2.7: Problemas de ejemplo

2.7.1 Simetría de plano.

(1) Un Plano de Carga Uniforme.

Consideremos un plano que es infinito en extensión y cargado uniformemente con una densidad de σ culombios/m ²; la normal al plano se encuentra en la dirección z, Figura (2.7.6). El plano de carga se encuentra en z=0. Es evidente a partir de la simetría que el campo eléctrico solo puede tener un componente normal al plano ya que para cada elemento de carga en x, y hay un elemento de carga exactamente similar en -x, -y de tal manera que los componentes del campo transversal en el punto de observación cancelan. Todas las cargas en un anillo de radio r producen el mismo componente z del campo eléctrico en el punto de observación, P; por lo tanto, pueden agruparse para obtener

\[\left.d E_{p}\right|_{z}=\frac{d q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\cos (\theta)}{R^{2}}=\frac{\sigma 2 \pi r d r}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{z}{R^{3}}, \nonumber \]

por lo tanto

\[ E_{z}=\left(\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}}\right) z \int_{0}^{\infty} \frac{r d r}{\left(z^{2}+r^{2}\right)^{3 / 2}}. \nonumber \]

Al realizar la integración se obtiene un campo eléctrico que es independiente de z y, para z positivo, tiene el valor\(\sigma / 2 \epsilon_{0}\):

Figura\(\PageIndex{6}\): Cálculo del campo eléctrico generado por un plano de carga uniforme.

\[E_{z}=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}}. \label{2.25} \]

Tenga en cuenta que para los puntos a la izquierda del plano de carga el campo eléctrico apunta a lo largo de -z: es decir. \( E_{z}=-\sigma / 2 \epsilon_{0}\). Hay una discontinuidad de magnitud\(\sigma / \epsilon_{0}\) en el componente z del campo eléctrico en el plano de carga.

(2) La Función Potencial para un Plano de Carga Uniforme.

Es interesante calcular la función potencial a partir de una aplicación directa de la Ecuación (2.2.4) para el potencial generado por una distribución de carga. Haciendo referencia a la Figura (2.7.6) se puede calcular la contribución al potencial en el punto de observación P:

\[ d V_{p}=\frac{d q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{R}=\frac{\sigma 2 \pi r d r}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}\nonumber \]

y por lo tanto para z>0

\[ V_{p}=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}} \int_{0}^{\infty} \frac{r d r}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}}[\sqrt{\infty}-z]. \nonumber \]

Este es un ejemplo de una integración que no converge. Para obtener una integral adecuada se puede utilizar un truco. Supongamos que el plano cargado no era infinito en extensión, sino que estaba en la forma de un disco grande, pero finito, que tenía un radio D. Entonces no habría problema; uno tendría

\[ V_{p}=\frac{D \sigma}{2 \epsilon_{0}}-\frac{z \sigma}{2 \epsilon_{0}}=\text { constant }-\frac{z \sigma}{2 \epsilon_{0}}.\nonumber \]

Uno siempre es libre de restar una constante del potencial sin cambiar el valor de la distribución del campo eléctrico correspondiente. Uno puede simplemente restar la constante de la ecuación anterior para obtener

\[ V_{p}=-\frac{z \sigma}{2 \epsilon_{0}}, \quad \text { for } z>0. \nonumber \]

Observe que V _p no cambia signo por z menos de cero porque la integración involucra la raíz cuadrada de z ². Así, la expresión completa para la función potencial, válida para todos los valores de z, viene dada por

\[ V_{p}=-\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}}|z|, \label{2.26} \]

ver Figura (2.7.7). En Ecuación (\ ref {2.26}) se ha elegido el cero para la función potencial para que el potencial sea cero en el plano. La función potencial es continua a medida que el punto de campo P se mueve a través del plano de izquierda a derecha en la Figura (2.7.7): el componente del campo eléctrico normal al plano sufre una discontinuidad.

(3) El Campo de un Plano de Carga Uniforme Usando el Teorema de Gauss.

Podríamos haber deducido que\(\vec E\) es independiente de la posición, excepto en el plano de carga, directamente de la cuarta ecuación de Maxwell\(\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{E}})=\left(1 / \epsilon_{0}\right)\left(\rho_{f}-\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{P}})\right)\). En esta aplicación no hay densidad de dipolo eléctrico ya que\(\vec P\) = 0 en todas partes. En consecuencia, también\(\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{P}})=0\) en todas partes.

