13.12: Relación Sector-Triángulo
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Recordamos que es fácil determinar la relación de sectores adyacentes barridos por el vector de radio. Por la segunda ley de Kepler, es solo la proporción de los dos intervalos de tiempo. Lo que realmente necesitamos, sin embargo, son las relaciones triangulares, que están relacionadas con la distancia heliocéntrica por la Ecuación 13.2.1. ¡Oh, no sería tan agradable si alguien nos dijera la relación de un área de sector con respecto al área triangular correspondiente! Intentaremos en esta sección hacer precisamente eso.
\[Notation: \ \text{Triangle ratios}: \quad a_1 = A_1 / A_2 , \quad a_3 = A_3 /A_2 . \label{13.12.1a,b} \tag{13.12.1a,b}\]
\[\text{Sector ratios}: \quad b_1 = B_1 / B_2 , \quad b_3 = B_3/B_2 . \label{13.12.2a,b} \tag{13.12.2a,b}\]
\[\text{Sector-triangle ratios}: \quad R_1 = \frac{B_1}{A_1} , \quad R_2 \frac{B_2}{A_2} , \quad R_3 = \frac{B_3}{A_3}, \label{13.12.3a,b,c} \tag{13.12.3a,b,c}\]
de lo que se deduce que
\[a_1 = \frac{R_2}{R_1} b_1 , \quad a_3 = \frac{R_2}{R_3}b_3 . \label{13.12.4a,b} \tag{13.12.4a,b} \]
También recordamos que el subíndice 1 para las áreas se refiere a las observaciones 2 y 3; el subíndice 2 a las observaciones 3 y 1; y el subíndice 3 a las observaciones 1 y 2. Veamos, entonces, si podemos determinar\(R_3\) a partir de la primera y segunda observaciones.
Los lectores que deseen evitar el álgebra pesada podrán proceder directamente a las Ecuaciones 13.12.25 y 13.12.26, lo que permitirá el cálculo de las relaciones sector-triángulo.
Dejar\((r_1 , v_1)\) y\((r_2 , v_2)\) ser las coordenadas polares (es decir, distancia heliocéntrica y verdadera anomalía) en el plano de la órbita del planeta en el instante de las dos primeras observaciones. En concierto con nuestra convención para subíndices que implican dos observaciones, vamos
\[2f_3 = v_2 - v_1 . \label{13.12.5} \tag{13.12.5}\]
Tenemos\(R_3 = B_3/A_3\). De la Ecuación 13.4.1, que es la segunda ley de Kepler, tenemos, en las unidades que estamos utilizando, en cuál\(GM = 1, \ \dot{B} = \frac{1}{2} \sqrt{l}\) y por lo tanto\(B_3 = \frac{1}{2} \sqrt{l} τ_3\). También, a partir del\(z\) componente -de la Ecuación 13.8.15c, tenemos\(A_3 = \frac{1}{2} r_1 r_2 \sin (v_2 - v_1)\).
Por lo tanto\[R_3 = \frac{\sqrt{l} τ_3}{r_1 r_2 \sin (v_2 - v_1)} = \frac{\sqrt{l} τ_3}{r_1 r_2 \sin 2 f_3}. \label{13.12.6a} \tag{13.12.6a}\]
De manera similar, tenemos
\[R_1 = \frac{\sqrt{l}τ_1}{r_2 r_3 \sin (v_3 - v_2)} = \frac{\sqrt{l} τ_1}{r_2 r_3 \sin 2 f_1} \label{13.12.6b} \tag{13.12.6b}\]
\[R_2 = \frac{\sqrt{l}τ_2}{r_3 r_1 \sin (v_3 - v_1)} = \frac{\sqrt{l} τ_2}{r_3 r_1 \sin 2 f_2} . \label{13.12.6c} \tag{13.12.6c}\]
A mí me gustaría eliminar\(l\) de aquí.
