9.10: Distancia media en una órbita elíptica

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A veces se dice que “\(a\)” en una órbita elíptica está la “distancia media” de un planeta con respecto al Sol. De hecho\(a\) es el semieje mayor de la órbita. Si y qué sentido podría ser también la “distancia media” merece un momento de pensamiento.

Fue el difunto profesor C. E. M Joad cuya respuesta familiar a las preguntas de peso del día fue “Todo depende a lo que te refieras con...” Y la “distancia media” depende de si te refieres a la distancia promediada sobre la verdadera anomalía\(v\) o a lo largo del tiempo. La distancia media promediada sobre la verdadera anomalía es\( \frac{1}{π} \int^π_0 r dv\), dónde\(r = l /(1 + e cosv)\). Si buscas alguna buena sustitución que te ayude a integrar esto, a la Ecuación 2.13.6 le va muy bien, y pronto encuentras el resultado inesperado de que la distancia media, promediada sobre la anomalía media, es\(b\), el eje semi menor.

Por otro lado, la distancia media promediada a lo largo del tiempo es\(\frac{1}{2} P \int_0^{\frac{1}{2}P} r dt\). Este es un poco más complicado, pero, siguiendo la pista para evaluar\(\frac{1}{π} \int^π_0 r dv\), podrías intentar expresar\(r\) y\(v\) en términos de la anomalía excéntrica. Te llevará un momento más o menos, pero eventualmente deberías encontrar que la distancia media promediada a lo largo del tiempo es\(a(1 + \frac{1}{2}e^2)\).

A menudo se señala que, debido a la segunda ley de Kepler, un planeta pasa más tiempo lejos del Sol que lo hace cerca del Sol, razón por la cual tenemos veranos más largos que inviernos en el hemisferio norte. Un ejercicio fácil sería preguntarte qué fracción de su periodo orbital gasta un planeta en el lado soleado de un recto latus. Un ejercicio un poco más difícil sería preguntar: ¿Qué fracción de su periodo orbital pasa un planeta más cerca del Sol que su distancia media (promediada en el tiempo)? Primero tendrías que preguntar, ¿cuál es la verdadera anomalía cuándo\(r = a(1 + \frac{1}{2}e^2)\)? Entonces es necesario calcular la fracción del área de la órbita. El área en coordenadas polares es\(\frac{1}{2} ∫ r^2 dv\). No lo he intentado, pero, si resulta difícil, intentaría escribir\(r\) y\(v\) en cuanto a la anomalía excéntrica\(E\) y a ver si eso ayudaba.