Figura\(\PageIndex{7}\): La función potencial (arriba) y el campo eléctrico (abajo) generados por un plano infinito cargado uniformemente que porta una densidad de carga de σ culombios/m ². \(E_{z}=-\frac{\partial V_{p}}{\partial z}.\)

Como hemos visto en (1) anterior usando argumentos de simetría\(\vec E\) tiene solo un componente z; además, este componente, E _z, no puede depender de x, y si la distribución de carga es uniforme e infinita en extensión: cualquier desplazamiento de la distribución de carga infinita en el plano x-y no puede ser detectado por un fijo observador. Por lo tanto, en este caso,

\[\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{E}})=\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0 \nonumber \]

excepto en z=0 ya que la densidad de carga es cero en todas partes excepto en z=0. Así E _z = constante en todas partes excepto en z=0.

Figura\(\PageIndex{8}\): Geometría para la aplicación del Teorema de Gauss para calcular la intensidad del campo eléctrico generada por una lámina infinita, plana, uniformemente cargada cuya densidad es σ culombios/m ². La magnitud del campo resultante es\(E_{0}=\sigma /\left(2 \epsilon_{0}\right)\).

Además, es obvio por la ley y simetría de Coulomb que la magnitud del campo eléctrico para z < 0 must have the same value as the magnitude of the electric field for z > 0, aunque la dirección del campo cambia 180 grados al pasar por el plano de carga. Para este caso muy simétrico se puede obtener la magnitud del campo eléctrico directamente del Teorema de Gauss.

\[ \int \int \int_{V} d V d i v(\overrightarrow{\mathrm{E}})=\int \int_{S} d S(\overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \hat{\mathbf{n}})=\frac{Q}{\epsilon_{0}}, \nonumber \]

donde V es el volumen delimitado por la superficie cerrada S y Q es la carga total contenida en el volumen. Aplicar este teorema a un paralelepípedo que tiene sus bordes orientados a lo largo de los ejes de coordenadas como se muestra en la Figura (2.7.8). El cuadro que se muestra en la figura contiene una cantidad de carga σA _z Coulombs ya que el área del lado de la caja cuya normal se encuentra a lo largo de z es solo A _z. Ahora calcule la integral de superficie del campo eléctrico sobre la superficie del

paralelepípedo. Esta integral es fácil de llevar a cabo porque el campo eléctrico es constante en magnitud y en dirección. Sobre cuatro lados de la caja mostrada en la Figura (2.7.8) la dirección del campo eléctrico es paralela a la superficie, por lo tanto perpendicular a las normales superficiales, y el producto escalar del campo eléctrico y la normal a la superficie,\(\hat{\mathbf{n}}\), desaparece de manera que estos lados no aportan nada a la superficie integral. Sobre los dos extremos de la caja el campo eléctrico es paralelo a la superficie normal para que el producto escalar\(\vec E\) ·\(\hat{\mathbf{n}}\) simplemente se convierta en un producto ordinario, y la contribución a la superficie integral desde cada extremo es E ₀ A _z: observe que en cada extremo el campo eléctrico está paralelo a la dirección de la normal hacia afuera porque el campo invierte la dirección de un lado de la hoja de carga al otro. La integral superficial en el teorema de Gauss viene dada por

\[\int \int_{S} d S(\overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \hat{\mathbf{n}})=2 E_{0} A_{z}. \nonumber\]

Pero la carga total contenida en la caja es σA _z, de manera que el campo eléctrico debe tener la magnitud\(E_{0}=\sigma /\left(2 \epsilon_{0}\right)\) de acuerdo con la Ecuación (\ ref {2.25}).

(4) Una Doble Capa Eléctrica.

Considere dos hojas de carga uniforme de carga opuesta separadas por una distancia de 2d metros, como se ilustra en la Figura (2.7.9). El campo eléctrico generado por cada hoja de carga es uniforme, independiente de z, y dirigido normal a los planos de carga. En las regiones fuera de los planos cargados, es decir, z > d o z < d, el campo eléctrico es cero porque los campos generados por los planos con carga opuesta tienen direcciones opuestas y por lo tanto cancelan. Entre los dos planos cargados los campos debido a los dos planos tienen la misma orientación y por lo tanto se suman para producir el campo total\(E_{z}=-\sigma / \epsilon_{0}\). Una gráfica de E _z vs z exhibe discontinuidades a z= d, Figura (2.7.10). La función potencial fuera de la doble capa es constante correspondiente al campo eléctrico cero. Sin embargo, el potencial en el lado derecho de la doble capa es diferente del potencial en el lado izquierdo. El paso en el potencial está relacionado con la resistencia de la doble capa:

\[\Delta V=\frac{2 \sigma d}{\epsilon_{0}}=P_{d} / \epsilon_{0}, \nonumber \]

donde P _d es el momento dipolar por unidad de área en culombios/metro.

