2.2: La función del potencial escalar

El cálculo directo del campo eléctrico usando la ley de Coulomb como en la Ecuación (2.1.5) suele ser inconveniente debido al carácter vectorial del campo eléctrico: La ecuación (2.1.5) es en realidad tres ecuaciones, una para cada componente de campo eléctrico\(\vec E\) _x,\(\vec E\) _y, y \(\vec E\)_z. Resulta que el campo electrostático se puede obtener a partir de una única función escalar, V (x, y, z), llamada función potencial. Por lo general, es más fácil calcular la función potencial que calcular el campo eléctrico directamente. El campo se\(\vec E\) puede obtener de la función potencial por diferenciación:

\[\overrightarrow{\mathrm{E}}(x, y, z)=-\operatorname{grad} V(x, y, z). \label{2.8}\]

Eso es en las coordenadas cartesianas

\[ \begin{align} &E_{x}=-\frac{\partial V}{\partial x}, \nonumber \\& E_{y}=-\frac{\partial V}{\partial y}, \nonumber \\& E_{z}=-\frac{\partial V}{\partial z}. \nonumber \end{align} \nonumber \]

De acuerdo con la Ecuación de Maxwell (2.1.1) el curl (\(\vec E\)) debe ser cero para el campo electrostático. Esta ecuación es automáticamente satisfecha por la Ecuación (2.2.1) debido al teorema matemático que establece que el curl de cualquier función de gradiente es cero, ver sección (1.3.1). Las unidades de la función potencial son Voltios. El potencial absoluto no tiene sentido. Se puede sumar o restar un potencial constante de la función potencial sin cambiar el campo eléctrico; el campo eléctrico es la cantidad físicamente significativa. Dado que el campo eléctrico satisface la ley de superposición se deduce que la función potencial también debe satisfacer la superposición. Esto significa que la función potencial en cualquier momento debido a un cobro de cargas debe ser simplemente la suma de los potenciales generados en ese punto por cada carga actuando como si estuviera sola. Una de las virtudes de usar una función potencial es que las cantidades escalares son más fáciles de agregar que las cantidades vectoriales porque uno solo tiene que tratar con un número en cada punto del espacio en lugar de los tres números que especifican un vector (los tres componentes). Por supuesto, para obtener el campo eléctrico a partir de la función potencial en algún punto del espacio es necesario conocer el potencial en ese punto más el valor del potencial en puntos cercanos para poder calcular las derivadas en grad (V).

El campo eléctrico en el punto\(\vec R\), cuyas coordenadas son (X, Y, Z), debido a una carga puntual q at\(\vec r\), cuyas coordenadas son (x, y, z), se puede calcular a partir de la función potencial

\[V(\overrightarrow{\mathrm{R}})=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|}, \label{2.9}\]

o

\[V(X, Y, Z)=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{\left[(X-x)^{2}+(Y-y)^{2}+(Z-z)^{2}\right]^{1 / 2}}. \nonumber\]

Que esta es una función potencial apropiada se puede verificar mediante diferenciación directa usando

\[ \begin{align} &E_{x}=-\frac{\partial V}{\partial X}, \nonumber \\& E_{y}=-\frac{\partial V}{\partial Y}, \nonumber \end{align} \nonumber \]

y

\[E_{z}=-\frac{\partial V}{\partial Z}. \nonumber \]

Estos componentes del campo eléctrico se pueden comparar con la ley de Coulomb, Ecuación (1.1.3).

La ecuación de función potencial (2.2.2) se puede utilizar para construir la función potencial para cualquier distribución de carga mediante el uso de superposición. Consideremos una distribución de carga arbitraria, pero finita, ρ (\(\vec r\)), como la ilustrada en la Figura (2.1.1). La distribución de carga se puede dividir en una gran cantidad de volúmenes muy pequeños. En la figura se muestra un elemento típico de volumen, dV. La carga contenida en el elemento de volumen dV es dq = ρ (\(\vec r\)) dV Coulombs. Se supone que el elemento de volumen es tan pequeño que toda la carga contenida en él se ubica a la misma distancia del punto de observación en\(\vec R\). Las cargas contenidas en dV pueden tratarse como una carga puntual; por lo tanto, aportan una cantidad al potencial total en P dada por

\[d V_{p}=\frac{\rho(\overrightarrow{\mathrm{r}}) d V}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|} \quad \text { or } \nonumber\]

\[d V_{p}=\frac{\rho(x, y, z) d x d y d z}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{\left.\left[(X-x)^{2}+(Y-y)^{2}\right]+(Z-z)^{2}\right]^{1 / 2}}. \nonumber\]

