1.2: Ecuaciones de Maxwell

En principio, dadas las posiciones de una colección de partículas cargadas en cada instante de tiempo se podrían calcular los campos eléctrico y magnético en cada punto del espacio y en cada tiempo a partir de las Ecuaciones (1.1.9) y (1.1.10). Para la materia ordinaria esta es claramente una tarea imposible. Incluso un pequeño volumen de un sólido o un líquido contiene enormes números de átomos. Un cubo de una micra en un lado (10 ⁻⁶ m × 10 ⁻⁶ m × 10 ⁻⁶ m) contiene ∼ 10 ¹¹ átomos, por ejemplo. Cada átomo consiste en un núcleo cargado positivamente rodeado de muchos electrones cargados negativamente, todos los cuales están en movimiento y que, por lo tanto, generarán campos eléctricos y magnéticos que fluctúan rápidamente tanto en el espacio como en el tiempo. Para la mayoría de los propósitos no se desea conocer con gran detalle la variación de espacio y tiempo de los campos. Por lo general, se desea conocer sobre los campos eléctricos y magnéticos promediados en el espacio y el tiempo. Por ejemplo, la magnitud y dirección del\(\vec E\) promedio a lo largo de un intervalo de tiempo que es determinado por el instrumento utilizado para medir el campo. Normalmente esto podría ser del orden de 10 ⁻⁶ segundos o más; un tiempo que es muy largo comparado con el tiempo requerido para que un electrón complete una órbita alrededor del núcleo atómico en un átomo (^10-16 a ^10-21 segundos). Además, uno suele estar interesado en el valor de estos campos promediado sobre un volumen que es pequeño comparado con un cubo ∼ 10 ⁻⁶ metros en un lado pero grande en comparación con las dimensiones atómicas, ∼ 10 ⁻¹⁰ metros de diámetro. En 1864 J.C.Maxwell propuso un sistema de ecuaciones diferenciales que pueden ser utilizadas para calcular distribuciones de campos eléctricos y magnéticos, y que proporcionan automáticamente los campos promediados de espacio y tiempo que son de interés práctico. Estas ecuaciones de Maxwell para un medio macroscópico son las siguientes:

\[ \begin{align} & \operatorname{curl} \vec{\mathrm{E}}=-\frac{\partial \vec{\mathrm{B}}}{\partial t} \label{1.13} \\& \operatorname{div} \vec{\mathrm{B}}=0 \label{1.14} \\& \operatorname{curl} \vec{\mathrm{B}}=\mu_{0}\left(\vec{\mathrm{J}}_{f}+\operatorname{curl} \vec{\mathrm{M}}+\frac{\partial \vec{\mathrm{P}}}{\partial t}\right)+\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial \vec{\mathrm{E}}}{\partial t} \label{1.15} \\& \operatorname{div} \vec{\mathrm{E}}=\frac{1}{\epsilon_{0}}\left(\rho_{f}-\operatorname{div} \vec{\mathrm{P}}\right) \label{1.16} \end{align}\]

donde\(\epsilon_{0} \mu_{0}=1 / c^{2}\) y c es la velocidad de la luz en vacío. Estas ecuaciones subyacen a toda la ingeniería eléctrica y gran parte de la física y la química. Deben estar comprometidos con la memoria. En gran parte, este libro está dedicado a elaborar las consecuencias de las ecuaciones de Maxwell para casos especiales que proporcionan los antecedentes y orientación necesarios para resolver problemas prácticos en electricidad y magnetismo. En Ecuaciones (1.2.13 a 1.2.16)\(\epsilon_{0}\) se encuentra la permatividad del espacio libre; ya se ha introducido en conexión con la ley de Coulomb, Ecuación (1.1.3). La constante µ ₀ se llama permeabilidad del espacio libre. Tiene el valor definido

\[\mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \quad \text { Henries / } m. \label{1.17}\]

Las ecuaciones de Maxwell como se escribieron anteriormente contienen cuatro nuevas cantidades que deben definirse: son

