1.1: Postulados Fundamentales

Las propiedades de la materia ordinaria son consecuencia de las fuerzas que actúan entre las partículas cargadas. Las extensas investigaciones experimentales han establecido las siguientes propiedades de las cargas eléctricas:

(1) Hay dos tipos de cargos. Estos han sido etiquetados como carga positiva y carga negativa.

(2) Se cuantifica la carga eléctrica. Todas las partículas observadas hasta ahora llevan cargas que son múltiplos enteros de la carga sobre un electrón. En el sistema MKS de unidades, la carga sobre un electrón es e = −1.60x10 ⁻¹⁹ Coulombs. Por definición, el electrón lleva una carga negativa y un protón lleva una carga positiva; la carga sobre un protón es de ^+1.60x10-19 Coulombs. Nadie sabe por qué la carga viene en múltiplos de la carga electrónica.

(3) Igualdad del cuántico de carga positiva y negativa. El cuántico de carga positiva y el cuántico de carga negativa son iguales a al menos 1 parte en 10 ²⁰. Esto se ha determinado a partir de experimentos diseñados para medir la carga neta en átomos neutros.

(4) En cualquier sistema cerrado se conserva la carga. Esto significa que la suma algebraica de todas las cargas positivas más todas las cargas negativas no cambia con el tiempo. Esto no quiere decir que las partículas individuales cargadas estén conservadas. Por ejemplo, un positrón, que lleva una carga positiva de ^1.60x10-19 Coulombs, puede interactuar con un electrón, que lleva una carga negativa de ^1.60x10-19 Coulombs, de tal manera que el electrón y el positrón desaparecen y se producen dos partículas neutras llamadas fotones. La carga total antes y después de que ocurra esta transformación sigue siendo exactamente la misma, es decir, cero. Las partículas individuales cargadas han desaparecido pero la carga total se ha conservado.

(5) Las cargas generan campos eléctricos y magnéticos. Las partículas cargadas configuran una perturbación en el espacio que puede ser descrita por dos campos vectoriales; un campo eléctrico\(\vec E\), y un campo magnético,\(\vec B\). Las unidades del campo eléctrico son Voltios/metro; las unidades del campo magnético son Webers/m ². Al tratarse de campos vectoriales se caracterizan por una dirección y una magnitud. Cada uno de estos campos en cualquier punto del espacio puede ser descrito por sus componentes a lo largo de tres ejes mutuamente perpendiculares. Por ejemplo, con respecto a un sistema cartesiano rectangular de ejes, xyz (ver Figura (1.1.1)),

Figura\(\PageIndex{1}\): Un sistema de coordenadas cartesianas utilizado para especificar un campo de vector eléctrico

el campo eléctrico puede resolverse en los tres componentes E _x (x, y, z, t), E _y (x, y, z, t) y E _z (x, y, z, t) donde la magnitud del campo eléctrico viene dada por\(\mathrm{E}=\sqrt{\mathrm{E}_{x}^{2}+\mathrm{E}_{y}^{2}+\mathrm{E}_{z}^{2}}\). Los componentes de estos campos dependen de la orientación del sistema de coordenadas utilizado para describirlos, sin embargo la magnitud de cada campo debe ser independiente de la orientación del sistema de coordenadas.

(6) Los campos E y B son objetos físicos reales. Estos campos pueden llevar energía, impulso e impulso angular de un lugar a otro.

(7) Las fuerzas electromagnéticas sobre una partícula cargada, q, pueden obtenerse a partir de un conocimiento de los campos E, B generados en la posición de q por todas las demás cargas. La fuerza en Newtons viene dada por

\[ \overrightarrow{\mathrm{F}}=q[\overrightarrow{\mathrm{E}}+(\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})] \label{1.1} \]

donde\(\vec v\) es la velocidad de la partícula en metros/seg. (Observe que\(\vec B\) tiene las unidades de un campo eléctrico divididas por una velocidad). La fórmula (1.1.1) se aplica a una partícula sin espinas. De hecho, la situación es más complicada porque la mayoría de las partículas llevan un momento magnético intrínseco asociado con su momento angular intrínseco (espín). En el resto del sistema de la partícula su momento magnético está sujeto a un par debido a la presencia del campo\(\vec B\), y a una fuerza debida a gradientes espaciales de\(\vec B\). Estas fuerzas magnéticas serán discutidas más adelante. Por el momento discutiremos solo las partículas cargadas sin espinas, e ignoraremos el hecho de que las partículas cargadas reales son más complicadas.

