9.1: Leyes de Kepler

La ley del movimiento planetario de Kepler (las dos primeras anunciadas en 1609, la tercera en 1619) son las siguientes:

1. Cada planeta se mueve alrededor del Sol en una órbita que es una elipse con el Sol en un foco.
2. El vector de radio del Sol al planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
3. Los cuadrados de los periodos de los planetas son proporcionales a los cubos de sus semiejes mayores.

La primera ley es consecuencia de la ley cuadrada inversa de la gravitación. Una ley cuadrada inversa de atracción en realidad dará como resultado un camino que es una sección cónica —es decir, una elipse, una parábola o una hipérbola, aunque solo una elipse, por supuesto, es una órbita cerrada. Una ley cuadrada inversa de repulsión (por ejemplo,\(α\) -partículas que son desviadas por núcleos de oro en el famoso experimento Geiger-Marsden) dará como resultado un camino hiperbólico. Una fuerza atractiva que es directamente proporcional a la primera potencia de la distancia también da como resultado una trayectoria elíptica (una elipse Lissajous) -por ejemplo una masa girada al final de un resorte elástico de la ley de Hooke- pero en ese caso el centro de atracción está en el centro de la elipse, más que en un foco.

Derivaremos, en la Sección 9.5, las leyes primera y tercera de Kepler a partir de una supuesta ley cuadrada inversa de atracción. El problema que enfrentaba Newton era todo lo contrario: Partiendo de las leyes de Kepler, ¿cuál es la ley de atracción que rige los movimientos de los planetas? Para empezar, tuvo que inventar el cálculo diferencial e integral. Esto está muy lejos de la noción popular de que “descubrió” la gravedad al ver caer una manzana de un árbol.

La segunda ley es consecuencia de la conservación del momento angular, y sería válida para cualquier ley de atracción (o repulsión) siempre y cuando la fuerza fuera completamente radial sin componente transversal. Lo derivamos en la Sección 9.3.

Si bien le espera un tratamiento completo de las leyes primera y tercera Sección 9.5, la tercera ley es trivialmente fácil de derivar en el caso de una órbita circular. Por ejemplo, si suponemos que un planeta de masa\(m\) se encuentra en una órbita circular de radio\(a\) alrededor de un Sol de masa\(M\),\(M\) suponéndose que es mucho más grande\(m\) que que el Sol puede considerarse estacionario, podemos simplemente equiparar el producto de la masa y centrípeta aceleración del planeta,\(maω^2\), a la fuerza gravitacional entre planeta y sol\(GMm/a^2\); y, con el período dado por\(P = 2π/ω\), obtenemos inmediatamente la tercera ley:

\[P^2 = \frac{4π^2}{GM}a^3 . \label{9.2.1} \tag{9.2.1}\]

Al lector le gustaría demostrar que, si la masa del Sol no es tan alta que se pueda descuidar el movimiento del Sol, y que el planeta y el Sol se mueven en órbitas circulares alrededor de su centro mutuo de masa, el período es

\[P^2 = \frac{4π^2}{G(M + m)}a^3 . \label{9.2.2} \tag{9.2.2}\]

Aquí\(a\) está la distancia entre Sol y planeta.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Expresar el período en términos de\(a_1\), el radio de la órbita circular del planeta alrededor del centro de masa.