1)\(\vec J_f\), la densidad de corriente debida a las cargas que son libres de circular en el espacio, en unidades de Amp`eres/m ²;

2) ρ _f, la densidad neta de cargas en el material, en unidades de culombios/m ³;

(3)\(\vec M\), la densidad de dipolos magnéticos por unidad de volumen en unidades de Amps/m;

(4)\(\vec P\), la densidad de dipolos eléctricos por unidad de volumen en unidades de culombios/m ². En el esquema de Maxwell estas cuatro cantidades se convierten en las fuentes que generan los campos eléctrico y magnético. Están relacionados con los promedios espaciales y temporales de la posición y velocidades de las cargas microscópicas que componen la materia.

1.2.1 Definición de la Densidad de Carga Libre, ρ _f.

Construir un elemento de pequeño volumen, ∆V, alrededor del punto particular en el espacio especificado por el vector de posición\(\vec r\). Sumar todos los cargos contenidos en ∆V en un instante particular; dejar que esta cantidad de carga sea ∆Q (t). Promedio ∆Q (t) en un intervalo de tiempo corto comparado con el tiempo de medición de interés, pero largo comparado con tiempos característicos del movimiento de electrones alrededor de los núcleos atómicos; dejar que la carga promedio de tiempo resultante sea < ∆Q (t) >. Entonces la densidad de carga libre se define como

\[\rho_{f}(\vec{r}, t)=\frac{<\Delta Q(t)>}{\Delta V} \quad \text { Coulombs } / m^{3}. \label{1.18}\]

Las dimensiones del elemento volumétrico ∆V son bastante vagas; dependerá de la escala de la variación espacial que sea de interés para un problema particular. Debe ser grande comparado con las dimensiones atómicas pero pequeño comparado con la distancia sobre la cual ρ _f cambia apreciablemente.

1.2.2 Definición de la Densidad de Corriente Libre,\(\vec J_f\).

La densidad de carga libre\(\rho(\vec{\mathrm{r}}, t)\), en general cambiará con el tiempo a medida que la carga fluye de un lugar a otro; uno solo necesita pensar en la carga que fluye a lo largo de un cable. La velocidad a la que la carga fluye a través de un elemento del área se describe por la densidad de corriente,\(\vec{\mathrm{J}}_{f} ( \vec{\mathrm{r}}, t)\). Es un vector porque el flujo de carga está asociado con una dirección. Los componentes del vector de densidad de corriente se pueden medir contando la tasa de flujo de carga a través de un área pequeña ∆A ubicada en la posición especificada por\(\vec r\), y cuya normal está orientada paralela a uno de los ejes de coordenadas; paralela al eje x, por ejemplo (ver Figura (1.2.4)).

Figura\(\PageIndex{4}\): Componente x de la densidad de corriente causada por una distribución de carga móvil. La carga etiquetada Q es representativa de todas las cargas que pasan por el elemento orientado a x del área, ∆A por unidad de tiempo.

Ahora en el momento t medir la cantidad neta de carga < ∆Q >,, que ha pasado por ∆A _x en un pequeño intervalo de tiempo, ∆t: carga positiva que fluye en la dirección de +x a -x se cuenta como contribución negativa; carga negativa que fluye de -x a +x también hace una contribución negativa. El componente x de la densidad de corriente viene dado por

\[\left.\vec{\mathrm{J}_{f}}\right|_{x}=\frac{<\Delta Q>}{\Delta t \Delta A_{x}} \quad A m p s / m^{2}. \label{1.19}\]

Los otros dos componentes de\(\vec J_f\) se definen de manera similar. Se supone que el intervalo de tiempo ∆t, y las dimensiones de los elementos de área, ∆A _x, ∆A _y, y ∆A _z se eligen de manera que sean grandes comparados con los tiempos atómicos y las dimensiones atómicas, pero pequeños en comparación con las escalas de tiempo y longitud apropiadas para un problema particular. La densidad de carga libre se puede visualizar como una especie de fluido que fluye de un lugar a otro con cierta velocidad. En términos de esta velocidad la densidad de corriente libre viene dada por

\[\vec{\mathrm{J}}_{f}(\vec{\mathrm{r}}, t)=\rho_{f}(\vec{\mathrm{r}}, t) \vec{\mathrm{v}}(\vec{r}, t). \label{1.20}\]