Ahora quiero recordar algunas propiedades geométricas de una elipse y una propiedad de una órbita elíptica. Al mirar la figura\(\text{II.11}\), o multiplicando las ecuaciones 2.3.15 y 2.3.16, inmediatamente vemos eso\(r \cos v = a(\cos E − e)\), y por lo tanto al hacer uso de una identidad trigonométrica encontramos
\[r \cos^2 \frac{1}{2} v = a(1-e) \cos^2 \frac{1}{2} E , \label{13.12.7} \tag{13.12.7}\]
y de manera similar es fácil demostrar que
\[r \sin^2 \frac{1}{2}v = a(1+e) \sin^2 \frac{1}{2} E . \label{13.12.8} \tag{13.12.8}\]
Aquí\(E\) está la anomalía excéntrica.
Además, la anomalía media en el tiempo\(t\) se define como\(\frac{2π}{P} (t-T)\) y también es igual (vía la Ecuación de Kepler) a\(E − e \sin E\). El periodo de la órbita está relacionado con el semieje mayor de su órbita por la tercera ley de Kepler:\(P^2 = \frac{4π^2}{GM} a^3\). (Este material está cubierto en el Capítulo 10.) De ahí que tengamos (en las unidades que estamos usando, en las cuales\(GM = 1\)):
\[E - e \sin E = \frac{t-T}{a^{3/2}}, \label{13.12.9} \tag{13.12.9}\]
donde\(T\) está el instante del paso del perihelio.
Ahora introduce\[2f_3 = v_2 - v_1 , \label{13.12.10} \tag{13.12.10}\]
\[2F_3 = v_2 + v_1 , \label{13.12.11} \tag{13.12.11}\]
\[2g_3 = E_2 - E_1 , \label{13.12.12} \tag{13.12.12}\]
\[2G_3 = E_2 + E_1 . \label{13.12.13} \tag{13.12.13}\]
De la Ecuación 13.12.7 puedo escribir
\[\sqrt{r_1 r_2} \cos \frac{1}{2} v_1 \cos \frac{1}{2} v_2 = a(1-e) \cos \frac{1}{2} E_1 \cos \frac{1}{2} E_2 \label{13.12.14} \tag{13.12.14}\]
y de la Ecuación 13.12.8 puedo escribir
\[\sqrt{r_1 r_2} \sin \frac{1}{2} v_1 \sin \frac{1}{2} v_2 = a(1+e) \sin \frac{1}{2} E_1 \sin \frac{1}{2} E_2 . \label{13.12.15} \tag{13.12.15}\]
Ahora hago uso de la suma de las fórmulas de suma y diferencia de la página 38 del capítulo 3, es decir,\(\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos S + \cos D)\) y\(\sin A \sin B = \frac{1}{2} (\cos D - \cos S ),\) para obtener
\[\sqrt{r_1 r_2} ( \cos F_3 + \cos f_3 ) = a(1-e)(\cos G_3 + \cos g_3) \label{13.12.16} \tag{13.12.16}\]
y\[\sqrt{r_1 r_2} ( \cos f_3 - \cos F_3 ) = a (1+e) ( \cos g_3 - \cos G_3). \label{13.12.17} \tag{13.12.17}\]
Al agregar estos, obtenemos
\[\sqrt{r_1 r_2} \cos f_3 = a(\cos g_3 - e \cos G_3 ) . \label{13.12.18} \tag{13.12.18}\]
Dejo al lector derivar de manera similar (haciendo uso también de la fórmula para el recto semi latus\(l = a (1-e^2))\)
\[\sqrt{r_1 r_2} \sin f_3 = \sqrt{a} \sqrt{l} \sin g \label{13.12.19} \tag{13.12.19}\]
y\[ r_1 + r_2 = 2a (1 - e \cos g_3 \cos G_3 ) . \label{13.12.20} \tag{13.12.20}\]
Podemos eliminar\(e \cos G\) de las Ecuaciones 13.12.18 y 13.12.20:
\[r_1 + r_2 - 2 \sqrt{r_1 r_2} \cos f_3 \cos g_3 = 2a \sin^2 g_3 \label{13.12.21} \tag{13.12.21}\]
