10.10: APÉNDICE B- Amortiguación de radiación como funciones de frecuencia angular, frecuencia y longitud de onda

Se me ocurrió mientras preparaba este Capítulo así como los anteriores y siguientes, que a veces he estado usando como argumento la frecuencia angular, a veces la frecuencia, y a veces la longitud de onda. En este Apéndice, reúno las fórmulas sobresalientes para amortiguar la radiación en términos de\(∆ω = ω - ω_0,\, ∆ν = ν - ν_0\text{ and }∆λ = λ - λ_0\). Reproduzco la ecuación 10.2.11 para el coeficiente de absorción para un conjunto de osciladores amortiguados forzados, excepto que sustituyo\(n\), el número por unidad de volumen de osciladores por\(n_1f_{12}\), el número efectivo de átomos por unidad de volumen en el nivel inferior de una línea, y reemplazo la amortiguación clásica constante\(γ\) con\(\Gamma\), que puede incluir un componente de ensanchamiento de presión.

\[\tag{10.B.1}\alpha =\frac{n_1f_{12}\Gamma e^2 \omega^2}{mε_0c[(\omega^2-\omega_0^2)^2+\Gamma^2\omega^2]}\quad \text{m}^{-1}.\]

Debe verificar que las dimensiones de esta expresión son\(L^{-1}\), lo cual es apropiado para el coeficiente de absorción lineal. Podrán notar eso\([e^2 /ε_0] \equiv \text{ML}^3\text{T}^{-2}\text{ and }[\Gamma] \equiv \text{T}^{-1}\). Efectivamente comprobar las dimensiones de todas las expresiones que siguen, en cada etapa.

Podemos escribir\(\omega^2-\omega_0^2=(\omega-\omega_0)(\omega+\omega_0)=∆ \omega (2\omega_0+∆ \omega)\), y la ecuación se convierte

\[\alpha = \frac{n_1f_{12}\Gamma e^2 (\omega_0+∆ \omega)^2}{mε_0 c[(∆ \omega)^2(2\omega_0+∆ \omega)^2+\Gamma^2 (\omega_0 +∆ \omega)^2]}\quad \text{m}^{-1}.\tag{10.B.2}\]

Ahora creo que será de propiedad que el ancho de una línea de espectro es muy, mucho más pequeño que su longitud de onda real, excepto quizás para líneas de hidrógeno extremadamente ampliadas por Stark, de modo que, en las inmediaciones de una línea, se\(∆ω\) puede descuidar en comparación con\(ω_0\); y muy lejos de la línea , donde esto podría no ser así, la expresión es cercana a cero de todos modos. (Ten en cuenta que\(∆ω\) solo puedes descuidar con respecto a\(ω\); ¡no puedes simplemente poner\(∆ω = 0\) donde yace solo en el denominador!) En todo caso, no tengo ningún compunción en absoluto en hacer la aproximación

\[\alpha (∆ \omega)=\frac{n_1f_{12}\Gamma e^2}{4mε_0 c[(∆ \omega)^2+(\frac{1}{2}\Gamma)^2]}\quad \text{m}^{-1}.\tag{10.B.3}\]

El máximo de la\(\alpha (∆ \omega)\) curva es

\[\tag{10.B.4}\alpha(0)=\frac{e^2n_1f_{12}}{mε_0c\Gamma}\quad \text{m}^{-1}.\]

El espesor óptico en el centro de la línea (independientemente de que la línea sea ópticamente delgada o no) es

\[\tag{10.B.5}\tau (0)=\frac{e^2 \mathcal{N}_1f_{12}}{mε_0 c\Gamma}.\]

\(\mathcal{N}_1\)es el número de átomos en el nivel 1 por unidad de área en la línea de visión, mientras que\(n_1\) es el número por unidad de volumen.

El HWHM de la\(\alpha (∆ω)\) curva es

\[\tag{10.B.6}\text{HWHM}=\frac{1}{2}\Gamma \quad\text{rad s}^{-1}.\]

El área bajo la\(\alpha (∆ω)\) curva es

\[\tag{10.B.7}\text{Area}=\frac{\pi e^2 n_1f_{12}}{2mε_0 c}\quad \text{m}^{-1}\text{rad s}^{-1}.\]

Como era de esperar, la zona no depende\(\Gamma\).

Para expresar el coeficiente de absorción en función de la frecuencia, observamos que\(ω = 2π\nu\), y obtenemos

\[\tag{10.B.8}\alpha (∆\nu)=\frac{n_1f_{12}\Gamma e^2}{16\pi^2mε_0 c[(∆\nu)^2+\left (\frac{\Gamma}{4\pi}\right )^2]}\quad \text{m}^{-1}.\]

El máximo de esto es (por supuesto) lo mismo que la ecuación 10.B.4.

