13.2: Triángulos

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Comenzaré con un teorema geométrico que involucra triángulos, que será útil a medida que avancemos hacia nuestro objetivo de computar elementos orbitales.

Figura 13.1.png
\(\text{FIGURE XIII.1}\)

La figura\(\text{XIII.1}\) muestra tres vectores coplanares. Claramente es posible expresarse\(\textbf{r}_2\) como una combinación lineal de los otros dos. Es decir, debería ser posible encontrar coeficientes tales que

\[\textbf{r}_2 = a_1 \textbf{r}_1 + a_3 \textbf{r}_3 . \label{13.2.1}\]

La notación que voy a usar es la siguiente:

El área del triángulo formado por la unión de las puntas de\(\textbf{r}_2\) y\(\textbf{r}_3\) es\(A_1\).
El área del triángulo formado por la unión de las puntas de\(\textbf{r}_3\) y\(\textbf{r}_1\) es\(A_2\).
El área del triángulo formado por la unión de las puntas de\(\textbf{r}_1\) y\(\textbf{r}_2\) es\(A_3\).

Para encontrar los coeficientes en la Ecuación\ ref {13.2.1}, multiplica ambos lados por\(\textbf{r}_1 \times\):

\[\textbf{r}_1 \times \textbf{r}_2 = a_3 \textbf{r}_1 \times \textbf{r}_3 . \label{13.2.2}\]

Los dos productos vectoriales son vectores paralelos (cada uno es perpendicular al plano del papel), de magnitudes\(2A_3\) y\(2A_2\) respectivamente. (\(2A_3\)es el área del paralelogramo del cual los vectores\(\textbf{r}_1\) y\(\textbf{r}_2\) forman dos lados.)

\[\therefore a_3 = A_3/A_2 . \label{13.2.3}\]

Del mismo modo multiplicando ambos lados de la Ecuación\ ref {13.2.1} por\(\textbf{r}_3 \times\) ésta se encontrará que

\[a_1 = A_1/ A_2 . \label{13.2.4}\]

De ahí que encontremos que

\[A_2 \textbf{r}_2 = A_1 \textbf{r}_1 + A_3 \textbf{r}_3 . \label{13.2.5}\]