instrumental. Podemos escribir esto simbólicamente como

\[\label{10.8.1}\text{O}=\text{T}\ast \text{I} .\]

Aquí\(\text{O}, \text{ T and I}\) están respectivamente los perfiles observados, verdaderos e instrumentales, y el asterisco denota la convolución. El problema matemático es desconvolucionar esta ecuación para que, dado el perfil instrumental y el perfil observado, sea posible recuperar el perfil verdadero. Esto se hace haciendo uso de un teorema matemático conocido como teorema de Borel, que es que la transformada de Fourier de la convolución de dos funciones es igual al producto de las transformadas de Fourier de cada una. Eso es

\[\label{10.8.2}\overline{\text{O}}=\overline{\text{T}} \times \overline{\text{I}},\]

donde la barra denota la transformada de Fourier. Los programas informáticos de transformada rápida numérica de Fourier están ahora fácilmente disponibles, por lo que el procedimiento consiste en calcular las transformadas de Fourier del perfil observado e instrumental, dividir la primera por la segunda para obtener\(\overline{\text{T}}\), y luego calcular la transformada inversa de Fourier para obtener el perfil verdadero. Este procedimiento es bien conocido en la radioastronomía, en la que el mapa observado de una región del cielo es la convolución del mapa verdadero con el haz del radiotelescopio, aunque, a diferencia del problema espectroscópico unidimensional el problema radioastronómico correspondiente es bidimensional.