10.7: Cálculo de la posición de un cometa o asteroide

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Suponemos que se nos dan los elementos orbitales de un asteroide o cometa. Nuestra tarea es poder predecir, a partir de estos, la correcta ascensión y declinación del objeto en el cielo en alguna fecha futura (o pasada) especificada. Si podemos hacerlo por una fecha, podemos hacerlo por muchas fechas, por ejemplo, todos los días durante un año si es necesario. En otras palabras, habremos construido una efemérides. Hoy en día, por supuesto, podemos obtener programas generadores de efemérides y efemérides con unos hábiles clics en la Web, sin saber tanto como la diferencia entre un seno y un coseno; pero esa manera de hacerlo no es el propósito de esta sección.

Por ejemplo, según el Centro Planeta Menor, los elementos osculantes para el planeta menor (1) Ceres para la época de la osculación\(t_0 = 2002\) May\(6.0 \ \text{TT}\) son los siguientes:

\(a = 2.766 \ 412 \ 2 \ \text{AU} \quad Ω = 80^\circ .486 \ 32\)
\(e = 0.079 \ 115 \ 8 \quad ω = 73^\circ .984 \ 40 \)
\(i = 10^\circ .583 \ 47 \quad M_0 = 189^\circ .275 \ 00\)

\(i\),\(Ω\) y\(ω\) se refieren al equinoccio y ecuador de\(\text{J2000.0}\).

Calcular la ascensión y declinación correctas (referidas\(\text{J2000.0}\)) a julio de 2002\(15.0 \ \text{TT}\).

Ya aprendimos a lograr gran parte de nuestro objetivo del Capítulo 9. Así, a partir de los elementos\(a\)\(e\),,\(ω\) y\(T\) para una órbita elíptica (o los elementos correspondientes para una órbita parabólica o hiperbólica) ya podemos calcular la verdadera anomalía\(v\) y la distancia heliocéntrica r en función del tiempo. Estas son las coordenadas polares heliocéntricas del cuerpo (en adelante “asteroide”). Para encontrar la ascensión y declinación correctas (es decir, las coordenadas geocéntricas con el ecuador celeste como\(xy\) plano) lo único que tenemos que hacer es encontrar las coordenadas relativas a la eclíptica, rotar el sistema de coordenadas de eclíptica a ecuatorial, y desplazar el origen de las coordenadas del Sol a la Tierra, . Solo tenemos que hacer algo de geometría sencilla, y no más dinámicas.

Empecemos haciendo lo que ya sabemos hacer desde el Capítulo 9, es decir, calcularemos la verdadera anomalía y la distancia heliocéntrica.

La anomalía media en la época (\(t_0 = \text{May} \ 6.0\)) es\(M_0 = 189^\circ .275 \ 00\).
Anomalía media en el tiempo\(t \ ( = \text{July 15}\). que es 70 días después) viene dada por

\[M - M_0 = \frac{2π}{P} (t - t_0). \label{10.7.1}\]

A la cantidad\(2π/P\) se le llama el movimiento medio (en realidad la velocidad angular orbital promedio del planeta), generalmente dado el símbolo\(n\). Podemos calcular\(P\) en años siderales a partir de\(P^2 = a^3\), y, dado que un año sideral es\(365^\text{d} \ .25636\) y que\(2π\) los radianes son 360 grados, podemos calcular el movimiento medio en sus unidades habituales de grados por día. Nos encontramos con que\(n = 0.214 \ 205\) grados por día. De hecho el Centro Planeta Menor, además de dar los elementos orbitales, también enumera, para nuestra conveniencia, el movimiento medio, y dan\(n = 0.214 \ 204 \ 57\) grados por día. La pequeña discrepancia entre lo\(n\) dado por el Centro Planeta Menor y el valor que hemos calculado a partir del valor publicado de un presumiblemente surge porque los valores publicados de los elementos han sido redondeados para su publicación, y el Centro Planeta Menor presumiblemente lleva todos los dígitos en su cálculos. Yo recomendaría usar el valor de\(n\) publicado por el Centro Planeta Menor, y lo hago aquí. Para el 15 de julio, entonces, la Ecuación 10.7.1 nos dice que la anomalía media es\(M = 204^\circ .269 342\). (Estoy llevando seis decimales, aunque\(M_0\) se le da sólo a cinco, sólo para estar seguro de que no estoy acumulando errores de redondear en los cálculos intermedios. Voy a redondear correctamente cuando llegue al resultado final.)

Ahora tenemos que encontrar la anomalía excéntrica a partir de la Ecuación de Kepler\(M = E − e \sin E\). Fácil. (Consulte el capítulo 9 si ha olvidado cómo.) Encontramos\(E = 202^\circ \ .532 2784\) y, a partir de las Ecuaciones 2.3.16 y 17, obtenemos la verdadera anomalía\(v = 200^\circ \ .854 0289\). La Ecuación polar a una elipse es,\(r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e \cos v}.\) por lo que encontramos que la distancia heliocéntrica es\(r = 2.968 \ 5716 \ \text{au}\). (El Centro Planeta Menor da\(r\), a cuatro cifras significativas, como\(2.969 \ \text{au}\).) Tanto que ya podíamos hacer desde el Capítulo 9. Obsérvese también que\(ω + v\), conocido como el argumento de la latitud y muchas veces dado el símbolo\(θ\), es\(274^\circ \ .838 \ 429\).

