5.13: Presión en el centro de una esfera uniforme

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¿Cuál es la presión en el centro de una esfera de radio\(a\) y de densidad uniforme\(ρ\)?

(Pensamiento preliminar: Mostrar por análisis dimensional que debe ser algo veces\(Gρ^2 a^2\).)

Figura 5.27.png
\(\text{FIGURE V.27}\)

Considere una porción de la esfera entre los radios\(r\) y\(r + δr\) y el área de la sección transversal\(A\). Su volumen es\(Aδr\) y su masa es\(ρAδr\). (Si la densidad no fuera uniforme en toda la esfera, aquí tendríamos que escribir\(ρ(r)Aδr\).) Su peso es\(ρgAδr\), dónde\(g = GM_r / r^2 = \frac{4}{3} \pi G ρ r\). Suponemos que la presión en el radio\(r\) es\(P\) y la presión en el radio\(r + δr\) es\(P + δP\). (\(δP\)es negativo.) Equiparando las fuerzas descendentes con la fuerza ascendente, tenemos

\[A(P + δP) + \frac{4}{3} \pi A G ρ^2 rδr = AP. \label{5.13.1} \tag{5.13.1}\]

Es decir:\[δP = - \frac{4}{3} \pi G ρ^2 r δr. \label{5.13.2} \tag{5.13.2}\]

Integrar desde el centro a la superficie:

\[\int_{P_0}^0 dP = -\frac{4}{3} \pi G ρ^2 \int_0^a r dr. \label{5.13.3} \tag{5.13.3}\]

Por lo tanto:\[P = \frac{2}{3} \pi G ρ^2 a^2 . \label{5.13.4} \tag{5.13.4}\]