13.15: Cálculo de los elementos

Ahora podemos calcular inmediatamente el recto semi latus a partir de la Ecuación 13.12.6a (recordando eso\(2 f_3 = v_2 − v_1\), para que ya se conozca todo excepto\(l\) en la Ecuación). De hecho tenemos tres oportunidades para calcular el recto semilatoso usando cada una de las Ecuaciones 13.12.6a, b, c, y esto sirve como una comprobación de la aritmética. Para nuestro ejemplo numérico, obtengo

\(l = 2.61779\)

de manera idéntica (al menos a once cifras significativas) para cada una de las tres permutaciones.

Ahora, al referirnos a la Ecuación 2.3.37, recordamos que la Ecuación polar a una elipse es

\[r = \frac{l}{1 + e \cos v}. \label{13.15.1} \tag{13.15.1}\]

Por lo tanto, tenemos, para las observaciones primera y tercera,

\[e \cos v_1 = l / r_1 - 1 \label{13.15.2} \tag{13.15.2}\]

y, admitiendo que\(v_3 = v_1 + 2f_2\),

\[e \cos (v_1 + 2f_2 ) = l / r_3 - 1. \label{13.15.3} \tag{13.15.3}\]

Observamos que, en Ecuaciones\ ref {13.15.2} y\ ref {13.15.3}, las únicas cantidades que aún no conocemos son\(v_1\) y\(e\) — así que estamos a punto de encontrar nuestro primer elemento orbital, ¡la excentricidad!

Un indicio para resolver Ecuaciones\ ref {13.15.2} y 3: Expandir\(cos(v_1 + 2f_2)\). Toma\(e \sin v\) hacia el lado izquierdo, y la Ecuación\ ref {13.15.3} se convertirá

\[e \sin v_1 = \frac{(l/r_1 - 1) . \cos 2 f_2 - (l/r_3 - 1)}{\sin 2 f_2}. \label{13.15.4} \tag{13.15.4}\]

Después de esto, es fácil resolver Ecuaciones\ ref {13.15.2} y\ ref {13.15.4} para\(e\) y para\(v_1\). Las otras anomalías verdaderas están dadas por\(v_2 = v_1 + 2f_3\) y\(v_3 = v_1 + 2f_2\). Una comprobación de la aritmética puede (y debe) realizarse realizando el mismo cálculo para las observaciones primera y segunda y para la segunda y tercera observaciones. Para los tres, obtuve

\(\underline{e=0.23875}\)

¡Tenemos nuestro primer elemento orbital!

(El\(\text{MPC}\) valor de la excentricidad para esta época es\(0.22994\) —pero esto se basa en todas las observaciones disponibles, y no podemos esperar obtener el\(\text{MPC}\) valor de sólo tres hipotéticas “observaciones”.)

Las verdaderas anomalías en los momentos de las tres observaciones son

\(v_1 = 191^\circ .99814 \quad v_2 = 192^\circ .68221 \quad v_3 = 194^\circ .05377\)

Después de eso, el semieje mayor es fácil a partir de la Ecuación 2.3.10\(l = a(1 − e^2 )\),, para el recto semi latus de una elipse. ENCONTRAMOS

\(\underline{a = 2.77602 \text{ au}}\)

El periodo en años siderales viene dado por\(P^2 = a^3\), y por lo tanto es años\(4.62524\) siderales. Este no es uno de los seis elementos independientes, ya que siempre está relacionado con el semieje mayor por la tercera ley de Kepler, por lo que no merece la dignidad extra de ser subrayado. No obstante, sin duda merece la pena convertirlo en días solares medios multiplicándose por\(365.25636\). Nos encontramos con que\(P = 1689.39944\) los días.

El siguiente elemento a ceder será el tiempo de paso del perihelio. Encontramos las anomalías excéntricas para cada una de las tres observaciones de cualquiera de las Ecuaciones 2.3.16, 17a, 17b o 17c. Por ejemplo:

\[\cos E = \frac{e + \cos v}{1 + e \cos v}. \label{13.15.5} \tag{13.15.5}\]

Entonces el tiempo de paso del perihelio vendrá de las Ecuaciones 9.6.4 y 9.6.5:

\[T = t - \frac{P}{2π} ( E - e \sin E ) + nP. \label{13.15.6} \tag{13.15.6}\]

Con\(n = 1\) hago esto\(\underline{T = t_1 + 756^\text{d} .1319}\)

El siguiente paso es calcular los\(P\)\(Q\) s y s. Estos se definen en la Ecuación 10.9.40. Son los cosenos de dirección que relacionan el conjunto de bases heliocéntricas del plano de órbita con el conjunto de bases ecuatoriales heliocéntricas.