Vamos a tener que hacer uso de tres sistemas de coordenadas heliocéntricas y un sistema de coordenadas geocéntricas.

1. Plano de órbita heliocéntrico. \(\odot xyz\)con el? eje x dirigido hacia el perihelio. Las coordenadas polares en el plano de la órbita son la distancia heliocéntrica r y la verdadera anomalía v. El componente z del asteroide es necesariamente cero, y\(x = r \cos v\) y\(y = r\sin v\).

2. Ecliptica heliocéntrica. \(\odot XYZ\)con el\(\odot X\) eje dirigido hacia el Primer Punto de Aries, donde la Tierra, vista desde el Sol, estará situada el 22 de septiembre o cerca de ella. Las coordenadas esféricas en este sistema son la distancia heliocéntrica r, la longitud eclíptica\(λ\), y la latitud eclíptica\(β\), tal que\(X = r \cos β \cos λ\),\(Y = r \cos β \sin λ\) y\(Z = r \sin β\).

INSERTAR FIGURA AQUÍ
\(\text{FIGURE X.2}\)

3. Coordenadas ecuatoriales heliocéntricas. \(\odot ξηζ\)con el\(\odotξ\) eje dirigido hacia el Primer Punto de Aries y por tanto coincidente con el eje X. El ángulo entre el eje Z y el eje es ε, la oblicuidad de la eclíptica. Este es también el ángulo entre el plano XY (plano de la eclíptica, o de la órbita de la Tierra) y el plano η-plano (plano del ecuador de la Tierra). Ver figura X.4.

4. Coordenadas ecuatoriales geocéntricas. \(⊕\text{xyz}\)con el\(⊕\text{x}\) eje dirigido hacia el Primer Punto de Aries. Las coordenadas esféricas en este sistema son la distancia geocéntrica\(∆\), la ascensión derecha\(α\) y la declinación\(δ\), tal que\(x = ∆ \cos δ \cos α\),\(y = ∆ \cos δ \sin α\) y\(z = ∆ \sin δ\).

En la figura X.2, el arco\(\Upsilon \text{N}\) es la longitud eclíptica heliocéntrica\(λ\) del asteroide, y así\(N \text{N}\) es\(λ − Ω\). El arco\(\text{NX}\) es la latitud eclíptica heliocéntrica\(β\). Por dos aplicaciones de la Ecuación 3.5.5 encontramos

\[\cos(λ-Ω) \cos i = \sin (λ-Ω) \cot (ω + v) - \sin i \cot 90^\circ \label{10.7.2} \tag{10.7.2}\]

y\[\cos (λ-Ω) \cos 90^\circ = \sin(λ-Ω) \cot β - \sin 90^\circ \cot i . \label{10.7.3} \tag{10.7.3}\]

Estos reducen a\[\tan (λ-Ω) = \cos i \tan (ω+v) \label{10.7.4}\tag{10.7.4}\]

y\[\tan β = \sin (λ-Ω) \tan i . \label{10.7.5} \tag{10.7.5}\]

En nuestro ejemplo particular, obtenemos (si tenemos cuidado de vigilar los cuadrantes),

\(λ − Ω = 274^\circ .921 \ 7550, \quad λ = 355^\circ .408 \ 0750 , \quad β = -10^\circ .545 \ 3234\)

Ahora, tomaremos el eje X para las coordenadas eclípticas heliocéntricas a través\(\Upsilon\) y el\(Y\) eje\(90^\circ\) -este de este. Entonces, por las fórmulas habituales para convertir entre coordenadas esféricas y rectangulares, es decir\(X = r \cos β \cos λ\)\(Z = r \sin β\),\(Y = r \cos β \sin λ\) y, obtenemos

\(X = +2.909 \ 0661, \quad Y = -0.233 \ 6453, \quad Z = -0.543 \ 2880 \quad \text{au}.\)

(Cheque:\(X^2 + Y^2 + Z^2 = r^2\).)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar, por eliminación de\(λ\) y\(β\), o de otra manera, que:

\[X = r ( \cos Ω \cos θ - \sin Ω \sin θ \cos i) \label{10.7.6} \tag{10.7.6}\]

\[Y = r ( \sin Ω \cos θ + \cos Ω \sin θ \cos i ) \label{10.7.8} \tag{10.7.8}\]

\[Z = r \sin θ \sin i . \label{10.7.9} \tag{10.7.9}\]

Esto proporcionará una forma más conveniente de calcular las coordenadas. Verificar que estos den el mismo resultado numérico que antes. Aquí hay algunas sugerencias para hacerlo “de otra manera”

Refiérase a Figura\(X.3\), en la que\(\text{K}\) se encuentra el polo de la eclíptica, y\(\text{X}\) es el asteroide. El radio de la esfera celeste se puede tomar como igual a\(r\), la distancia heliocéntrica del asteroide. Las coordenadas eclípticas heliocéntricas rectangulares son

\(X = r \cos \Upsilon \odot \text{X} \quad Y = r \cos \text{R} \odot \text{X} \quad Z = r \cos \text{K} \odot \text{X}\)