2.1: Introducción

El límite electrostático es el caso ideal en el que nada cambia con el tiempo. Todas las distribuciones de fuentes son estacionarias,\(\frac{\partial}{\partial t}\) es decir, es cero. Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell reducen a

\[ \begin{align} &\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{E}})=0 \\& \operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{B}})=0 \\& \operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{B}})=\mu_{0}\left(\overrightarrow{\mathrm{J}}_{f}+\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{M}})\right) \\& \operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{E}})=\frac{1}{\epsilon_{0}}\left(\rho_{f}-\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{P}})\right) \end{align} \]

Observe que el campo magnético se ha desacoplado totalmente del campo eléctrico. En lo que respecta al campo eléctrico estático, las propiedades magnéticas de la materia son irrelevantes. El cálculo del campo magnético estático a partir de sus fuentes será objeto del Capítulo (4).

Observe que −div (\(\vec P\)) es una fuente del campo electrostático que está en igualdad de condiciones con la densidad de carga libre, ρ _f. El campo eléctrico electrostático se puede calcular para una distribución de fuente dada usando el principio de superposición. Por ejemplo, supongamos que

Figura\(\PageIndex{1}\): Dada una distribución de fuentes, el campo eléctrico en la posición del observador, (X, Y, Z), puede calcularse como la suma de los campos eléctricos generados dividiendo la distribución de la fuente en elementos de pequeño volumen dV=dxDydz y tratando las cargas o momentos dipolares en cada elemento de volumen como carga puntual o como momento dipolo puntual.

a uno se le da una distribución de densidad de carga ρ (x, y, z), y dejar que el observador se ubique en (X, Y, Z). La carga total contenida dentro de un elemento de volumen dV localizado en (x, y, z) viene dada por dQ = ρ (x, y, z) dxdydz. Si se toma dV para ser suficientemente pequeña, la carga dQ puede tratarse como una carga puntual. Generará una contribución de campo eléctrico en la posición del observador que se da por la ley de Coulomb:

\[d\overrightarrow{\mathrm{E}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} d Q \frac{(\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}})}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|^{3}}, \nonumber\]

donde\(\vec R\) está el vector que especifica la posición del observador y\(\vec r\) es el vector que especifica la ubicación del elemento de volumen, dV (ver Figura (2.1.1). El campo eléctrico total en la posición del observador se puede calcular como la suma vectorial de las contribuciones del campo eléctrico de todos los elementos de volumen:

\[\overrightarrow{\mathrm{E}}(X, Y, Z)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \int \int_{A l l S p a c e} d x d y d z \rho(x, y, z) \frac{(\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}})}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|^{3}}.\]

Es muy rara vez que la integral anterior pueda llevarse a cabo analíticamente. En todos menos algunos casos especiales la integral debe calcularse utilizando una computadora y elementos de volumen pequeños pero finitos. La ecuación (2.1.5) es válida incluso cuando el punto de observación se encuentra dentro de la distribución de carga de manera que la distancia\(\vec r\) |\(\vec R\) − | va a cero para un elemento de volumen ubicado en la posición del observador. Por qué la Ecuación (2.1.5) aún funciona no es obvio pero se puede entender usando el siguiente argumento. Rodear el punto de observación por una pequeña esfera cuyo radio, R ₀, es finito pero es tan pequeño que se puede descuidar la variación espacial de la densidad de carga dentro de la esfera. El campo eléctrico en el observador debido a cargas fuera de la esfera de radio R ₀ se puede realizar sin problemas creados por un denominador de fuga en la Ecuación (2.1.5).

Al campo eléctrico generado por cargas fuera de la esfera se debe agregar el campo eléctrico generado en el centro de la esfera por las cargas dentro del radio R ₀. Sin embargo, el campo eléctrico en el centro de una esfera uniformemente cargada desaparece por simetría, ver Figura (2.1.2). Por cada elemento de carga en (x, y, z) hay un segundo elemento igual de carga en (-x, -y, -z) cuyo campo es igual en magnitud pero opuesto en dirección al campo del primer elemento de carga. Así, los campos generados por estos pares de carga relacionados con simetría se cancelan.