(No confundir el elemento de volumen, dV, con el elemento de potencial, dV _p.) El potencial total medido por el observador en (X, Y, Z) se obtiene sumando la expresión anterior en toda la distribución de carga.

\[V_{p}(X, Y, Z)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \int \int_{A l l ~ S p a c e} \frac{\rho(x, y, z) d x d y d z}{\left[(X-x)^{2}+(Y-y)^{2}+(Z-z)^{2}\right]^{1 / 2}}. \label{2.10} \]

Por supuesto, no es necesario utilizar coordenadas cartesianas. En notación simbólica se puede escribir la expresión anterior, Ecuación (2.2.3)

\[V_{p}(\overrightarrow{\mathrm{R}})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{S p a c e} \frac{\rho(\overrightarrow{\mathrm{r}}) d V}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|}. \label{2.11}\]

Esta fórmula, Ecuación (2.2.4), funciona incluso cuando el punto en el que se requiere el potencial se ubica dentro de la distribución de carga. No es obvio que deba funcionar; la prueba se basa en el teorema de Green (ver Teoría Electromagnética de Julius Adams Stratton, McGraw-Hill, NY, 1941, sección 3.3). También hay que señalar que la distribución total de la densidad de carga está compuesta en parte por cargas libres, ρ _f, y en parte por las cargas efectivas debido a una variación espacial de la densidad dipolar, ρ _b = −div (\(\vec P\)), donde ρ _b es la denominada densidad de carga ligada: la la densidad de carga total viene dada por

\[\rho=\rho_{f}+\rho_{b}. \nonumber\]

Se puede entender por qué la función potencial permanece finita a pesar de que el integrando en la Ecuación (2.2.4) diverge en el límite como\(\vec r\) →\(\vec R\). Rodea el punto de observación\(\vec R\) por una pequeña esfera de radio R ₀. Se considera que R ₀ es tan pequeño que se pueden descuidar las variaciones de la densidad de carga dentro de la esfera. La integral en la Ecuación (2.2.4) permanece finita en todos los puntos fuera de la esfera y por lo tanto, en principio, la integral puede llevarse a cabo sin problemas. Que la contribución resultante al potencial sea V ₀. Dentro de la esfera la densidad de carga se puede tomar como constante, ρ (\(\vec r\)) = ρ ₀, y por lo tanto puede eliminarse de debajo del signo integral. El integrando restante en la Ecuación (2.2.4) es esféricamente simétrico y puede escribirse en coordenadas polares esféricas para las cuales dV = 4\(\pi\) r ² dr. La contribución al potencial en el centro de la esfera debido a la carga contenida dentro de la esfera se convierte en

\[\Delta V=\frac{\rho_{0}}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{0}^{R_{0}} \frac{4 \pi r^{2} d r}{r}=\frac{\rho_{0} R_{0}^{2}}{\epsilon_{0} 2}. \nonumber\]

Así el potencial total en el punto de observación,\(\vec R\), es finito y tiene el valor\(V(\overrightarrow{\mathrm{R}})=V_{0}+\frac{\rho_{0} R_{0}^{2}}{2 \epsilon_{0}}.\)

Sustituir la expresión Ecuación (2.2.1) en la Ecuación de Maxwell (2.1.4) para obtener

\[\operatorname{div}(\operatorname{grad} V)=\nabla^{2} V=-\frac{1}{\epsilon_{0}}\left[\rho_{f}-\operatorname{div}(\vec{P})\right]. \label{2.12}\]

La ecuación (2.2.5) es una ecuación diferencial para la función potencial, V, dada la distribución de densidad de carga. Esta ecuación diferencial ha sido muy estudiada y se llama ecuación de Poisson.

