11.1: Introducción a la Curva de Crecimiento

La curva de crecimiento (die Wachstumskurve) es una gráfica que muestra cómo el ancho equivalente de una línea de absorción, o el resplandor de una línea de emisión, aumenta con el número de átomos que producen la línea.

En un gas ópticamente delgado, el ancho equivalente de una línea de absorción, o el resplandor de una línea de emisión, es linealmente proporcional al número de átomos en el nivel inicial de la línea. Imaginemos, por ejemplo, que tenemos una fuente continua de radiación, y, frente a ella, tenemos una losa homogénea, isotérmica de gas, y que hay\(\mathcal{N}_1\) átomos por unidad de área en la línea de visión en el nivel inferior de alguna línea de absorción. Podríamos duplicar\(\mathcal{N}_1\) ya sea duplicando el grosor de la losa, o duplicando la densidad del gas dentro de la losa. De cualquier manera, si duplicar el número de átomos por unidad de área (la densidad de la columna) en el nivel 1 da como resultado una duplicación del ancho equivalente de la línea, entonces se dice que el gas es ópticamente delgado. Más precisamente, la línea es ópticamente delgada, ya que bien puede haber otras líneas en el espectro que no sean ópticamente delgadas. Supongo que se podría decir que un gas es ópticamente delgado a la longitud de onda de una línea en particular si se pueden ver todos los átomos —incluso los que están en la parte posterior. En el Capítulo 9, donde estábamos desarrollando fórmulas para el ancho equivalente de una línea, y en el Capítulo 10, donde estudiábamos perfiles de líneas, estábamos limitando nuestra atención a las líneas ópticamente delgadas. Nos apartaremos de esta suposición en este Capítulo, aunque todavía asumiremos que nuestra losa de gas es homogénea (misma temperatura y presión en todas partes) y en equilibrio termodinámico.

Podemos ver, al referirse a la figura\(\text{XI.1}\), por qué es que el ancho equivalente de una línea de absorción no puede seguir aumentando indefinida y linealmente a medida que aumenta la densidad de la columna. La figura representa el perfil de una línea de absorción. (Estrictamente hablando, la ordenada debe decir “luminosidad por unidad de intervalo de longitud de onda”, en lugar de “intensidad”). \(a\)El perfil es una línea débil (en realidad un perfil gaussiano) que es ópticamente delgada. De perfil\(b\), hemos aumentado mucho la densidad de la columna\(\mathcal{N}_1\), y vemos que la intensidad en el centro de la línea es casi nula. Casi nada de la luz de fondo de la fuente continua está atravesando. A esta longitud de onda, el fondo es negro. Aumentar la densidad de la columna no hará ninguna diferencia con respecto a la intensidad central, y casi ningún cambio en el ancho equivalente. Así, una gráfica de ancho equivalente versus densidad de columna ya no será una función linealmente creciente, sino que será casi horizontal.

Pero no va a quedar horizontal. Como vemos en perfil\(c\), cuando se han agregado aún más átomos, aunque la profundidad central no es ni puede llegar a ser más profunda, las alas del perfil comienzan a sumarse al ancho equivalente, de manera que el ancho equivalente comienza a aumentar nuevamente, aunque más lentamente que durante el ópticamente etapa delgada. Así podríamos esperar tres etapas en la curva de crecimiento. Al principio, el ancho equivalente aumenta linealmente con la densidad de la columna de los absorbentes. Entonces habrá una etapa en la que el ancho equivalente apenas va en aumento. Finalmente, habrá una tercera etapa en la que el ancho equivalente aumenta, pero no tan rápidamente como en el caso ópticamente delgado.

También se notará que, en cuanto el perfil (que era gaussiano cuando era ópticamente delgado) deja de ser ópticamente delgado, el perfil se distorsiona y ya no es el mismo que en la región ópticamente delgada.

\(\text{FIGURE XI.1}\)

A partir de nuestra descripción cualitativa de la curva de crecimiento, será evidente que la forma de la curva de crecimiento dependerá de la forma del perfil lineal original. Por ejemplo, se recordará que el perfil gaussiano es “todo núcleo y sin alas”, mientras que el perfil lorentziano es “núcleo estrecho y alas extensas”. Así, el inicio de la tercera etapa de la curva de crecimiento ocurrirá antes para un perfil lorentziano que para un perfil gaussiano. Encontraremos, a medida que avanzamos, que para un perfil gaussiano puro, la tercera etapa de la curva clásica de crecimiento es poco evidente, mientras que para un perfil lorentziano puro, la segunda etapa es poco evidente. La curva clásica de crecimiento de tres etapas se exhibe para un perfil Voigt en el que las contribuciones gaussianas y lorentzianas son comparables.

Será parte del objetivo de este capítulo predecir la curva de crecimiento para perfiles gaussianos y lorentzianos, y también para el perfil Voigt para diferentes proporciones Gauss/Lorentz.

Esto por sí mismo será un ejercicio intelectual interesante —pero ¿se puede llevar más allá? Sí, puede. Imagínese una situación es la que tenemos un espectro en el que la resolución no es suficiente para medir los perfiles de líneas individuales con una gran precisión. De hecho no se necesita una gran imaginación, ya que este suele ser el caso de un espectro estelar. Si de alguna manera podemos construir una curva de crecimiento, podríamos deducir los perfiles de línea, o al menos el fWHm (ancho completo a la mitad mínimo) del componente gaussiano (que nos dirá la temperatura cinética) y del componente lorentziano (que nos dirá el tiempo medio entre colisiones y por lo tanto el presión). No podemos, por supuesto, cambiar la densidad de columna de una atmósfera estelar. Sin embargo, algunas líneas de un elemento dado serán débiles (porque tienen un alto potencial de excitación, o una pequeña fuerza de oscilador, o ambas) y otras serán fuertes (porque tienen un bajo potencial de excitación, o una gran fuerza de oscilador, o ambas), y tal vez se pueda construir una curva de crecimiento a partir de muchos líneas de un átomo dado, y así podremos deducir la temperatura y la presión, aunque no podamos resolver los detalles de los perfiles de líneas individuales.

Hasta el momento, he discutido la curva de crecimiento para una línea de absorción. ¿Qué pasa con una línea de emisión? Entendemos que la intensidad del centro de una línea de absorción no puede caer por debajo del “piso” correspondiente a la intensidad cero. Pero, ¿hay un “techo” que detenga el crecimiento del centro de una línea de emisión, o podemos seguir aumentando la intensidad de una línea de emisión indefinidamente? La respuesta es que, para un gas en equilibrio termodinámico, efectivamente existe un “techo”, y eso ocurre cuando la luminosidad por unidad de intervalo de longitud de onda del centro de la línea de emisión alcanza la ordenada de la curva de cuerpo negro de Planck que tiene una temperatura de cuerpo negro igual a la cinética y excitación temperatura del gas. Cuando el centro de la línea es completamente grueso ópticamente, irradia como un cuerpo negro a esa longitud de onda. Agregar más átomos a la densidad de la columna no aumentará la intensidad central. Lo que sucede es que los fotones emitidos por átomos cercanos a la parte posterior de la losa de gas son reabsorbidos a medida que luchan hacia adelante hacia el frente.