13.1: Introducción al Cálculo de Elementos Orbitales

Hemos visto en el Capítulo 10 cómo calcular una efemérides a partir de los elementos orbitales. Este capítulo aborda el problema bastante más difícil de determinar los elementos orbitales a partir de las observaciones.

Vimos en el Capítulo 2 cómo ajustar una elipse (u otra sección cónica) a cinco puntos en un plano. En el caso de una órbita planetaria, también necesitamos conocer la orientación del plano, lo que requerirá dos bits más de información. De esta manera, debemos ser capaces de determinar la forma, tamaño y orientación de la elipse a partir de siete piezas de información.

Este, sin embargo, no es exactamente el mismo problema que enfrentamos en la determinación de una órbita planetaria. Lo más importante es que no conocemos todas las coordenadas del planeta al momento de ninguna de las observaciones. Conocemos dos de las coordenadas —es decir, la ascensión y declinación correctas— pero no tenemos idea en absoluto de la distancia. Todo lo que nos da una observación es la dirección hacia el planeta en el cielo en un instante dado de tiempo. Encontrar la distancia geocéntrica al momento de una observación dada es efectivamente una de las tareas más difíciles; una vez que hemos logrado hacer eso, hemos roto la parte posterior del problema.

Sin embargo, aunque desconocemos las distancias geocéntricas (o heliocéntricas), sí tenemos alguna información adicional que nos ayude. Por un lado, sabemos dónde está uno de los focos de la sección cónica. El Sol ocupa uno de ellos —aunque no sabemos de inmediato cuál. Además, conocemos el instante del tiempo de cada observación, y sabemos que el vector de radio barre áreas iguales en tiempos iguales. Esta importante ley kepleriana es de gran valor para computar una órbita.

Para determinar una órbita, tenemos que determinar un conjunto de seis elementos orbitales. Estos son, como se describió anteriormente,\(a, \ e, \ i, \ Ω, ω\) y\(T\) para una órbita sensiblemente elíptica; para una órbita de baja excentricidad se suele sustituir un ángulo como\(M_0\), la anomalía media en la época, por\(T\). Así podemos calcular la órbita a partir de seis piezas de información. Vimos en el capítulo 10 cómo hacer esto si conocemos las tres coordenadas espaciales heliocéntricas y los tres componentes de velocidad heliocéntrica —pero esto de nuevo no es precisamente el problema que enfrentamos, porque ciertamente no conocemos ninguno de estos datos para un planeta recién descubierto.

Si, sin embargo, tenemos tres observaciones adecuadamente espaciadas, en las que hemos medido tres direcciones (\(α , \ δ\)) en tres instantes de tiempo, entonces tenemos seis datos, a partir de los cuales puede ser posible calcular los seis elementos orbitales. Cabe mencionar, sin embargo, que son necesarias tres observaciones para obtener una solución creíble, pero puede que no siempre sean suficientes. Si las tres observaciones, por ejemplo, estuvieran en la eclíptica, o cerca de un punto estacionario, o si el planeta se mueve casi directamente hacia nosotros por un tiempo y en consecuencia apenas parece moverse en el cielo, puede que no sea posible obtener una solución creíble. O nuevamente, las observaciones siempre tienen algún error asociado a ellas, y los pequeños errores observacionales pueden, bajo algunas circunstancias, traducirse en una amplia gama de posibles soluciones, o puede que ni siquiera sea posible ajustar un solo conjunto de elementos a las observaciones ligeramente erróneas.

En los últimos años, el cálculo de las órbitas de asteroides cercanos a la Tierra ha sido un tema de interés para la prensa pública, que probablemente se abalanzará sobre cualquier sugerencia de que las observaciones pudieran haber sido “erróneas” y la órbita “incorrecta” —como si desconocieran que todas las mediciones científicas siempre tienen error asociados con ellos. No se logra distinguir los errores de los errores.