En el proceso de flujo de carga la carga eléctrica no puede ser creada ni destruida. Debido a que se conserva el cargo, se deduce que la tasa a la que se lleva la carga a un volumen debe estar relacionada con la tasa a la que la carga neta en el volumen aumenta con el tiempo. La expresión matemática de esta ley de conservación de cargas es

\[\frac{\partial \rho_{f}(\vec{\mathbf{r}}, t)}{\partial t}=-\operatorname{div} \vec{\mathbf{J}}_{f}(\vec{\mathbf{r}}, t). \label{1.21}\]

1.2.3 Dipolos puntuales.

Para discutir las definiciones de las dos funciones vectoriales \(\vec{\mathrm{P}}(\vec{\mathrm{r}}, t)\)y primero es\(\vec{\mathrm{M}}(\vec{\mathrm{r}}, t)\) necesario discutir los conceptos de un dipolo eléctrico puntual y un dipolo magnético puntual.

El Dipolo Eléctrico Puntual.

La mayoría de los átomos en una sustancia son eléctricamente neutros, es decir, la carga en el núcleo es compensada por los electrones que se mueven alrededor de ese núcleo. Cuando se examina desde una distancia que es larga en comparación con las dimensiones atómicas (∼ 10 ⁻¹⁰ m), el átomo neutro no produce ningún campo eléctrico o magnético sustancial. No obstante, si, en promedio, el centroide de la distribución de carga negativa se desplaza de la posición del núcleo, el campo Coulomb del núcleo ya no cancelará el campo Coulomb de los electrones. Para fijar ideas, piense en un átomo de hidrógeno estacionario que consiste en un protón y un electrón. El electrón se mueve tan rápido que en una escala de tiempo humano su carga parece estar localizada en una nube esférica que está estrechamente distribuida alrededor del núcleo (ver Figura 1.2.5).

En ausencia de un campo eléctrico externo el centroide de la distribución electrónica de carga coincidirá con la posición del núcleo. En estas circunstancias, los campos de Coulomb promediados en el tiempo del núcleo y el electrón se cancelan entre sí cuando se observan desde distancias que son grandes

Figura\(\PageIndex{5}\): Figura superior: Croquis de un átomo de hidrógeno en campo eléctrico aplicado cero. La carga nuclear es Q = 1.6 × 10 ⁻¹⁹ Coulombs. La carga electrónica promediada en el tiempo, -Q, se distribuye en una nube esféricamente simétrica alrededor del núcleo que tiene un radio de aproximadamente 5 × 10 ⁻¹¹ m. Figura inferior: Croquis de un átomo de hidrógeno sometido a un campo eléctrico uniforme E ₀. El desplazamiento del centroide de la densidad de carga electrónica con relación al núcleo ha sido exagerado en aras de la claridad.

en comparación con 10 ⁻¹⁰ m. Si el átomo es sometido a un campo eléctrico externo, el núcleo se tira en una dirección y el centroide de la nube de electrones se tira en la otra dirección (Ecuación (1.1.1)): hay una separación efectiva de carga (ver Figura 1.2.5). Los campos de Coulomb debido al núcleo y al electrón ya no cancelan exactamente. Usemos la ley de superposición para calcular el campo que surge cuando ya no coinciden dos cargos puntuales; consulte la Figura (1.2.6). El campo eléctrico en el punto de observación, P, debido a la carga positiva viene dado por

\[\vec{\mathrm{E}}_{+}=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{\vec{\mathrm{r}}}{\mathrm{r}^{3}}\right). \nonumber \]