Figura\(\PageIndex{9}\): Una doble capa eléctrica consta de dos hojas planas infinitas de densidades de carga +σ y −σ culombios/m ² separadas por una pequeña distancia. El campo eléctrico es cero en todas partes fuera de la doble capa, pero es igual a\(\left|E_{z}\right|=\sigma / \epsilon_{0}\) entre las dos hojas cargadas.

(5) Una Losa Polarizada Uniforme.

Considere una losa que esté polarizada uniformemente a lo largo del eje z como se muestra en la Figura (2.7.11). La fuerza de la densidad de polarización es P ₀, y no hay cargos libres en ningún lado. Se puede definir una densidad de carga ligada a partir de la relación ρ _b = −div (\(\vec P\)). Esta densidad de carga ligada genera un campo eléctrico con la misma seguridad que la densidad de carga libre, ρ _f. Dentro de la losa de la Figura (2.7.11) la densidad de polarización es\(\overrightarrow{\mathrm{P}}=\mathrm{P}_{0} \hat{\mathbf{u}}_{z}\); por lo tanto, _Pz /z es cero dentro de la losa y por lo tanto div (\(\vec P\)), y por lo tanto ρ _b, es cero. Fuera de la losa\(\vec P\) = 0 para que aquí también div (\(\vec P\)) = 0 y por lo tanto ρ _b = 0. Uno podría ser engañado por el hecho de que la densidad de carga ligada se desvanece tanto dentro como fuera de la losa para pensar que la densidad de carga ligada es cero en todas partes. Sin embargo, la densidad de carga ligada no se desvanece en las superficies de la losa. La derivada P _{z /z} es singular en z=0 y en z=d es decir, en las caras de la losa. Esta singularidad es integrable: si se integra la derivada de z = −\(\epsilon\) a

Figura\(\PageIndex{10}\): La distribución del campo eléctrico y la función de potencial correspondiente generada por una doble capa eléctrica. La intensidad del campo eléctrico dentro de la doble capa es\(E_{0}=-\sigma / \epsilon_{0}\). El salto en el potencial a través de la doble capa es\(\Delta V=2 \sigma d / \epsilon_{0}\).

Figura\(\PageIndex{11}\): Una losa uniformemente polarizada. La densidad de polarización,\(\vec P\) ₀, se dirige a lo largo de la normal a la losa. Las discontinuidades en el componente normal de la polarización producen densidades de carga ligadas a la superficie efectivas dadas por\(\sigma_{b}=-\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{P}})\).

z = +\(\epsilon\), por ejemplo, el resultado es

\[\int_{-\epsilon}^{+\epsilon}\left(\frac{\partial \mathrm{P}_{z}}{\partial z}\right) d z=\mathrm{P}_{z}(+\epsilon)-\mathrm{P}_{z}(-\epsilon)=\mathrm{P}_{0}, \nonumber \]

porque P _z (−\(\epsilon\)) = 0 y P _z (+\(\epsilon\)) = P ₀. Observe que el valor de la integral es independiente del intervalo pequeño, y, en particular, permanece finito incluso en el límite como\(\epsilon\) → 0. El integrando tiene el carácter de una función Dirac δ −:\(\partial \mathrm{P}_{z} / \partial z=\mathrm{P}_{0} \delta(z)\), donde la función δ (z) es una función fuertemente pico que tiene ancho cero pero amplitud infinita de tal manera que su integral es igual a la unidad. Pero esto significa que la densidad de carga en la superficie en z=0, ρ _b = −P _z /z, z, es una función integrable con picos muy pronunciados de z: de hecho es una densidad de carga superficial de fuerza −P ₀ culombios/metro ². De igual manera, habrá una densidad de carga superficial de fuerza +P ₀ culombs/metro ² en la superficie en z=d La distribución del campo eléctrico producida por una losa uniformemente polarizada en la que la densidad de polarización se encuentra paralela a la normal de la losa es exactamente la misma que la que lo haría ser producidos por dos planos de carga uniforme que llevan densidades de carga de σ = ±P ₀, ver Figura (2.7.9). Fuera de la losa uniformemente polarizada el campo eléctrico es cero. Dentro de la losa hay un campo eléctrico uniforme\(\mathrm{E}_{z}=-\mathrm{P}_{0} / \epsilon_{0}\),, cuya dirección es opuesta a la dirección de la densidad de polarización; se le llama campo despolarizador porque tiende a actuar para reducir la densidad de polarización. El potencial fuera de la losa será constante, tanto a la izquierda como a la derecha, pero el potencial a la derecha será mayor que el de la izquierda por la cantidad de\(\Delta V=\mathrm{P}_{0} d / \epsilon_{0}\) Voltios. Es interesante examinar el campo auxiliar\(\overrightarrow{\mathrm{D}}=\epsilon_{0} \overrightarrow{\mathrm{E}}+\overrightarrow{\mathrm{P}}\). Fuera de la losa ambos\(\vec E\) y\(\vec P\) son cero por lo que también\(\vec D\) debe ser cero. Dentro de la losa solo\(\vec D\) tiene un componente z, y