Ejercicio. Aplicar la Ecuación 10.9.50 a la primera y tercera observaciones para demostrar que

\[P_x = \frac{ξ_1 r_3 \sin v_3 - ξ_3 r_1 \sin v_1}{r_1 r_3 \sin 2 f_2} \label{13.15.7} \tag{13.15.7}\]

y\[Q_x = \frac{ξ_3 r_1 \cos v - ξ_1 r_3 \cos v_3}{r_1 r_2 \sin 2 f_2} \label{13.15.8} \tag{13.15.8}\]

De las Ecuaciones 10.9.51 y 52, encuentre Ecuaciones similares para\(P_y\),\(Q_y\),\(P_z\),\(Q_z\).

El trabajo numérico puede y debe verificarse calculando estos cosenos de dirección también a partir de la primera y segunda, y a partir de la segunda y tercera, observaciones. Chequea también eso\(P_x^2 + P_y^2 + P_z^2 = Q_x^2 + Q_y^2 + Q_z^2 = 1\). me sale

\(P_x = -0.48044 \quad P_y = +0.86568 \quad P_z = -0.14059\)

\(Q_x = -0.87392 \quad Q_y = -0.45907 \quad Q_z = +0.15978\)

(Recuerda que mi computadora lleva todas las cifras significativas a doble precisión, aunque imprimo aquí solo un número limitado de cifras significativas. No obtendrá exactamente mis números a menos que usted, también, lleve todas las cifras significativas y no redondee prematuramente).

Los cosenos de dirección están relacionados con los ángulos eulerianos, claro, por las Ecuaciones 10.9.41- 46 (¿cómo podrías olvidar?!). Todos (!) hay que hacer, entonces, es resolver estas seis Ecuaciones para los ángulos eulerianos. (Se necesitan seis Ecuaciones para eliminar la ambigüedad del cuadrante de los ángulos. Recuerda la\(\text{ATAN2}\) función en tu computadora — es una enorme ayuda con los cuadrantes.)

Ejercicio. Demostrar que (o verificar en cualquier tasa) que:

\[\sin ω \sin i = P_z \cos ε - P_y \sin ε \label{13.15.9} \tag{13.15.9}\]

y\[\cos ω \sin i = Q_z \cos ε - Q_y \sin ε. \label{13.15.10} \tag{13.15.10}\]

Ahora se puede resolver esto por el argumento del perihelio\(ω\). Aún no intentes resolverlo por la inclinación. (¡¿Por qué no?!) Utilizando\(ε = 23^\circ .438 \ 960\) para la oblicuidad de la eclíptica de fecha (calculada a partir\(\text{B18}\) de la página del Almanaque Astronómico 2002), obtengo

\(\underline{ω = 304^\circ .81849}\)

Ejercicio. Demostrar que (o verificar en cualquier tasa) que:

\[\sin Ω = (P_y \cos ω - Q_y \sin ω ) \sec ε \label{13.15.11} \tag{13.15.11}\]

y\[\cos Ω = P_x \cos ω - Q_x \sin ω. \label{13.15.12} \tag{13.15.12}\]

A partir de estos, me parece:

\(\underline{Ω = 172^\circ .64776}\)

¡Uno más para ir!

Ejercicio. Demostrar que (o verificar en cualquier tasa) que:

\[\cos i = -(P_x \sin ω + Q_x \cos ω) \csc Ω . \label{13.15.13} \tag{13.15.13}\]

Ahora puedes resolver esto con la Ecuación\ ref {13.15.9} o\ ref {13.15.10} (o ambas, como comprobación de la aritmética) para la inclinación. me sale

\(\underline{i = 35^\circ .20872}\)

Aquí están, todos juntos:

\ begin {array} {c c}
a = 2.77602\ texto {AU} & i = 35^\ circ .20872\\
e = 0.23875 & Ω = 172^\ circ .64776\\
T = t_1 + 756^\ text {d} .1319 & ω = 304^\ circ .81849\
\ end {array}

¿Hemos cometido algún error? Bueno, presumiblemente después de leer el capítulo 10 escribiste un programa para generar una efemérides. Entonces ahora, ¡usa estos elementos para ver si van a reproducir las observaciones originales! Por cierto, para construir una efemérides, en realidad no hay necesidad de usar los elementos; en su lugar, puede usar las\(P\)\(Q\) s y s.