El campo eléctrico en P debido a la carga negativa viene dado por

\[\vec{\mathrm{E}}_{-}=-\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{\vec{\mathrm{r}}+\vec{\mathrm{d}}}{\left(|\vec{\mathrm{r}}+\vec{\mathrm{d}}|^{3}\right.}\right). \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{6}\): Dos cargas iguales en magnitud pero opuestas en signo están separadas por la distancia vectorial\(\vec d\). Por definición el momento dipolar de este par de cargas\(\vec d\) es\(\vec{\mathrm{p}}=q \vec{\mathrm{d}}\) donde se dirige el vector de la carga negativa a la positiva. \(\hat{\mathrm{u}}_{\mathrm{x}}, \hat{\mathrm{u}}_{\mathrm{y}}, \text { and } \hat{\mathrm{u}}_{\mathrm{z}}\)son vectores unitarios dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z.

Refiriéndonos a la Figura 1.2.6 uno tiene

\[\vec{\mathrm{r}}=x \hat{\mathrm{u}}_{x}+y \hat{\mathrm{u}}_{y}+z \hat{\mathrm{u}}_{z}, \nonumber\]

y

\[\mathrm{r}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. \nonumber\]

Para\(\vec d\) orientado a lo largo del eje z como se muestra en la Figura 1.2.6.

\[(\vec{\mathrm{r}}+\vec{\mathrm{d}})=x \hat{\mathrm{u}}_{x}+y \hat{\mathrm{u}}_{y}+(z+d) \hat{\mathrm{u}}_{z} \nonumber\]

para que

\[ \left.|\vec{r}+\vec{d}|=\left[x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}\right)\right]^{1 / 2} \nonumber \]

o

\[|\vec{\mathrm{r}}+\vec{\mathrm{d}}|=\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 z d+d^{2}\right]^{1 / 2}. \nonumber\]

Al dividir r ² esto da

\[|\vec{\mathrm{r}}+\vec{\mathrm{d}}|=r\left[1+\left(\frac{2 z d+d^{2}}{r^{2}}\right)\right]^{1 / 2}. \nonumber \]

De esta expresión se tiene

\[\frac{1}{|\vec{\mathrm{r}}+\vec{\mathrm{d}}|^{3}}=\frac{1}{r^{3}}\left[1+\frac{\left(2 z d+d^{2}\right)}{r^{2}}\right]^{-3 / 2}. \nonumber \]

Esto es hasta el momento exacto. Ahora haz uso del hecho de que (d/r) es muy pequeño y usa el teorema binomial para expandir el radical. Es suficiente mantener solo términos lineales en (d/r). El resultado es

\[\frac{1}{|\vec{\mathrm{r}}+\vec{\mathrm{d}}|^{3}}=\frac{1}{r^{3}}-\frac{3 z d}{r^{5}}. \nonumber\]

Utilice este resultado para calcular el campo eléctrico total en el punto de observación, P, correcto a términos de orden (d/r). Los términos proporcionales a

\[\left(\frac{1}{r^{2}}\right) \nonumber\]

cancelar dejando el campo

\[\vec{\mathrm{E}_{d}}=\vec{\mathrm{E}_{+}}+\vec{\mathrm{E}_{-}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{(3 z q d) \vec{\mathrm{r}}}{r^{5}}-\frac{q \vec{\mathrm{d}}}{r^{3}}\right). \nonumber\]

Por definición el momento dipolar del par de cargas puntuales viene dado por\(\vec{\mathrm{p}}=q \vec{\mathrm{d}}\). Además \(zqd=\vec r \cdot \vec p \), es decir, es igual al producto escalar del momento dipolo y el vector de posición \(\vec r\). Finalmente, se puede escribir la expresión para el campo eléctrico generado por un dipolo de punto estacionario

\[\vec{\mathrm{E}_{d}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{3(\vec{\mathrm{p}} \cdot \vec{\mathrm{r}}) \vec{\mathrm{r}}}{r^{5}}-\frac{\vec{\mathrm{p}}}{r^{3}}\right).\label{1.22}\]

Si bien esta expresión se ha obtenido para el caso particular en el que\(\vec p\) se orienta a lo largo del eje z, el resultado establecido en la Ecuación (\ ref {1.22}) es perfectamente general y es válido para cualquier orientación del momento dipolar\(\vec p\).