\[\mathrm{D}_{z}=\epsilon_{0} \mathrm{E}_{z}+\mathrm{P}_{z}=-\mathrm{P}_{0}+\mathrm{P}_{0} \equiv 0. \nonumber \]

El componente normal de\(\vec D\) es continuo a través de las superficies de losa. En general, en ausencia de cualquier densidad de carga libre de superficie, el componente normal de\(\vec D\) debe ser continuo a través de la interfaz.

Consideremos ahora una losa uniformemente polarizada en la que el vector de densidad de polarización se encuentra en el plano de la losa como se muestra en la Figura (2.7.12). En este caso la polarización tiene solo un componente x, y ese componente x, P _x, es una función solo de z, lo que significa que\(\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{P}})=\partial \mathrm{P}_{x} / \partial x=0\) en todas partes. No hay densidad de carga ligada en ninguna parte, y no hay densidad de carga libre, por suposición, de manera que no hay fuentes para el campo eléctrico. A uniformemente

Figura\(\PageIndex{12}\): Una losa infinita que se polariza uniformemente en plano, P _x = P ₀.

losa polarizada en la que la polarización se encuentra en el plano de la losa no genera campo eléctrico macroscópico.

Es una regla general que una variación espacial de la densidad de polarización,\(\vec P\), produce una densidad de carga volumétrica efectiva\(\rho_{b}=-\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{P}})\). Además de esta densidad de carga volumétrica efectiva, cualquier discontinuidad en el componente normal\(\vec P\) a través de una superficie produce una densidad de carga superficial efectiva dada por

\[\sigma_{b}=-\left(\mathrm{P}_{2 n}-\mathrm{P}_{1 n}\right). \nonumber \]

Estas densidades de carga de volumen y superficie ligadas deben ser utilizadas, junto con las distribuciones de carga libre, para calcular el campo eléctrico y las distribuciones de potencial.

2.7.2 Una Distribución de Carga Esféricamente Simétrica.

Consideremos una distribución de carga que sea esféricamente simétrica pero aquella en la que la distribución de carga ρ (r) pueda tener una dependencia arbitraria de la coordenada r, ver Figura (2.7.13). En este caso el campo eléctrico solo puede tener una componente radial por simetría. La magnitud de esta componente radial, E _r, no puede depender de la posición en la superficie de una superficie esférica centrada en

Figura\(\PageIndex{13}\): Intensidad de campo eléctrico generada por una distribución de carga esféricamente simétrica. El campo eléctrico tiene solamente una componente radial debido a que los componentes transversales generados por dos cargas equivalentes, d _q1 y d _q2, cancelan por simetría.

el centro de simetría de las cargas porque cualquier rotación de la distribución alrededor del centro de simetría deja inalterada la distribución de carga. De ello se deduce que la integral superficial del campo eléctrico sobre la superficie de una esfera de radio R es solo\ (4\ pi R^ {2}\ mathrm {E} _ _ {r}) de manera que a partir del teorema de Gauss

\[\mathrm{E}_{r}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{1}{R^{2}}\right) \int_{0}^{R} d r \rho(r) 4 \pi r^{2}. \nonumber \]

Así para el campo eléctrico fuera de la distribución de carga se tiene

\[4 \pi R^{2} \mathrm{E}_{r}=\frac{1}{\epsilon_{0}} \int_{S p h e r e} \rho(r) d V o l=\frac{Q}{\epsilon_{0}}. \label{2.27} \]

Aquí Q es el cargo total contenido en la distribución. ¡El campo eléctrico fuera de una distribución de carga esféricamente simétrica se parece al campo de una carga puntual!