Cuando se descubre un nuevo planeta menor o asteroide, tan pronto como se haya realizado el número mínimo requerido de observaciones que permitan calcular una órbita aproximada, los elementos y una efemérides se distribuyen a los observadores. El propósito de esta órbita preliminar no es decirnos si el planeta Tierra está a punto de ser destruido por una colisión cataclísmica con un asteroide cercano a la Tierra, sino simplemente abastecer a los observadores con una efemérides lo suficientemente buena que les permita encontrar el asteroide y por lo tanto abastecer adicionales observaciones. Todo el que participa activamente en el proceso de observación de asteroides o de cómputos de sus órbitas sabe o debería saberlo, así como también sabe o debería saber que, a medida que lleguen observaciones adicionales, se revisará la órbita y se harán correcciones diferenciales a los elementos. Además, la órbita calculada es generalmente una órbita osculante, y los elementos son elementos osculantes para una época particular de osculación. Para permitir perturbaciones planetarias, la época de la osculación se cambia cada 200 días y se calculan nuevos elementos osculantes. Todo esto es rutina y es de esperar. Y sin embargo, ha habido una tendencia desafortunada en los últimos años no sólo para la prensa sino también para una serie de personas que hablarían por la comunidad científica, pero que tal vez no sean experimentadas en cálculos orbitales, para atribuir las diversas revisiones necesarias a una órbita a “errores” o” incompetencia” por computadoras orbitales experimentadas.

Cuando se han acumulado todas las observaciones para una aparición en particular, y no se esperan más para esa aparición, se calcula una órbita definitiva para esa aparición a partir de todas las observaciones disponibles. Incluso entonces, habrá pequeñas variaciones en los elementos obtenidos por diferentes computadoras. Esto se debe a que, entre otras cosas, cada observación tiene que ser evaluada y ponderada críticamente. Algunas observaciones pueden ser fotográficas; la mayoría en estos días serán\(\text{CCD}\) observaciones de mayor precisión, las cuales recibirán un mayor peso. Las observaciones se habrán realizado con una variedad de telescopios con distancias focales muy diferentes, y habrá variaciones en la experiencia de los observadores involucrados. Algunas observaciones se habrán hecho con mucha prisa en la noche inmediatamente después de un nuevo descubrimiento. Tales observaciones son valiosas para calcular la órbita preliminar, pero pueden merecer menos peso en la órbita definitiva. No hay una manera única de lidiar con tales problemas, y si dos computadoras presentan respuestas ligeramente diferentes como resultado de ponderar las observaciones de manera diferente no significa que una de ellas sea “correcta” y que la otra haya cometido un “error”. Todo esto debería ser muy obvio, aunque algunas palabras que se han hablado o escrito en los últimos años sugieren que merece repetirse.

Hay una serie de pequeños problemas que involucran las observaciones originales en bruto. Una es que el instante de tiempo de una observación es registrado y reportado por un observador en Tiempo Universal. Esto es lo correcto que debe hacer un observador, y es lo que se espera de él o ella. La computadora, sin embargo, utiliza como argumento para el cálculo orbital la mejor representación de un tiempo dinámico de flujo uniforme, que en la actualidad es TT, o Tiempo Terrestre (ver capítulo 7). La diferencia para el año en curso nunca se conoce con exactitud, sino que tiene que ser estimada. Otra dificultad es que las observaciones no se hacen desde el centro de la Tierra, sino desde algún punto de la superficie de la Tierra —punto que se mueve a medida que la Tierra gira. Así se tiene que hacer una pequeña corrección paraláctica a las observaciones —pero no sabemos cuán grande es esta corrección hasta que sepamos la distancia del planeta. O de nuevo, la computadora necesita conocer la posición del planeta cuando la luz solar reflejada de él salió del planeta, no cuando la luz finalmente llegó a la Tierra veinte minutos más tarde —pero no sabemos cuán grande es la corrección del tiempo de viaje de la luz hasta que sepamos la distancia del planeta.

Evidentemente hay mucho involucrado en la computación de órbitas, y este podría ser un capítulo realmente muy largo, y nunca escrito a la perfección para cubrir todas las contingencias. Para comenzar, sin embargo, limitaré inicialmente el alcance de este capítulo al problema básico de computar elementos elípticos a partir de tres observaciones. Si y cuando el espíritu me mueve puedo en una fecha posterior ampliar el capítulo para incluir órbitas parabólicas e hiperbólicas, aunque estas últimas plantean problemas especiales. Calcular elementos hiperbólicos en principio no es más difícil que computar órbitas elípticas; en la práctica, sin embargo, cualquier órbita del sistema solar que sea sensiblemente hiperbólica ha sido objeto de perturbaciones planetarias relativamente grandes, por lo que el problema en la práctica no es en absoluto sencillo. Realizar correcciones diferenciales a una órbita preliminar también es algo que habrá que dejar para una fecha posterior.

En las secciones que siguen, estoy muy endeudado con Carlos Montenegro de Argentina que me acompañó línea por línea a través de los cálculos numéricos, resultando en una serie de correcciones al texto original. Los errores restantes (espero que sean pocos, si los hay) son de mi propia responsabilidad.