La fórmula\ ref {1.22} es tan fundamental que debe ser comprometida con la memoria junto con la ley de Coulomb. La distribución de campo alrededor de un dipolo puntual se ilustra en la Figura 1.2.7. El campo magnético generado por un dipolo puntual estacionario es cero; los campos magnéticos son generados por cargas que se mueven con respecto al observador.

Es útil escribir el campo eléctrico del dipolo en términos de sus componentes con respecto a un sistema de coordenadas polares esféricas en el que el dipolo está alineado a lo largo del eje z, ver Figura (1.2.8). Estos componentes son

\[\mathrm{E}_{\mathrm{r}}=\frac{2 p}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\cos (\theta)}{r^{3}}\label{1.23}\]

\[\mathrm{E}_{\theta}=\frac{p}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\sin (\theta)}{r^{3}} \label{1.24}\]

El Dipolo Magnético Puntual.

Los átomos y las moléculas a menudo llevan un momento magnético. Estos momentos magnéticos pueden surgir como resultado del movimiento de electrones alrededor del núcleo de un átomo o alrededor de los núcleos en una molécula (ver más abajo). Además,

Figura\(\PageIndex{7}\): La intensidad del campo eléctrico en diversas posiciones alrededor de un dipolo puntual eléctrico,\(\vec P\). La distribución del campo eléctrico es cilíndrica simétrica alrededor del dipolo como eje.

los electrones y núcleos llevan momentos magnéticos puntuales intrínsecos que están relacionados con su momento angular intrínseco (espín). Los momentos magnéticos atómicos o moleculares generan campos magnéticos. Cuando estos campos magnéticos se observan a distancias del átomo o molécula que son mucho mayores que las dimensiones atómicas o moleculares, y cuando estos campos se promedian en tiempos largos en comparación con los tiempos orbitales atómicos o moleculares, el campo promediado en el tiempo resultante puede describirse mediante

\[\vec{\mathrm{B}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\frac{3(\vec{\mathrm{m}} \cdot \vec{\mathrm{r}}) \vec{\mathrm{r}}}{r^{5}}-\frac{\vec{\mathrm{m}}}{r^{3}}\right). \label{1.25}\]

donde µ ₀ es la constante de la Ecuación (\ ref {1.17}) y\(\vec m\) es el momento magnético. Además del campo magnético creado por un momento magnético, el átomo o molécula, si se carga, generará un campo eléctrico dado por la ley de Coulomb, Ecuación (1.1.3).

Figura\(\PageIndex{8}\): El campo eléctrico generado por un dipolo orientado a lo largo del eje z y expresado como componentes polares esféricos.

La generación de un campo magnético debido al movimiento orbital de una partícula cargada se puede entender utilizando el modelo simple ilustrado en la Figura (1.1.9). Dejar que una partícula cargada sin espinas, carga= q Coulombs, gire en una órbita circular de radio a metros con la velocidad v metros/seg, donde\(\frac{v}{c} << 1 \). Se puede usar la Ecuación (1.1.7) para calcular los campos eléctricos y magnéticos que serían medidos por un observador cuya distancia desde el centro del bucle de corriente es mucho mayor que el radio de órbita a. se puede demostrar que el campo eléctrico promediado en el tiempo viene dado por la ley del culomb

\[\vec{\mathrm{E}}=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{\vec{r}}{r^{3}}\right) \quad \text { Volts } / \mathrm{m}. \nonumber\]

Este resultado se obtiene mediante el uso de una expansión binomial en la pequeña cantidad a/r y mantener solo los términos de orden más bajos; el término de corrección de orden más bajo al tomar el promedio de tiempo es proporcional a (a/r) ², ver problema (1.8). El campo magnético se puede calcular usando la Ecuación (1.1.7). La velocidad de la partícula es proporcional al radio de la órbita, y por lo tanto cuando se elaboran los promedios de tiempo, el término de no fuga de orden más bajo es proporcional a (a/r) ²; ver problema (1.8). El campo magnético promediado en el tiempo resulta estar dado por la Ecuación (\ ref {1.25}). Observe que esta expresión tiene exactamente la misma forma que la Ecuación (\ ref {1.22}) para la distribución del campo eléctrico alrededor de un dipolo eléctrico

