13.10: Aproximación de orden superior

La razón por la que hicimos la aproximación al orden\(τ^3\) fue que, al evaluar las expresiones para\(F_1\)\(G_1\),\(F_3\) y\(G_3\), no conocíamos la velocidad radial\(\dot{r}_2\). Quizás ahora podamos evaluarlo.

Ejercicio. Mostrar que la velocidad radial de una partícula en órbita alrededor del Sol, cuando está a una\(r\) distancia del Sol, es

\[\text{Ellipse}: \quad \dot{r} = \mp \sqrt{\frac{GM}{a_0}} \left( \frac{a^2 e^2 - (a-r)^2}{ar^2} \right)^{1/2} , \label{13.10.1} \tag{13.10.1}\]

\[\text{Parabola}: \quad \dot{r} = \mp \sqrt{\frac{GM(r-q)}{a_0}}, \label{13.10.2} \tag{13.10.2}\]

\[\text{Hyperbola}: \quad \dot{r} = \mp \sqrt{\frac{GM}{a_0}} \left( \frac{(a+r)^2 - a^2 e^2}{ar^2} \right) ^{1/2} . \label{13.10.3} \tag{13.10.3}\]

Mostrar que la velocidad radial es mayor en los extremos de un recto latus.

Aquí\(a_0\) está la unidad astronómica, a es el semieje mayor de la órbita elíptica o el eje semitransversal de la órbita hiperbólica,\(q\) es la distancia perihelio de la órbita parabólica, y\(e\) es la excentricidad orbital. El\(−\) signo es para pre-perihelio, y el\(+\) signo es para post-perihelio.

Desafortunadamente, si bien este es un buen ejercicio en la teoría de la órbita, desconocemos la excentricidad, por lo que estas fórmulas en la actualidad no nos sirven de nada.

Sin embargo, podemos calcular las distancias heliocéntricas en los tiempos de la primera y tercera observaciones exactamente por el mismo método que usamos para la segunda observación. Aquí están los resultados de nuestro ejemplo numérico, después de una iteración. Las unidades, por supuesto, lo son\(\text{au}\). También se indican los instantes de las observaciones, tomando\(t_2 = 0\) y expresando los demás instantes en unidades de\(1/k\) (ver sección 13.8).

\(t_1 = -τ_3 = -0.086 \ 010 \ 494 \ 75 \quad r_1 = 3.419 \ 52 \)

\(t_2 = 0 \quad r_2 = 3.416 \ 73\)

\(t_3 = +τ_1 = +0.172 \ 020 \ 989 \ 5 \quad r_3 = 3.410 \ 82\)

Podemos encajar una expresión cuadrática a esto, de la forma:

\[r = c_0 + c_1 t + c_2 t^2 \label{13.10.4} \tag{13.10.4} \]

Con nuestra elección de origen de tiempo\(t_2 = 0\), obviamente\(c_0\) es igual a\(r_2\), así que tenemos sólo dos constantes,\(c_1\) y\(c_2\) para resolver para. Luego podemos calcular la velocidad radial en el momento de la segunda observación a partir de

\[\dot{r}_2 = c_1 + 2c_2 t_2 . \label{13.10.5} \tag{13.10.5}\]

Podemos calcular\(A_1\),\(A_2\) y de\(A_3\) la misma manera que antes, hasta\(τ^4\) en lugar de solo\(τ^3\). El álgebra es un poco largo y tedioso, pero sencillo. De igual manera, los resultados parecen largos y poco manejables, pero no hay dificultad en programarlos para una computadora, y el cálculo real es, con una computadora moderna, prácticamente instantáneo. Los resultados del álgebra que doy a continuación están tomados del libro Determinación de Órbitas de A.D. Dubyago (que ha sido la base de gran parte de este capítulo). Yo mismo no he comprobado el álgebra, pero el lector concienzudo probablemente querrá hacerlo él mismo o ella misma.

\[A_1 = \frac{1}{2} \sqrt{l} τ_1 \left( 1 - \frac{τ_1^2}{6r_2^3} + \frac{τ_1^3}{4r_2^4}\dot{r}_2 \right) , \label{13.10.6} \tag{13.10.6} \]

\[A_2 = \frac{1}{2} \sqrt{l} τ_2 \left( 1 - \frac{τ_2^2}{6r_2^3} + \frac{τ_2^2 (τ_1 - τ_3)}{4r_2^4}\dot{r}_2 \right) , \label{13.10.7} \tag{13.10.7} \]

\[A_3 = \frac{1}{2} \sqrt{l} τ_3 \left( 1 - \frac{τ_3^2}{6r_2^3} - \frac{τ_3^3}{4r_2^4} \dot{r}_2 \right) . \label{13.10.8} \tag{13.10.8}\]

Y a partir de estos,

\[a_1 = \frac{τ_1}{τ_2} \left( 1 + \frac{τ_3 (τ_2 + τ_1)}{6r_2^3} + \frac{τ_3 (τ_3 (τ_1 + τ_3) - τ_1^2)}{4r_2^4} \dot{r}_2 \right) . \label{13.10.9} \tag{13.10.9}\]

y\[a_3 = \frac{τ_3}{τ_2} \left( 1 + \frac{τ_1 (τ_2 + τ_3)}{6r_2^3} - \frac{τ_1 (τ_1 (τ_1 + τ_3) - τ_3^2}{4r_2^4} \dot{r}_2 \right) . \label{13.10.10} \tag{13.10.10}\]

Esto podría resultar en valores ligeramente mejores para\(a_1\) y\(a_3\). No he calculado esto para nuestro ejemplo numérico aquí, por razones dadas en la Sección 13.9. Podemos pasar a la siguiente sección, utilizando nuestros vales actuales de\(a_1\) y\(a_3\), a saber

\(a_1 = 0.666 \ 770 \quad \text{and} \quad a_3 = 0.333 \ 416 . \)