11.4: Curva de Crecimiento para Perfiles Gaussianos

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Por “perfil gaussiano” en el título de esta sección, me refiero a perfiles que son gaussianos en el caso ópticamente delgado; en cuanto hay salidas de la delgadez óptica, también hay salidas del perfil gaussiano. Alternativamente, el coeficiente de absorción y la profundidad óptica son gaussianos; la absorbancia no lo es.

Para una línea ópticamente delgada térmicamente ensanchada, el espesor óptico en función de la longitud de onda viene dado por

\[\label{11.4.1}\tau (x)=\tau (0)\text{exp}\left ( -\frac{x^2\ln 2}{g^2}\right ) ,\]

donde está el HWHM

\[\label{11.4.2}g=\frac{V_m \lambda_0 \sqrt{\ln 2}}{c}.\]

Aquí\(V_\text{m}\) está la velocidad modal. (Consulte el Capítulo 10 para más detalles.) Los perfiles de línea, calculados a partir de las ecuaciones 11.3.4 y\ ref {11.4.1}, se muestran en la figura XI.2 para los siguientes valores del espesor óptico en el centro de la línea:\(\tau (0)=\frac{1}{16},\frac{1}{8},\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2,4,8.\)

Al combinar las ecuaciones 11.3.4 y\ ref {11.4.1} y\ ref {11.4.2}, obtenemos la siguiente expresión para el ancho equivalente:

\[\label{11.4.3}W=2\int_0^\infty \left ( 1-\text{exp}\left \{-\tau (0)e^{-x^2\ln 2/g^2}\right \}\right )\,dx,\]

\[\label{11.4.4}W=\frac{2V_\text{m}\lambda_0}{c}\int_0^\infty \left ( 1-\text{exp}\left \{-\tau(0)e^{-\Delta^2}\right \}\right )\,d\Delta,\]

donde

\[\label{11.4.5}\Delta =\frac{x\sqrt{\ln 2}}{g}=\frac{cx}{V_\text{m}\lambda_0}.\]

La media anchura a la mitad máxima (HWHM) de la expresión\ ref {11.4.1} para el espesor óptico corresponde a\(\Delta = \sqrt{\ln 2} = 0.8326\). A los efectos de la integración numérica práctica de la Ecuación\ ref {11.4.4}, integraré de es\(\Delta = -5\text{ to }+5\) decir a partir de\(\pm 6\) veces la HWHM. Se puede apreciar de la figura XI.2 que salir fuera de estos límites no contribuirá significativamente al ancho equivalente. Calcularé el ancho equivalente para profundidades ópticas centrales que van desde\(1/20 (\log \tau (0) = −1.3)\text{ to }10^5 (\log \tau (0) = 5.0)\).

Lo que tenemos en la figura XI.3 es una curva de crecimiento para líneas térmicamente ensanchadas (o líneas que, en el límite ópticamente delgado, tienen un perfil gaussiano, que podría incluir un componente térmico y uno microturbulento). Yo he trazado esto desde\(\log \tau(0) = -1.3\text{ to }+5.0\); es decir\(\tau(0) = 0.05\text{ to }10^5\).

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\(\text{FIGURE XI.2}\)

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\(\text{FIGURE XI.3}\)