Figura\(\PageIndex{9}\): Una partícula que porta una carga de q Coulombs y siguiendo una órbita circular de radio a metros con la velocidad v metros/seg genera un momento dipolo magnético\(|\vec{\mathrm{m}}|=\text { qav } / 2 \mathrm{Amp}-m^{2}\).

momento\(\vec p\). Aquí el vector m se denomina momento dipolo magnético orbital asociado con el bucle de corriente, y viene dado por

\[\vec{\mathrm{m}}=\frac{q a^{2}}{2}\left(\frac{d \phi}{d t}\right) \hat{\mathrm{u}}_{z} \quad \text { Coulomb }-\text { meters }^{2} / \text { sec. } \label{1.26}\]

Tenga en cuenta que\(|\vec{\mathrm{m}}|=\mathrm{IA}\) donde\(\mathrm{I}=\mathrm{qv} / 2 \pi a\) está la corriente en el bucle, y\(A=\pi a^{2}\) es el área del bucle. Dado que la velocidad de la partícula viene dada por\(v=a(\mathrm{d} \phi / d t)\), la magnitud del momento magnético también se puede escribir en términos del momento angular de la carga circulante:

\[ |\vec{\mathrm{m}}|=\frac{q a \mathrm{v}}{2}=\left(\frac{q}{2 m_{p}}\right)\left(m_{p} a v\right). \nonumber\]

donde la masa de la partícula cargada es m _p y lleva un momento angular\(\mathrm{L}=\mathrm{m}_{p} a \mathrm{v}\). Así, el momento angular\(\vec m\) está relacionado con el momento angular de la partícula\(vec L\) por la relación

\[\vec{\mathrm{m}}=\left(\frac{q}{2 m_{p}}\right) \vec{\mathrm{L}}. \label{1.27}\]

Para un electrón q= - 1.60 × 10 ⁻¹⁹ Coulombs = - |e| para que el momento magnético y el momento angular estén dirigidos de manera opuesta. El momento angular se cuantifica en unidades de\(\hbar\), por lo tanto, también se cuantifica el momento magnético de una partícula orbitante. El cuántico de magnetización para un electrón en órbita se llama el magnetón de Bohr, µ _B. Tiene el valor

\[ \mu_{B}=\frac{e \hbar}{2 m_{e}}=9.27 \times 10^{-24} \quad \text { Coulomb }-m^{2} / \mathrm{sec}. \nonumber\]

(Las unidades de µ _B también se pueden expresar como Amp-m ² o como Julios/Tesla).

Además de su momento angular orbital, las partículas cargadas poseen un momento intrínseco o angular de giro,\(\vec S\). También hay un momento magnético asociado con el giro. El momento magnético debido al giro suele estar escrito

\[\vec{\mathrm{m}}_{s}=g\left(\frac{q}{2 m_{p}}\right) \vec{\mathrm{s}}. \label{1.28}\]

Para un electrón q = −|e|, y g = 2.00. El espín de un electrón tiene la magnitud |\(\vec S\) | =\(\hbar\) /2; en consecuencia, el momento magnético intrínseco que lleva un electrón debido a su espín es solo 1 magnetón Bohr, µ _B. El momento magnético total generado por una partícula orbitante que lleva un momento de giro viene dado por la suma vectorial de sus momentos magnéticos orbitales y de espín. El momento magnético total asociado a un átomo es la suma vectorial de los momentos orbitales y espín transportados por todas sus partículas constituyentes, incluido el núcleo. El campo magnético generado por un átomo estacionario a distancias grandes en comparación con el radio atómico viene dado por la Ecuación (\ ref {1.25}) con\(\vec m\) igual al momento dipolo magnético atómico total.

