5.4.4: Laminas Planas Infinitas

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 131461

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Para el campo gravitacional debido a una lámina plana infinita uniforme, todo lo que uno tiene que hacer es poner\(α = \pi /2\) en la Ecuación 5.4.7 o\(ω = 2 \pi\) en la Ecuación 5.4.9 para encontrar que el campo gravitacional es

\[g = 2 \pi G σ . \label{5.4.13} \tag{5.4.13}\]

Esto es, como cabría esperar, independiente de la distancia desde el plano infinito. Las líneas de campo gravitacional son uniformes y paralelas desde la superficie de la lámina hasta el infinito.

Supongamos que la densidad superficial del plano infinito no es uniforme, sino que varía con la distancia en el plano desde algún punto en el plano ya que\(σ(r)\), tenemos que calcular

\[g = 2 \pi G z \int_0^\infty \frac{σ(r) r dr}{\left( z^2 + r^2 \right)^{3/2}}. \label{5.4.14} \tag{5.4.14}\]

Pruébalo, por ejemplo,\(σ(r)\) siendo uno de los siguientes:

\[σ_0 e^{-kr}, \quad σ_0 e^{-k^2 r^2}, \quad \frac{σ_0}{1+ k^2 r^2 }. \]