(8) Superposición. Los campos eléctricos y magnéticos obedecen a las reglas de superposición. Dado un sistema de cargas que por sí mismos producirían los campos\(\vec E_1\), \(\vec B_1\); dado un segundo sistema de cargas que por sí mismos producirían los campos\(\vec E_2\),\(\vec B_2\); luego juntos los dos sistemas de cargas producen los campos totales

\[\overrightarrow{\mathrm{E}}=\overrightarrow{\mathrm{E}_{1}}+\overrightarrow{\mathrm{E}_{2}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{B}}=\overrightarrow{\mathrm{B}_{1}}+\overrightarrow{\mathrm{B}_{2}}. \label{1.2} \]

Esta regla simplifica enormemente el cálculo de los campos eléctricos y magnéticos porque se puede llevar a cabo partícula por partícula y el campo total obtenido como la suma vectorial de todos los campos parciales debido a las cargas individuales.

(9) Una Partícula Cargada Estacionaria. En el sistema de coordenadas en el que una partícula cargada es estacionaria con respecto al observador, los campos eléctricos y magnéticos que genera son muy simples:

\[\overrightarrow{\mathrm{E}}=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{R}}}{\mathrm{R}^{3}}\right) \quad \overrightarrow{\mathrm{B}}=0 \label{1.3} \]

Figura\(\PageIndex{2}\): Los campos generados por una carga puntual de q Coulombs en\(\vec r_q\) que es estacionario con respecto al observador ubicado en\(\vec r_P\). \(\overrightarrow{\mathrm{R}}=\overrightarrow{\mathrm{r}_{p}}-\overrightarrow{r_{q}}\).

La ecuación (\ ref {1.3}) se llama ley de Coulomb. Ver Figura (1.1.2)

La intensidad del campo eléctrico se mide en voltios/metro. La amplitud del campo eléctrico disminuye con la distancia desde la carga como el cuadrado de la distancia es decir. ~\(\frac{1}{R^{2}}\) donde el exponente es igual a dos dentro de 1 parte en 10 ¹⁰. El sistema MKS de unidades ha sido utilizado para escribir eqn (\ ref {1.3}) en el que se mide la carga en Coulombs. Una corriente de 1 Amp`ere en algún punto de un circuito consiste en una cantidad de carga igual a 1 Coulomb pasando ese punto cada segundo. Las distancias en (\ ref {1.3}) se miden en metros. El factor de proporcionalidad es

\[\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=10^{-7} \times c^{2}=8.987 \times 10^{9} \quad \text { meters / farad } \label{1.4}\]

donde c = 2.9979×10 ⁸ m/seg es la velocidad de la luz en vacío. El tamaño de

\[\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \nonumber \]

es puramente consecuencia de las definiciones históricas del Volt y el Amp`ere. Un segundo sistema de unidades muy comúnmente utilizado en la literatura de magnetismo actual es el sistema CGS en el que las distancias se miden en centímetros, la masa se mide en gramos y el tiempo se mide en segundos. En el sistema CGS se ha elegido la unidad de carga, el statculomb, para hacer muy sencilla la ley de Coulomb. En el sistema CGS el campo debido a una carga puntual estacionaria viene dado por

\[\overrightarrow{\mathrm{E}}=q\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{R}}}{\mathrm{R}^{3}}\right) \quad \text { statvolts } / \mathrm{cm} \quad \text { and } \quad \overrightarrow{\mathrm{B}}=0 \quad \text { Gauss. } \label{1.5}\]

El precio que se paga por la simplicidad de la Ecuación (\ ref {1.5}) es que las unidades de ingeniería convencional para la corriente y el potencial, Amp`eres y Voltios, no pueden ser utilizadas. Los factores de escalado entre las unidades eléctricas MKS y CGS implican el valor numérico de la velocidad de la luz, c. Por ejemplo, en el sistema CGS la carga sobre un protón es e _p = 4.803 × 10 ⁻¹⁰ esu mientras que en el sistema MKS es e _p = 1.602 × 10 ⁻¹⁹ Coulombs. La relación de estos dos números es

\[\frac{\left.e_{p}\right|_{\text {esu }}}{\left.e_{p}\right|_{M K S}}=2.9979 \times 10^{9}. \label{1.6}\]

(10) Los Campos generados por una Partícula Cargada en Movimiento. Considerar un sistema de coordenadas en el que una partícula cargada sin espinas se mueve con respecto al observador con una velocidad constante v la cual es mucho menor que la velocidad de la luz en vacío, c: ie. (v/c) << 1. Los campos eléctricos y magnéticos generados por una carga que se mueve lentamente están dados por

\[\overrightarrow{\mathrm{E}}(\overrightarrow{\mathrm{R}}, t)=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{R}}}{\mathrm{R}^{3}}\right) \quad V / m \quad \overrightarrow{\mathrm{B}}(\overrightarrow{\mathrm{R}}, t)=\frac{1}{c^{2}}(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{E}}) \quad \text { Webers } / m^{2}. \label{1.7}\]