1.2.4 Las definiciones de las densidades de dipolo eléctrico y magnético.

Pasemos ahora a las definiciones de la densidad de momento del dipolo eléctrico\(\vec P\), y la densidad del dipolo magnético,\(\vec M\), que se dan en las ecuaciones de Maxwell (1.2.1 a 1.2.4).

La Definición de la Densidad del Dipolo Eléctrico,\(\vec P\).

Piense en un modelo idealizado de materia en el que todos los átomos estén fijos en posición. En presencia de un campo eléctrico cada átomo desarrollará un momento dipolar eléctrico; el momento dipolar inducido en cada átomo dependerá de la especie atómica. Algunas configuraciones atómicas también llevan un momento dipolo eléctrico permanente en virtud de su disposición geométrica: la molécula de agua, por ejemplo, lleva un momento dipolar permanente de 6.17 × 10 ⁻³⁰ culomb-metros (ver problema (1.12). Que el momento dipolar en el átomo i sea\(\vec p_i\) coulomb-metros. Seleccione un elemento de volumen ∆V ubicado en alguna posición\(\vec r\) de la materia. En algún instante del tiempo, t, medir el momento dipolar en cada átomo contenido en ∆V y calcular su suma vectorial,\(\sum_{i} \vec{\mathrm{p}}_{i}\). Este momento fluctuará con el tiempo, por lo que es necesario realizar un promedio de tiempo sobre un intervalo que sea largo comparado con las fluctuaciones atómicas pero corto comparado con tiempos de interés experimental; que este promedio de tiempo sea\(\left\langle\sum_{i} \vec{\mathrm{p}}_{i}\right\rangle\). Entonces la densidad del dipolo eléctrico viene dada por

\[\overrightarrow{\mathrm{P}}(\overrightarrow{\mathrm{r}}, t)=\frac{\left\langle\sum_{i} \overrightarrow{\mathrm{p}}_{i}\right\rangle}{\Delta V} \quad \text { Coulombs } / \mathrm{m}^{2}. \label{1.29}\]

La forma y el tamaño de ∆V no son importantes: el volumen de ∆V debe ser grande comparado con un átomo, pero pequeño en comparación con la distancia sobre la cual\(\vec P\) varía en el espacio. En un material real los átomos generalmente no están fijos en posición. En un sólido se mueven sobre sitios más o menos fijos. En líquidos y gases pueden, además, tomar parte en el flujo másico a medida que la materia fluye de un lugar a otro. Este movimiento atómico complica considerablemente el cálculo de la densidad del dipolo eléctrico porque el dipolo eléctrico efectivo sobre un átomo o molécula que se mueve con respecto al observador incluye una pequeña contribución debido a cualquier momento dipolar magnético que pudiera ser transportado por ese átomo o molécula. Sin embargo, estos términos de corrección son muy pequeños y pueden descuidarse en el límite\(\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{c}} \ll 1\).

La Definición de la Densidad del Dipolo Magnético,\(\vec M\).

Esta cantidad vectorial se define de manera similar a la definición del momento dipolar eléctrico por unidad de volumen:

\[\vec{\mathrm{M}}(\vec{\mathrm{r}}, t)=\frac{\left\langle\sum_{i} \vec{\mathrm{m}}_{i}\right\rangle}{\Delta V} \quad \text { Amps / meter. } \label{1.30}\]

\(\left\langle\sum_{i} \vec{\mathrm{m}}_{i}\right\rangle\)es un promedio de tiempo adecuado sobre los momentos magnéticos atómicos contenidos en un elemento de pequeño volumen, ∆V, en el tiempo t y centrado en la posición especificada por\(\vec r\). Se supone que los átomos son estacionarios. Si no lo son, la densidad de magnetización contiene contribuciones que son proporcionales a las velocidades de los diversos momentos dipolares eléctricos atómicos; estas velocidades se miden con respecto al observador. No nos ocuparemos de esta corrección que es muy pequeña si\(\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{c}} \ll 1\). Como anteriormente, se supone que el elemento de volumen ∆V es grande comparado con una dimensión atómica pero pequeño en comparación con la escala de longitud sobre la cual\(\vec M\) varía en el espacio.