Además, si escribimos la Ecuación 13.12.9 para la primera y segunda observaciones y tomamos la diferencia, y luego usamos la fórmula en la página 35 del capítulo 3 para la diferencia entre dos senos, obtenemos
\[2(g_3 - e \sin g_3 \cos G_3 ) = \frac{τ_3}{a^{3/2}}. \label{13.12.22} \tag{13.12.22}\]
Eliminar\(e \cos G_3\) de las Ecuaciones 13.12.18 y 13.12.22:
\[2g_3 - \sin 2 g_3 + \frac{2 \sqrt{r_1 r_2}}{a} \sin g_3 \cos f_3 = \frac{τ_3}{a^{3/2}}. \label{13.12.23} \tag{13.12.23}\]
Además, elimine\(l\) de las Ecuaciones 13.12.6 y 13.12.19:
\[R_3 = \frac{τ_3}{2 \sqrt{a} \sqrt{r_1 r_2} \cos f_3 \sin g_3}. \label{13.12.24} \tag{13.12.24}\]
Ya hemos eliminado\(F_3, \ G_3\) y\(e\), y nos quedamos con las Ecuaciones 13.12.21, 23 y 24, las dos primeras de las cuales ahora repito para fácil referencia:
\[r_1 + r_2 - 2 \sqrt{r_1 r_2} \cos f_3 \cos g_3 = 2a \sin^2 g_3 \tag{13.12.21} \]
\[2g_3 - \sin 2g_3 + \frac{2 \sqrt{r_1 r_2}}{a} \sin g_3 \cos f_3 = \frac{τ_3}{a^{3/2}}. \tag{13.12.23} \]
En estas Ecuaciones ya conocemos un valor aproximado para\(f_3\) (veremos cómo cuando retomemos nuestro ejemplo numérico); las incógnitas en estas Ecuaciones son\(R_3\)\(g_3\),\(a\) y, y es\(R_3\) que estamos tratando de encontrar. Por lo tanto necesitamos eliminar\(a\) y\(g_3\). Podemos obtener fácilmente\(a\) de la Ecuación 13.12.24, y, al sustituir en las Ecuaciones 13.12.21 y 23 obtenemos, después de algún álgebra:
\[R_3^2 = \frac{M_3^2}{N_3 - \cos g_3} \label{13.12.25} \tag{13.12.25}\]
y\[ R_3^3 - R_3^2 = \frac{M_3^2 (g_3 - \sin g_3 \cos g_3)}{\sin^3 g_3}, \label{13.12.26} \tag{13.12.26}\]
donde\[M_3 = \frac{τ_3}{2 \left( \sqrt{r_1 r_2} \cos f_3 \right)^{3/2} } \label{13.12.27} \tag{13.12.27}\]
y\[ N_3 = \frac{r_1 + r_2}{2 \sqrt{r_1 r_2} \cos f_3}. \label{13.12.28} \tag{13.12.28}\]
Ecuaciones similares para\(R_1\) y se\(R_2\) pueden obtener por permutación cíclica de los subíndices. Las ecuaciones 13.12.25 y 26 son dos ecuaciones simultáneas en\(R_3\) y\(g_3\). Su solución se da como ejemplo en la sección 1.9 del capítulo 1, por lo que ahora podemos suponer que podemos calcular las relaciones sector-triángulo.
Luego podemos calcular mejores relaciones triangulares a partir de las Ecuaciones 13.12.4 y regresar a las Ecuaciones 13.7.4, 5 y 6 para obtener mejores distancias geocéntricas. A partir de las Ecuaciones 13.7.8 y 9 se calculan las distancias heliocéntricas. Haga las correcciones de tiempo de luz. (No estoy haciendo esto en nuestro ejemplo numérico porque nuestras posiciones originales no eran observaciones reales, sino posiciones de efemérides). Después vuelve a ir directo a esta sección (13.12), hasta llegar de nuevo a aquí. Repita hasta que las distancias geocéntricas no cambien.