Estas expresiones son correctas al orden (v/c) ². \(\vec R\)es el vector dibujado desde la posición de la partícula cargada en el momento de la observación hasta la posición del observador. Tenga en cuenta que la carga móvil genera tanto un campo eléctrico como un campo magnético. Los campos anteriores se pueden utilizar para calcular la fuerza sobre una partícula q ₂ ubicada en\(\vec R\):

\[\overrightarrow{\mathrm{F}_{2}}(\overrightarrow{\mathrm{R}}, t)=q_{2}[\overrightarrow{\mathrm{E}}(\overrightarrow{\mathrm{R}}, t)+(\overrightarrow{\mathrm{v}_{2}}(\overrightarrow{\mathrm{R}}, t) \times \overrightarrow{\mathrm{B}}(\overrightarrow{\mathrm{R}}, t))] \quad \text { Newtons. } \label{1.8}\]

La partícula q de Ecuaciones (\ ref {1.7}) genera los campos que ejercen fuerzas sobre la partícula q ₂. Las ecuaciones (\ ref {1.7}) son versiones simplificadas de las expresiones generales para los campos eléctricos y magnéticos generados por una carga puntual sin espinas que se mueve de manera arbitraria: ver” Las conferencias de Feynman sobre Física”, Volumen II, página 21-1 (R.P.Feynman, R.B.Leighton, y M.Sands, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1964). Estas expresiones generales son

\[\overrightarrow{\mathrm{E}}(\overrightarrow{\mathrm{R}}, t)=\left.\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\left[\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{R}}}{\mathrm{R}^{3}}\right)+\left(\frac{\mathrm{R}}{c}\right) \frac{d}{d t}\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{R}}}{\mathrm{R}^{3}}\right)+\frac{1}{\mathrm{c}^{2}} \frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{R}}}{\mathrm{R}}\right)\right]\right|_{R e t a r d e d} \label{1.9}\]

\[c \overrightarrow{\mathrm{B}}(\overrightarrow{\mathrm{R}}, t)=\left.\frac{\overrightarrow{\mathrm{R}}}{\mathrm{R}}\right|_{R e t a r d e d} \times \overrightarrow{\mathrm{E}}(\overrightarrow{\mathrm{R}}, t). \label{1.10}\]

La etiqueta “Retardado” se refiere al tiempo retardado\(t_{R}=t-\frac{R}{c}\). Las distancias que aparecen en la Ecuación (\ ref {1.9}) y Ecuación (\ ref {1.10}) no se evalúan en el momento de la observación, t, sino en el momento anterior, el tiempo retardado, para tener en cuenta la velocidad finita de la luz. Cualquier cambio de posición requiere el tiempo mínimo R/c para llegar al observador, donde c es la velocidad de la luz en vacío. Esto corresponde al requisito de que los cambios en el movimiento de la partícula no se puedan comunicar al observador más rápido de lo permitido por la velocidad de la luz en vacío, ver Figura (1.1.3).

Para una partícula que se mueve lentamente, los dos primeros términos de la Ecuación (\ ref {1.9}) se suman para dar la ley de Coulomb en la que la distancia R se evalúa en el momento de la observación más que en el momento retardado; en otras palabras, se puede ignorar el retraso de tiempo si v/c es pequeño. El último término en la Ecuación (\ ref {1.9}) da un campo que es proporcional al componente de aceleración perpendicular al vector de posición\(\vec R\) en el límite (v/c) << 1. Este campo disminuye con la distancia como 1/R a diferencia de la disminución de 1/R ² de la ley de Coulomb. Se llama el campo de radiación y viene dada por la expresión

\[\overrightarrow{\mathrm{E}}_{r a d}=\left.\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{[\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{R}}] \times \overrightarrow{\mathrm{R}}}{\mathrm{c}^{2} R^{3}}\right|_{t-\frac{R}{c}} \label{1.11}\]

\[c \overrightarrow{\mathrm{B}}=\left.\frac{\overrightarrow{\mathrm{R}}}{\mathrm{R}}\right|_{t-\frac{R}{\epsilon}} \times \overrightarrow{\mathrm{E}}_{r a d}, \label{1.12}\]

donde\(\vec a\) esta la aceleracion de la carga.

Figura\(\PageIndex{3}\): Los campos eléctricos y magnéticos generados en el punto de observación P en el tiempo t dependen de la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cargada en el tiempo retardado\(t_{R}=\left(t-\frac{R}{c}\right)\).