2.8: Apéndice 2A

2.8 Apéndice 2A.

Se señaló en los apartados 2.2.1 y 2.2.2 anteriores que la función potencial, V (\(\vec R\)) generada por una distribución de dipolos eléctricos, P (\(\vec r\)), puede calcularse de dos maneras:

\[\text { (1) } \quad \mathrm{V}(\overrightarrow{\mathrm{R}})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \int \int_{S_{\text {pace }} d V_{\text {vol }}} \frac{(-\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{P}}))}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|}. \label{2.36}\]

Esta ecuación para la función potencial se calcula a partir de la distribución de cargas ligadas, ρ _b = −div (\(\vec P\)). La segunda ecuación para la función potencial se puede escribir como el potencial debido a los dipolos puntuales\(\vec P\) dV _vol sumados en toda la distribución de dipolos:

\[\text { (2) } \quad \mathrm{V}(\overrightarrow{\mathrm{R}})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \int \int_{S_{p a c e}} d V_{\text {vol }} \frac{\overrightarrow{\mathrm{P}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}})}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|^{3}}. \label{2.37}\]

Estas dos fórmulas, Ecuaciones (\ ref {2.36} y\ ref {2.37}), dan la misma función potencial aparte de una posible constante que no tiene efecto sobre el campo eléctrico resultante. Esta afirmación se puede probar aplicando el Teorema de Gauss a la función

\[\operatorname{div}\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{P}}}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|}\right)=\operatorname{div}\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{P}}}{\sqrt{[X-x]^{2}+[Y-y]^{2}+[Z-z]^{2}}}\right). \nonumber\]

La divergencia se calcula con respecto a las coordenadas del punto fuente, (x, y, z):

\[\operatorname{div}\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{P}}}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\mathrm{P}_{x}}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\mathrm{P}_{y}}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\mathrm{P}_{z}}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|}\right).\nonumber\]

Por diferenciación directa se puede demostrar fácilmente que

\[\operatorname{div}\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{P}}}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|}\right)=\frac{\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{P}})}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{P}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}})}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|^{3}}.\nonumber\]

Recuerde que las diferenciaciones son con respecto a las coordenadas de\(\vec r\), (x, y, z), y no con respecto a las coordenadas del observador\(\vec R\), (X, Y, Z). Integrar la ecuación anterior sobre un volumen, V _vol, delimitado por una superficie S y aplicar el Teorema de Gauss, sección 1.3.3, al término de la izquierda. El resultado es

\[\int \int_{S} \frac{d S(\overrightarrow{\mathrm{P}} \cdot \hat{\mathbf{n}})}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|}=\int \int \int_{V_{\text {rot }}} \frac{d V_{\text {vol }} d i v(\overrightarrow{\mathrm{P}})}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|}+\int \int \int_{V_{\text {rot }}} \frac{d V_{\text {vol }} \overrightarrow{\mathrm{P}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}})}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|^{3}}.\nonumber\]

Ahora deja que el volumen V _{vol llegue} a ser muy grande para que la superficie S retroceda hasta el infinito. Si la distribución de polarización se limita a una región finita del espacio, como supondremos, la integral superficial debe desvanecerse porque la densidad de polarización en la superficie, S, es cero. Nos quedamos con la identidad

\[-\int \int \int_{V_{\text {vol }}} \frac{d V_{\text {vol }} d i v(\overrightarrow{\mathrm{P}})}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|}=\int \int \int_{V_{\text {red }}} \frac{d V_{\text {vol }}}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|^{3}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}) \label{2.38}\]

Al multiplicar ambos lados de la Ecuación (\ ref {2.38}) por\(1 /\left(4 \pi \epsilon_{0}\right)\) uno obtiene la integral de la Ecuación (\ ref {2.36}) a la izquierda y la integral de la Ecuación (\ ref {2.37}) a la derecha. De ello se deduce que se obtendrá el mismo valor para el potencial, aparte de una posible constante sin importancia, ya sea que se utilice la formulación basada en el potencial para una carga puntual o la formulación basada en la función potencial para un dipolo puntual.