El HWHM de la\(\alpha (∆\nu)\) curva es

\[\tag{10.B.9}\text{HWHM}=\Gamma /(4\pi)\quad \text{s}^{-1}.\]

El área bajo la\(\alpha (∆\nu)\) curva es

\[\tag{10.B.10}\text{Area}=\frac{e^2n_1f_{12}}{4mε_0c}\quad \text{m}^{-1}\text{s}^{-1}.\]

\[\tag{10.B.11}\alpha=\frac{n_1f_{12}\Gamma e^2}{mε_0 c}\cdot \left ( \frac{λ^2λ_0^4}{4\pi^2c^2\left (λ_0^2-λ^2 \right )^2+λ^2 λ_0^4\Gamma^2}\right )\quad \text{m}^{-1}.\]

De manera similar a nuestro procedimiento siguiendo la ecuación 10.B.12, escribimos\(λ_0^2-λ^2=(λ_0 -λ)(λ_0 +λ)\), y\(λ=λ_0+∆ λ\), y descuidamos\(∆ λ\) con respecto a\(λ_0\), y obtenemos:

\[\tag{10.B.12}\alpha (∆ λ)=\frac{n_1f_{12}\Gamma e^2}{16\pi^2mε_0c^3}\cdot \left (\frac{λ_0^4}{(∆ λ)^2+\frac{λ_0^4 \Gamma^2}{16\pi^2c^2}}\right )\quad \text{m}^{-1}.\]

El máximo de esto es (por supuesto) lo mismo que la ecuación 10.B.4. (Verificar esto servirá como una comprobación del álgebra.)

El HWHM de la\(\alpha (∆λ)\) curva es

\[\tag{10.B.13}\text{HWHM}=\frac{λ_0^2\Gamma}{4\pi c}\quad \text{m}.\]

El área bajo la\(\alpha (∆λ)\) curva es

\[\tag{10.B.14}\text{Area}=\frac{λ_0^2e^2n_1f_{12}}{4mε_0 c^2}.\]

¿Olvidé anotar las unidades después de esta ecuación?

Estos resultados para\(\alpha\) podrían ser útiles en forma tabular. Para\(\tau\), reemplace\(n_1\text{ by }N_1\).

\[\begin{array}{c c c c}&∆ \omega &∆\nu & ∆ λ \\ &\frac{\Gamma e^2 n_1 f_{12}}{4mε_0 c[(∆ \omega)^2+(\frac{1}{2}\Gamma)^2]} & \frac{\Gamma e^2 n_1 f_{12}}{16\pi^2mε_0 c[(∆\nu)^2+\left (\frac{\Gamma}{4\pi}\right )^2]} & \frac{\Gamma e^2λ_0^4 n_1f_{12}}{16\pi^2 mε_0 c^3 \left [(∆ λ)^2+\frac{λ_0^4\Gamma^2}{16\pi^2c^2}\right ]} \\ \text{Height} & \frac{e^2n_1f_{12}}{mε_0 c\Gamma} & \frac{e^2 n_1 f_{12}}{mε_0c\Gamma}&\frac{e^2 n_1 f_{12}}{mε_0c\Gamma}\\ \text{Area} & \frac{\pi e^2 n_1 f_{12}}{2mε_0 c} & \frac{e^2n_1 f_{12}}{4mε_0 c} & \frac{λ_0^2 e^2 n_1 f_{12}}{4mε_0 c^2} \\ \text{HWMH} & \frac{1}{2}\Gamma & \Gamma/(4\pi) & \frac{λ_0^2 \Gamma}{4\pi c} \\ \end{array}\]

Es de señalar que si el perfil de amortiguación de radiación se ensancha térmicamente, la altura de la curva del coeficiente de absorción disminuye, mientras que el área queda inalterada siempre que la línea sea ópticamente delgada. La situación ópticamente gruesa se trata en el siguiente capítulo. También podría ser útil señalar que un perfil gaussiano de la forma

\[\tag{10.B.15}\alpha (∆ λ) = \alpha (0) \text{exp}\left (-\frac{c^2 (∆ λ)}{V_\text{m}^2 λ_0^2}\right ) \]

tiene un área de\(\frac{λ_0^2 e^2 n_1 f_{12}}{4mε_0 c^2}\) si

\[\tag{10.B.16}\alpha (0) =\frac{λ_0 e^2n_1 f_{12}}{4\sqrt{\pi}mε_0 cV_\text{m}}.\]