1.5: Densidad de Fuerza y Densidad de Torsión en Materia

La presencia de un campo eléctrico\(\vec E\), y un campo magnético\(\vec B\), en la materia da como resultado una densidad de fuerza si la materia está cargada y en una densidad de par si la materia lleva densidades dipolares eléctricas y magnéticas. Además, si el campo eléctrico varía en el espacio (el caso habitual) entonces se crea una densidad de fuerza que es proporcional a la densidad del dipolo eléctrico y a los gradientes del campo eléctrico. De igual manera, si el campo magnético varía en el espacio entonces se ejerce una densidad de fuerza sobre la materia que es proporcional a la densidad del dipolo magnético y a los gradientes del campo magnético. Estas densidades de fuerza y par se indican a continuación; su prueba se deja para los conjuntos de problemas.

1.5.1 La Densidad de Fuerza en Materia Cargada y Polarizada.

Existe una densidad de fuerza que es el análogo directo de la Ecuación (1.1.8), la fuerza que actúa sobre una partícula cargada que se mueve con la velocidad\(\vec v\) en campos eléctricos y magnéticos, es decir

\[ \overrightarrow{\mathrm{f}}=q(\overrightarrow{\mathrm{E}}+[\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}]).\nonumber \]

Si esta fuerza que actúa sobre cada partícula cargada se promedia en el tiempo durante períodos más largos que los tiempos orbitales atómicos o moleculares característicos y se suma sobre las partículas contenidas en un volumen, ∆V, donde ∆V es grande en comparación con las dimensiones atómicas o moleculares, entonces se puede dividir esta fuerza promedio total por ∆V para obtener la densidad de fuerza

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}=\rho_{f} \overrightarrow{\mathbf{E}}+\left(\overrightarrow{\mathbf{J}}_{f} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}\right) \quad \text { Newtons } / m^{3}.\]

Si el campo eléctrico en la materia varía de un lugar a otro se genera una densidad de fuerza proporcional al momento dipolar por unidad de volumen\(\vec P\), dada por

\[\overrightarrow{\mathrm{F}}_{E}=\left(\overrightarrow{\mathrm{P}} \cdot \nabla E_{x}\right) \hat{\mathbf{u}}_{x}+\left(\overrightarrow{\mathrm{P}} \cdot \nabla E_{y}\right) \hat{\mathbf{u}}_{y}+\left(\overrightarrow{\mathrm{P}} \cdot \nabla E_{z}\right) \hat{\mathbf{u}}_{z} \quad \text { Newtons } / m^{3}.\]

Además, si el campo magnético,\(\vec B\), varía de un lugar a otro se generará una densidad de fuerza proporcional a la densidad del dipolo magnético,\(\vec M\), dada por

\[\overrightarrow{\mathrm{F}}_{B}=\left(\overrightarrow{\mathrm{M}} \cdot \nabla B_{x}\right) \hat{\mathbf{u}}_{x}+\left(\overrightarrow{\mathrm{M}} \cdot \nabla B_{y}\right) \hat{\mathbf{u}}_{y}+\left(\overrightarrow{\mathrm{M}} \cdot \nabla B_{z}\right) \hat{\mathbf{u}}_{z} \quad \text { Newtons } / m^{3}.\]

El operador nabla denota la operación de calcular el gradiente de una función escalar\(\phi(\overrightarrow{\mathrm{r}})\). En coordenadas cartesianas

\[\nabla \phi=\frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{\mathbf{u}}_{x}+\frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{\mathbf{u}}_{y}+\frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{\mathbf{u}}_{z}.\nonumber\]

1.5.2 Las Densidades de Torsión en Materia Polarizada.

Se puede demostrar que un campo eléctrico ejerce un par sobre la materia polarizada. La densidad de par viene dada por

\[\overrightarrow{\mathrm{T}}_{E}=\overrightarrow{\mathrm{P}} \times \overrightarrow{\mathrm{E}} \quad \text { Newtons } / \mathrm{m}^{2}.\]

El campo magnético también ejerce un par sobre la materia magnetizada. Esta densidad de par viene dada por

\[\overrightarrow{\mathrm{T}}_{B}=\overrightarrow{\mathrm{M}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}} \quad \text { Newtons } / \mathrm{m}^{2}.\]