10.11: APÉNDICE C- Delgadez Óptica, Homogeneidad y Equilibrio Termodinámico

También se me ha ocurrido mientras preparaba estos capítulos que algunas de las ecuaciones son válidas sólo bajo ciertas condiciones, como que el gas es ópticamente delgado, o es homogéneo o se encuentra en equilibrio termodinámico, o alguna combinación de éstas, o ninguna de ellas. Sería tedioso deletrear todas las condiciones después de cada ecuación. Sin embargo, es importante saber en qué condiciones es válido cada uno. En este Apéndice trato de dar alguna orientación. Por ejemplo, la mayoría de las ecuaciones de este Capítulo tratan de perfiles de línea en un gas ópticamente delgado, mientras que en el siguiente Capítulo el gas ya no es ópticamente delgado. Al final, sin embargo, la única manera de estar seguro de qué condiciones se aplican a cada ecuación es comprender la física básica detrás de cada una en lugar de intentar memorizar qué condiciones se aplican a qué ecuaciones.

El coeficiente de absorción lineal\(\alpha\) en un punto dentro de un gas es proporcional a la densidad numérica local\(n_1\) de los absorbentes. (El subíndice 1 se refiere a “átomos en el nivel inferior de la línea de que se trate”.) El espesor óptico de una losa de gas de espesor\(D\) está relacionado con el coeficiente de absorción (que puede o no variar a lo largo de la losa) en\(\tau = \int_0^D \alpha (x) dx\). Esto es así tanto si el gas es ópticamente delgado o si es homogéneo o no. De igual manera, la densidad\(N_1\) de la columna de los absorbentes está relacionada con la densidad numérica por\(N_1 =\int_0^D n_1 (x)dx\). Si el gas es homogéneo en el sentido de que no\(n_1\) es una función de\(x\), y en consecuencia no\(\alpha\) es una función de\(x\) ninguno, entonces estas ecuaciones se vuelven simples\(\tau = \alpha D\text{ and }N_1 = n_1D\), y esto es así sea que el gas sea o no ópticamente delgado.

Sea ópticamente delgado o grueso, y homogéneo o no, el espesor óptico es proporcional a la densidad de la columna\(N\), así como el coeficiente de absorción es proporcional a\(n_1\).

Si una capa de gas de espesor no\(D\) es homogénea, el espesor óptico está relacionado con el coeficiente de absorción y el espesor del gas por\(\tau = \int_0^D\alpha (x)dx\). Si el gas es homogéneo por lo que\(\alpha\) es independiente de\(x\), entonces la relación es meramente\(\tau = \alpha D\). Ninguna de estas ecuaciones requiere que el gas sea ópticamente delgado. Es decir, son válidos ya sea que el gas sea ópticamente delgado o grueso. El coeficiente de absorción en un punto dentro del gas es proporcional a la densidad local (número de absorbedores por unidad de volumen allí). El espesor óptico es proporcional a la densidad de columna de los absorbentes a lo largo de la línea de visión, independientemente de que el gas sea o no ópticamente delgado y sea o no homogéneo.

Sin embargo, la anchura y profundidad central equivalentes de una línea de absorción, o la intensidad o radiancia, o intensidad central o radiancia por intervalo de longitud de onda unitaria de una línea de emisión, son proporcionales a la columna densidad de átomos sólo si el gas es ópticamente delgado. En efecto, esta simple proporcionalidad puede servir como una buena definición de lo que se entiende por ser ópticamente delgado.

El ancho equivalente de una línea de absorción viene dado por\(W=\int [1-\text{exp}\{-\tau (λ )\}]\,dλ\). Si el gas es homogéneo, esto se vuelve\(W =\int [1 - \text{exp}\{-D\alpha (λ) \}]\,dλ\). Si, además, el gas es ópticamente delgado en todas las longitudes de onda dentro de la línea, esto se vuelve (por expansión Maclaurin), meramente\(W = D\int \alpha (λ)\,dλ\). Tenga en cuenta que, si\(λ\text{ and }D\) se expresan en m y si\(\alpha\) se expresa en\(\text{m}^{-1}\), el ancho equivalente será en m. Si, sin embargo, elige expresar longitudes de onda en angstroms y el grosor de una nube en parsecs, ese es su problema, y usted está por su cuenta.

Cualquier ecuación en la que hayamos pasado\(n\), el número total de átomos por unidad de volumen en todos los niveles a\(n_1\) través de la ecuación de Boltzmann, implica una suposición de equilibrio termodinámico. Un ejemplo sería ir de la ecuación 9.2.4 (que no implica equilibrio termodinámico) a las ecuaciones 9.2.6-10 (que sí implican equilibrio termodinámico). Si un gas está verdaderamente en equilibrio termodinámico, esto implica que el gas estará a una temperatura única y homogénea; de lo contrario habrá flujo de calor y ningún equilibrio. Es dudoso que algo en el Universo esté verdaderamente en equilibrio termodinámico en el uso más estricto del término. Sin embargo, incluso en una atmósfera en la que la temperatura es diferente de punto a punto, aún podemos tener equilibrio termodinámico local (LTE), en el sentido de que, en cualquier momento, está bien calcular la distribución de átomos entre sus niveles de energía mediante la ecuación de Boltzmann, o el grado de ionización por la ecuación de Saha, o las velocidades atómicas por la ecuación de MaxWellBoltzmann, o la densidad de energía de radiación por la ecuación de Planck, e incluso puede ser capaz de usar la misma temperatura para cada uno. Esto puede estar bien dentro de un pequeño volumen de una atmósfera; solo cuando se considera en grandes rangos de espacio y tiempo será evidente que la atmósfera no está en verdadero equilibrio termodinámico.