La divergencia de un gradiente se llama operador LaPlace, div (GradV) = ² V. En las coordenadas cartesianas se tiene

\[\nabla^{2} V(x, y, z)=\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}}.\nonumber \]

La forma del operador LaPlace debe estar comprometida con la memoria para los tres sistemas de coordenadas principales: (1) coordenadas cartesianas; (2) coordenadas polares planas; (3) coordenadas polares esféricas. El operador de LaPlace en cada uno de estos tres sistemas seguirá apareciendo una y otra vez en este libro.

2.2.1 La Solución Particular para la Función Potencial dada la Distribución Total de Carga.

Ya hemos anotado la función potencial que es generada por una distribución de carga dada; Ecuación (2.2.4). De esta ecuación se deduce que la solución particular de la ecuación diferencial (2.2.5), la ecuación de Poisson, viene dada por

\[V(\overrightarrow{\mathrm{R}})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{S p a c e} \frac{\left[\rho_{f}(\vec{r})-\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{P}}(\overrightarrow{\mathrm{r}}))\right] d V}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|}. \label{2.13}\]

Eqn. (\ ref {2.13}) se llama una solución particular de la ecuación de Poisson (Ecuación (\ ref {2.12})) porque es generada por una distribución particular, local, de cargas. Observe que cualquier solución de la ecuación de LaPlace, ² V = 0, se puede agregar a (\ ref {2.13}) y la ecuación de Poisson seguirá siendo satisfecha: esta libertad puede ser explotada para satisfacer condiciones de límite para problemas que serán tratados más adelante.

2.2.2 La función potencial para un dipolo puntual.

Como se señaló anteriormente, la función potencial generada por una distribución de dipolo eléctrico puede calcularse a partir de una distribución efectiva de densidad de carga ρ _b = −div (\(\vec P\)). Sin embargo, esta contribución a la función potencial también se puede calcular mediante la suma directa de la función potencial para un dipolo puntual. El potencial generado en una posición ubicada\(\vec r\) a partir de un dipolo puntual,\(\vec p\), viene dado por

\[V_{d i p}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{(\overrightarrow{\mathrm{p}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{r}})}{\mathrm{r}^{3}}. \label{2.14} \]

Figura\(\PageIndex{3}\): Modelo para calcular la función potencial para un dipolo puntual. Las dos cargas están separadas por la distancia d.

Esto se puede mostrar de la siguiente manera (ver Figura (2.2.3)):

\[\mathrm{r}_{+}=\left(x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}\right)^{1 / 2}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 z d+d^{2}\right)^{1 / 2}=\mathrm{r}\left[1-\frac{2 z d}{\mathrm{r}^{2}}+\frac{d^{2}}{\mathrm{r}^{2}}\right]^{1 / 2}. \nonumber \]

Por lo tanto

\[\frac{1}{\mathrm{r}_{+}} \cong \frac{1}{\mathrm{r}}\left[1+\frac{z d}{\mathrm{r}^{2}}\right] \nonumber \]

a primer orden en la pequeña distancia d. también 1/r ₋ = 1/r para que

\[V_{d i p}=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{\mathrm{r}_{+}}-\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{\mathrm{r}_{-}} \cong \frac{q z d}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{\mathrm{r}^{3}}. \nonumber\]

Pero\(\vec p\) = q\(\vec d\) y\(\frac{z}{\mathrm{r}}=\cos (\theta)\) para que V _dip solo viene dado por Ecuación (\ ref {2.14}).

El potencial dipolo puntual, Ecuación (\ ref {2.14}), puede ser utilizado para calcular el potencial en el punto de observación,\(\vec R\), por superposición de contribuciones de elementos de pequeño volumen, dV, at\(\vec r\), cada uno de los cuales actúa como un dipolo puntual\(\vec p\) =\(\vec P\) dV. El resultado es

\[ V_{d i p}(\overrightarrow{\mathrm{R}})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{S p a c e} d V \frac{\overrightarrow{\mathrm{P}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}})}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|^{3}}. \label{2.15} \]

La fórmula (\ ref {2.15}) da el mismo valor para la función potencial que la Ecuación (\ ref {2.13}) en la que la densidad de carga libre, ρ _f, se ha establecido igual a cero. Estas dos formas de calcular el potencial debido a una distribución de dipolos pueden mostrarse como matemáticamente equivalentes, ver Apéndice (2A).