13.16: Corrección Topocéntrico-Geocéntrica

En la sección 13.1 indiqué dos correcciones pequeñas (pero no despreciables) que debían hacerse, a saber, la\(∆T\) corrección (que se puede hacer al inicio mismo del cálculo) y la corrección de luz-tiempo, que se puede hacer tan pronto como se hayan determinado las distancias geocéntricas —tras lo cual es necesarias para recalcular las distancias geocéntricas desde el principio! En realidad no hice estas correcciones en nuestro ejemplo numérico, pero indiqué cómo hacerlas.

Hay otra pequeña corrección que hay que hacer. El diámetro de la Tierra subtiende un ángulo de\(17".6\) at\(1 \ \text{au}\), por lo que la posición observada de un asteroide depende apreciablemente de donde se observe desde la superficie de la Tierra. Las observaciones son, por supuesto, reportadas como topocéntricas —es decir, del lugar (\(τοπος\)) donde estaba situado el observador. Deben ser corregidos por la computadora a posiciones geocéntricas —pero claro que eso no se puede hacer hasta que se conozcan las distancias. Tan pronto como se conocen las distancias, se pueden hacer las correcciones luz-tiempo y topocéntrico-geocéntricas. Entonces, por supuesto, hay que volver al principio y recalcular las distancias —posiblemente más de una vez hasta llegar a la convergencia—. En esta sección se muestra cómo realizar la corrección topocéntrico-geocéntrica.

Hemos utilizado la notación\(\mathfrak{x, y , z}\) para coordenadas geocéntricas, y voy a usar\(\mathfrak{x^\prime , \ y^\prime , \ z^\prime}\) para coordenadas topocéntricas. En la figura\(\text{XIII.3}\) muestro la Tierra desde un punto en el plano ecuatorial, y desde arriba del polo norte. El radio de la Tierra es\(R\), y el radio de un pequeño círculo de latitud\(\phi\) (donde se encuentra el observador) es\(R \cos \phi\). El\(\mathfrak{x}\) - y\(\mathfrak{x}^\prime -\) los ejes están dirigidos hacia el primer punto de Aries,\(\Upsilon\).

Debe quedar claro a partir de la cifra que las correcciones vienen dadas por

\[\mathfrak{x}^\prime = \mathfrak{x} - R \cos \phi \cos \text{LST}, \label{13.16.1} \tag{13.16.1}\]

\[\mathfrak{y}^\prime = \mathfrak{y} - R \cos \phi \sin \text{LST} \label{13.16.2} \tag{13.16.2}\]

y\[\mathfrak{z}^\prime = \mathfrak{z} - R \sin \phi . \label{13.16.3} \tag{13.16.3}\]

A todo observador que presente observaciones al Centro Planeta Menor se le asigna un Código de Observatorio, un número de tres dígitos. Este código no sólo identifica al observador, sino que, asociado al Código del Observatorio, el Centro Planeta Menor mantiene un registro de las cantidades\(R \cos \phi\) y\(R \sin \phi\) en\(\text{AU}\). Estas cantidades, en la notación empleada por el\(\text{MPC}\), se denominan\(−∆_{xy}\) y\(−∆_{z}\) respectivamente. Son únicos para cada sitio de observación.

\(\text{FIGURE XIII.3}\)