10.9: Apéndice A- Convolución de las Funciones Gaussianas y Lorentzianas

La Ecuación 10.5.6 es

\[\tag{10.A.1}G(x)=G_1(x)\ast G_2(x) = \frac{1}{g_1g_2}\frac{\ln 2}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \text{exp}\left (-\frac{ξ^2\ln 2}{g_1^2}\right )\text{exp}\left (-\frac{(ξ-x)^2\ln 2}{g_2^2}\right )dξ.\]

La integración es sencilla, si se toma lenta y cuidadosamente, siempre que conozcas la integral\(\int_{-\infty}^\infty \text{exp}(-kx^2)dx=\sqrt{\frac{\pi}{k}}\). Va así:

\[\tag{10.A.2}G(x)=\frac{1}{g_1g_2}\frac{\ln 2}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \text{exp}[-(aξ^2+bξ+c)]dξ,\]

donde

\[\nonumber a=\frac{\left (g_1^2+g_2^2 \right ) \ln 2}{g_1^2g_2^2},\quad b=-\frac{x\ln 4}{g_2^2},\quad c=\frac{x^2\ln 2}{g_2^2}.\]

\[\tag{10.A.3}G(x)=\frac{1}{g_1g_2}\frac{\ln 2}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \text{exp}[-a(ξ^2+2Bξ+C)]dξ,\]

donde

\[B=b/(2a),\quad C=c/a.\]

\[\tag{10.A.4}\begin{align} G(x)&=\frac{1}{g_1g_2}\frac{\ln 2}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \text{exp}[-a\{(ξ+B)^2+C-B^2\}]dξ \\ \tag{10.A.5}&=\frac{1}{g_1g_2}\frac{\ln 2}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \text{exp}[-a(ζ^2+C-B^2)]dζ \\ \tag{10.A.6}&=\frac{K\ln 2}{\pi g_1g_2}\int_{-\infty}^\infty \text{exp}\left ( -aζ^2 \right ) dζ = \frac{K\ln 2}{g_1g_2 \sqrt{\pi a}}, \\ \end{align}\]

donde

\[K=\text{exp}[-a (C-B^2)].\]

Ya hemos concluido la integración, salvo que ahora tenemos que recordar lo que eran a, C y B. Cuando hacemos esto, después de un álgebra un poco más cuidadosa llegamos al resultado

\[\tag{10.A.7}G(x)=G_1(x)\ast G_2(x)=\frac{1}{g}\cdot \sqrt{\frac{\ln 2}{\pi}}\text{exp}\left ( -\frac{x^2\ln 2}{g^2}\right ).\]

De manera similar, la ecuación 10.5.10 es

\[\tag{10.A.8}L(x)=L_1(x)\ast L_2(x)=\frac{l_1l_2}{\pi^2}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{ξ^2+l_1^2}\frac{1}{(ξ-x)^2+l_2^2}dξ.\]

Resuelva el integrando en fracciones parciales:

\[\tag{10.A.9}\frac{1}{ξ^2+l_1^2}\frac{1}{(ξ-x)^2+l_2^2}=\frac{Aξ}{ξ^2+l_1^2}+\frac{B}{ξ^2+l_1^2}+\frac{C(ξ-x)}{(ξ-x)^2+l_2^2}+\frac{D}{(ξ-x)^2+l_2^2}.\]

La evaluación de las constantes es sencilla, aunque ligeramente tediosa, por el método habitual de fracciones parciales:

\[\tag{10.A.10}\begin{align}&A=-C=2x\alpha ,\\ &B=(x^2+l_2^2-l_1^2)\alpha, \\ &D=(x^2-l_2^2+l_1^2)\alpha, \\ &\text{where }\alpha = 1/[(x^2+l_2^2+l_1^2)^2-4l_1^2l_2^2 ].\\ \end{align}\]

Ahora

\[\tag{10.A.11}L(x)=\frac{l_1l_2}{\pi^2}\left ( A\int_{-\infty}^\infty \frac{ξdξ}{ξ^2+l_1^2}+B\int_{-\infty}^\infty \frac{dξ}{ξ^2+l_1^2}+C\int_{-\infty}^\infty \frac{(ξ-x)dξ}{(ξ-x)^2+l_2^2}+D\int_{-\infty}^\infty \frac{dξ}{(ξ-x)^2+l_2^2}\right ).\]

A partir de consideraciones de simetría, esto es:

\[\tag{10.A.12}L(x)=\frac{2l_1l_2}{\pi^2}\left ( B\int_0^\infty \frac{dξ}{ξ^2+l_1^2}+D\int_0^\infty \frac{dξ}{ξ^2+l_2^2}\right ).\]

\[\tag{10.A.13}L(x)=\frac{2l_1l_2}{\pi^2}\left (\frac{\pi B}{2l_1}+\frac{\pi D}{2l_2}\right ) =(l_2 B+l_1D)/\pi.\]