2.1.1 Densidad de Momento Dipolar como Fuente para el Campo Eléctrico.

Un dipolo eléctrico puntual genera un campo eléctrico de acuerdo con la Ecuación (1.2.10). Esta fórmula de dipolo puntual se puede utilizar para calcular el campo eléctrico en algún punto del espacio, (X, Y, Z), generado por una distribución de densidad de dipolo\(\vec P\) (x, y, z). La idea es dividir la distribución de la fuente en elementos de pequeño volumen, dV, y luego usar el principio de superposición para obtener el campo eléctrico como la suma vectorial de los campos producidos por los momentos dipolares\(\vec P\) (x, y, z) dV tratados como dipolos puntuales. El campo eléctrico en la posición\(\vec R\) (X, Y, Z), la posición del observador- ver Figura (2.1.1), se puede escribir

Figura\(\PageIndex{2}\): Una esfera de radio R ₀ rellena con una densidad de carga uniforme ρ ₀. El campo eléctrico en el centro de la esfera es cero porque el campo generado por el elemento número 1 en (x, y, z) es cancelado por el campo igual en magnitud pero opuesto en dirección generado por el elemento igual volumen número 2 en (-x, -y, -z). El campo neto generado por todos esos pares relacionados con simetría es cero.

\[\overrightarrow{\mathrm{E}}(X, Y, Z)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \int \int_{S_{p a c c}} d x d y d z\left(\frac{3[\overrightarrow{\mathrm{P}}(x, y, z) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}})](\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}})}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|^{5}}-\frac{\vec{P}(x, y, z)}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|^{3}}\right). \]

Esta fórmula compleja rara vez se puede evaluar exactamente. Por lo general, debe evaluarse aproximadamente por medio de una computadora. La ecuación (2.1.6) es válida para los puntos de observación tanto dentro como fuera de la distribución de densidad de dipolos eléctricos. Si el punto de observación se encuentra dentro de la distribución de densidad del dipolo uno debe rodearlo por una pequeña esfera de radio R0 y llevar a cabo las sumas que implica la Ecuación (2.1.6) para el espacio fuera de la esfera. Esto es necesario para evitar la divergencia obtenida cuando\(\vec R\) =\(\vec r\). El radio R ₀ debe elegirse tan pequeño que se puedan descuidar las variaciones de la densidad del dipolo\(\vec P\),, dentro de la esfera. Después de haber calculado la contribución al campo eléctrico generado por la distribución de densidad dipolar desde puntos fuera de la esfera, se debe agregar una contribución de campo eléctrico desde los dipolos dentro de la esfera. No está claro en este punto cómo calcular esta contribución, pero posteriormente se demostrará que el campo eléctrico en el centro de una esfera uniformemente polarizada, densidad de polarización\(\vec P\) ₀, viene dado por

\[\overrightarrow{\mathrm{E}}_{0}=-\frac{\overrightarrow{\mathrm{P}}_{0}}{3 \epsilon_{0}}. \nonumber\]

Este campo\(\vec E\) ₀ se debe sumar al campo eléctrico generado por las fuentes dipolares fuera de la esfera de radio R ₀ para obtener la intensidad total del campo eléctrico en la posición del observador.

El procedimiento descrito anteriormente es muy complicado debido a la compleja forma del campo eléctrico generado por un dipolo puntual. Un segundo enfoque, más simple, es sugerido por la Ecuación de Maxwell (2.1.4). A saber, se puede usar la Ecuación (2.1.5) con la densidad de carga dada por

\[\rho(x, y, z)=-\operatorname{div} \overrightarrow{\mathrm{P}}(x, y, z).\]

Se desprende de la Ecuación (2.1.7) que una distribución de densidad de momentos dipolares espacialmente uniforme no genera un campo eléctrico. Sin embargo, hay que tener cuidado: cualquier distribución de dipolos confinada a una región finita del espacio debe variar rápidamente en sus superficies. Esta rápida variación de la densidad del dipolo produce una distribución efectiva de la densidad de carga que puede llegar a ser muy grande y se localiza cerca de esas superficies. Estas distribuciones de densidad de carga superficial deben tenerse en cuenta a la hora de calcular el campo eléctrico.