13.13: Resumiendo el Ejemplo Numérico

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Comencemos con nuestra iteración anterior

\(∆_1 = 2.65825 \quad r_1 = 3.41952\)
\(∆_2 = 2.61558 \quad r_2 = 3.41673\)
\(∆_3 = 2.54579 \quad r_3 = 3.41082\)

- o más bien con los valores más precisos que en esta etapa presumiblemente se almacenarán en nuestra computadora.

Estos son los valores que habíamos alcanzado la última vez que dejamos el ejemplo numérico.

Prometí decir como sabemos\(f_3\). Definimos\(2f_3\) como\(v_2 −v_1\), y este es el ángulo entre los vectores\(\textbf{r}_1\) y\(\textbf{r}_2\). Así

\[\cos 2 f_3 = \frac{ξ_1 ξ_2 + η_1 η_2 + ζ_1 ζ_2}{r_1 r_2}. \label{13.13.1} \tag{13.13.1}\]

Las coordenadas heliocéntricas se pueden obtener de las Ecuaciones 13.5.1, 2 y 3. Por ejemplo,

\[ξ_1 = l_1 ∆_1 - \mathfrak{x}_{01} , \label{13.13.2} \tag{13.13.2}\]

y por supuesto

\[r_1 = \sqrt{ξ_1^2 + η_1^2 + ζ_1^2} . \label{13.13.3} \tag{13.13.3}\]

Sabemos encontrar los componentes del vector\((ξ , \ η , \ ζ)\) de radio heliocéntrico (ver Ecuaciones 13.7.8 y 9), y así ya podemos encontrar\(f_3\). obtengo

\(\cos 2 f_3 = 0.999 \ 929 \ 1 , \quad \cos f_3 = 0.999 \ 982 \ 3 \ . \)

Esto quiere decir que la verdadera anomalía está avanzando aproximadamente\(0^\circ .68\) en cinco días. Es interesante ver si estamos en el camino correcto. Según el\(\text{MPC}\), Pallas tiene un periodo de 4.62 años, lo que significa que, en promedio, se moverá a través\(1^\circ .067\) en cinco días. Pero Pallas tiene una órbita bastante excéntrica (según la\(\text{MPC}, \ e = 0.23\)). El semieje mayor de la órbita debe ser\(P^{2/3} = 2.77 \ \text{AU}\) (lo que concuerda con el\(\text{MPC}\)), y por lo tanto su distancia de afelio\(a(1 + e)\) es de aproximadamente\(3.41 \ \text{AU}\). Así Pallas debe estar cerca del afelio en julio de 2002. Por conservación del momento angular, su movimiento angular en el afelio debe ser menor que su movimiento medio por un factor de por\((1 + e)^2\) lo que el aumento de la verdadera anomalía en cinco días debería ser aproximadamente\(1^\circ .067/1.23^2\) o\(0^\circ .71\). Por lo tanto, parece que estamos en el buen camino.

Ahora podemos calcular\(M_3\) y\(N_3\) a partir de las Ecuaciones 13.12.27 y 28:

\(M_3^2 = 0.000 \ 046 \ 313 \ 0\)

\(N_3 = 1.000 \ 018\)

y así tenemos las siguientes Ecuaciones 13.12.25 y 26 para las relaciones sector-triángulo:

\(R_3^2 = \frac{0.000 \ 046 \ 313 \ 0}{1.000 \ 018 \ - \cos g_3}\)

y\(R_3^3 - R_3^2 = \frac{0.000 \ 046 \ 313 \ 0 (g_3 - \sin g_3 \cos g_3)}{\sin^3 g_3}.\)

Ya que discutimos cómo resolver estas Ecuaciones en la sección 1.9 del capítulo 1, simplemente doy las soluciones aquí. El único indicio útil que vale la pena dar es que puedes hacer la primera conjetura para la iteración para\(g_3\) igual a\(f_3\), que sabemos (\(\cos f_3 = .0 999 \ 982 3)\), y\(R_3 = 1\).

\(\cos g_3 = 0.999 \ 972 , \quad R_3 = 1.000 \ 031\)

Podemos proceder de manera similar con\(R_1\) y\(R_2\).

Aquí hay un resumen:

\ begin {array} {c c c c c c}
\ texto {subíndice} &\ cos f & M^2 & N &\ cos g & R\
1 & 0.999\ 928\ 7 & 1.859\ 91\ veces 10^ {-4} & 1.000\ 072 & 0.999\ 886 & 1.000\ 124\
2 & 0.999\ 839\ 9 & 4.180\ 80\ veces 10^ {-4} & 1.000\ 161 & 0.999\ 743 & 1.000\ 279\
3 & 0.999\ 982\ 3 & 4.631\ 30\ times 10^ {-5} & 1.000\ 018 & 0.999\ 972 & 1.000\ 031\
\ end {array}

Nuestros nuevos ratios triangulares serán

\(a_1 = \frac{R_2}{R_1}b_1 = \frac{1.000 \ 279}{1.000 \ 124} \times \frac{2}{3} = 0.666 \ 770\)

y\(a_3 = \frac{R_2}{R_3}b_3 = \frac{1.000 \ 279}{1.000 \ 031} \times \frac{1}{2} = 0.333 \ 416.\)

Ahora podemos volver a las Ecuaciones 13.7.4,5 y 6, y calcular de nuevo las distancias geocéntricas y heliocéntricas. Omita las secciones 13.8, 13.9 y 13.10, y calcule nuevas relaciones sector-triángulo y, por lo tanto, nuevas relaciones triangulares, y repita hasta que se obtenga la convergencia. Después de tres iteraciones, obtuve convergencia a seis cifras significativas y después de siete iteraciones obtuve convergencia a 11 cifras significativas. Los resultados a seis cifras significativas son los siguientes:

\(∆_1 = 2.65403 \quad r_1 = 3.41539\)
\(∆_2 = 2.61144 \quad r_2 = 3.41268\)
\(∆_3 = 2.54172 \quad r_3 = 3.40681\)

Esto no es de esperar que concuerde exactamente con los\(\text{MPC}\) valores publicados, que se basan en todas las observaciones disponibles de Pallas, mientras que elegimos arbitrariamente tres posiciones aproximadas de efemérides, pero, a partir de estas tres posiciones, ahora hemos roto la parte posterior del problema y hemos encontrado el geocéntrico y distancias heliocéntricas.