Ya hemos completado la integración, salvo que ahora tenemos que recordar qué\(B\) y\(D\) fueron. Cuando hacemos esto, después de un álgebra un poco más cuidadosa llegamos al resultado

\[\tag{10.A.14}L(x)=\frac{l}{\pi}\cdot \frac{1}{x^2+l^2},\]

donde

\[l=l_1+l_2.\]

---

El perfil de Voigt viene dado por la ecuación 10.5.14:

\[\tag{10.A.15}V(x)=\frac{l}{g}\sqrt{\frac{\ln 2}{\pi^2}}\int_{-\infty}^\infty \frac{\text{exp}\left (-[(ξ-x)^2\ln 2 ]/g^2\right )}{ξ^2+l^2}dξ.\]

Para abreviar, voy a escribir la proporción\(l/g\) como\(a\). La relación entre esta relación y la fracción gaussiana\(k_\text{G}\text{ is }a = (1 − k_\text{G})/ k_\text{G} ,\, k_\text{G} = 1/(1 + a)\). En la ecuación anterior,\(x = \lambda - \lambda_0\), y voy a elegir una escala de longitud de onda tal que\(g = 1\); en otras palabras, el intervalo de longitud de onda se va a expresar en unidades de\(g\). Así escribiré la ecuación como

\[\tag{10.A.16}V(x)=a\sqrt{\frac{\ln 2}{\pi^3}}\int_{-\infty}^\infty \frac{\text{exp}\left (-(ξ-x)^2\ln 2\right)}{ξ^2+a^2}dξ.\]

La integración tiene que hacerse numéricamente, y hay un problema en que los límites son infinitos. Podemos lidiar con esto con el cambio de variable\(ξ = a \tan \theta\), cuando la integral se convierte en

\[\tag{10.A.17}V(x)=\sqrt{\frac{\ln 2}{\pi^3}}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\text{exp}[-(a\tan \theta -x)^2\ln 2 ]d\theta .\]

Los límites son ahora finitos, y el integrando es cero en cada límite. El tiempo de cómputos se verá muy disminuido por la sustitución posterior\(t=\tan \frac{1}{2}\theta\), cuando la expresión se convierta

\[\tag{10.A.18}V(x)=\sqrt{\frac{\ln 16}{\pi^3}}\int_{-1}^1\frac{\text{exp}[-\{2at/(1-t^2)-x\}^2\ln 2]}{1+t^2}dt\]

Esto es más rápido que la expresión anterior porque se evita tener que computar la función trigonométrica tan. También podría haberse llegado en un solo paso por medio de la sustitución\(ξ =\frac{2at}{1-t^2}\), aunque tal sustitución puede no haber sido inmediatamente obvia. Al igual que la expresión anterior, los límites son finitos, y el integrando es cero en cada extremo. La integración numérica ahora parecería ser sencilla, aunque todavía puede haber alguna dificultad. Supongamos que uno se está integrando, por ejemplo, por el método de Simpson. Podría surgir una pregunta en cuanto a cuántos intervalos se deben usar. El método de Simpson suele ser muy efectivo con un número notablemente pequeño de intervalos, pero, para una alta precisión, uno puede desear usar un intervalo fino. Si uno usa un intervalo fino, sin embargo, a medida que uno se acerca a cualquiera de los límites, la expresión\(t/(1 - t^2 )\) se vuelve muy grande y, aunque el integrando se vuelve pequeño, una computadora puede ser reacia a devolver un valor para la función exp, y puede entregar un mensaje de error. La mejor manera de lidiar con esa dificultad es establecer el integrando igual a cero siempre que el valor absoluto del argumento de la función exp exceda algún valor por debajo del cual la computadora esté contenta.

Uno podría tener la tentación de reducir la cantidad de cómputos diciendo eso\(\int_{-1}^1=2\int_0^1\), pero esto no es correcto, pues, mientras el perfil de Voigt es simétrico sobre\(x = 1\), el integrando no es simétrico sobre\(t = 0\). Sin embargo, si

\[V(x)=\int_{-1}^1,\text{ and }V_1(x)=\int_{-1}^0,\text{ and }V_2(x)=\int_0^1,\]

es cierto que\(V(x)=V_1(x)+V_2(x)\) y\(V_1(x)=V_2(-x)\), y de ahí eso\(V(x)=V_1(x)+V_1(-x)\) y esto se puede utilizar para economizar en pequeña medida. Todavía es necesario calcular\(V_1(x)\) para todos los valores de\(x\), tanto positivos como negativos, pero el número de pasos de integración para cada punto se puede reducir a la mitad.