La función potencial generada por cualquier distribución de carga simétrica debe ser independiente de las coordenadas polares esféricas θ, φ porque E _θ y E _φ son ambas cero. La función potencial se puede calcular a partir de V/r = −E _r. Tenga en cuenta que el potencial debe ser una función continua de r incluso si

Figura\(\PageIndex{14}\): El campo eléctrico generado por una línea de carga uniforme que se extiende a lo largo del eje z. La densidad de carga de la línea es ρ _L culombios/metro. El campo eléctrico es radial y tiene el valor\(\mathbf{E}_{r}=\left(\rho_{L} / 2 \pi \epsilon_{0}\right)(1 / r)\) Volts/m.

la distribución de densidad de carga, ρ (r), contiene discontinuidades. La función potencial es continua en todas partes excepto en una superficie que contiene una doble capa eléctrica.

2.7.3 Simetría cilíndrica.

(1) Una Línea de Carga Uniforme.

Dejar que las cargas se distribuyan uniformemente a lo largo del eje z con una densidad de carga de ρ _L culombios/metro como se muestra en la Figura (2.7.14). Es fácil ver, usando la ley de Coulomb, que el campo eléctrico generado por esta distribución solo puede tener una componente radial; los componentes transversales generados por elementos de carga equivalentes dispuestos simétricamente alrededor del origen en +z y en -z se cancelan entre sí. Además, la intensidad del campo eléctrico radial, E _r, no puede depender del ángulo θ porque la carga lineal presenta simetría rotacional; es decir, la distribución de carga permanece inalterada por una rotación a través de cualquier ángulo alrededor del eje z. E _r tampoco puede depender de la posición a lo largo de z ya que la línea se toma para ser infinitamente larga. Aplicar el teorema de Gauss a una superficie cilíndrica centrada en la carga de la línea, y de 1 metro de largo y con un radio de r metros. La carga contenida dentro de este cilindro es ρ _L Coulombs. La integral superficial del campo eléctrico es fácil de llevar a cabo porque el campo eléctrico es paralelo con la superficie normal en cada punto de la superficie del cilindro; en las superficies finales el campo eléctrico no aporta nada a la integral de la superficie porque se encuentra en la superficie, es decir\(\overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \hat{\mathbf{u}}_{n}=0\), donde \(\hat{\mathbf{u}}_{n}\)es la unidad normal a la superficie. Del teorema de Gauss se deduce que

\[2 \pi r \mathrm{E}_{r}=\frac{\rho_{L}}{\epsilon_{0}}, \nonumber \]

y por lo tanto

\[ \mathrm{E}_{r}=\frac{\rho_{L}}{2 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{1}{r}\right) \quad \operatorname{Volts} / m. \nonumber \]

Dado que el campo eléctrico solo tiene una componente radial se deduce que la función potencial correspondiente, V, no puede depender de las coordenadas z, θ. Pero E _r = −V/r, para que uno pueda usar

\[\mathrm{V}(r)=-\left(\frac{\rho_{L}}{2 \pi \epsilon_{0}}\right) \ln (r)\nonumber \]

como la función potencial para una línea cargada uniformemente. La variación logarítmica de V (r) con r también se puede deducir de una aplicación directa de la ecuación de Poisson, Ecuación (2.2.5). En esta aplicación la densidad de carga libre ρ _f = 0 en todas partes excepto en el origen, r=0. Se supone que no hay distribución de dipolos eléctricos en ninguna parte de modo que\(\vec P\) = 0 y ρ _b = −div (\(\vec P\)) = 0 en todas partes. Así ² V = 0. Pero en coordenadas polares cilíndricas, y en ausencia de cualquier variación de V con ángulo o con desplazamiento a lo largo de z

\[\nabla^{2} \mathrm{V}=\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \mathrm{V}}{\partial r}\right)=0. \nonumber \]

De esto se deduce que RV/r = constante = a, y por lo tanto V = a ln (r) + constante de acuerdo con la expresión anterior para V (r): recuerde que se puede sumar o restar una constante de la función potencial sin cambiar el campo eléctrico calculado a partir de ella.

(2) Una Línea de Dipolos.

Considere una línea de dipolos distribuidos uniformemente a lo largo del eje z con una densidad de P _L Coulombs; se supone que los dipolos están orientados a lo largo de la dirección x

Figura\(\PageIndex{15}\): Una línea infinita de dipolos puntuales distribuidos uniformemente puede modelarse mediante una línea positiva cargada uniformemente separada por una pequeña distancia d de una línea negativa cargada uniformemente. Deje que la densidad de carga en la línea positiva sea ρ _L, y que la densidad de carga en la línea negativa sea −ρ _L, luego la densidad dipolo, un vector, viene dada por\(\left|\overrightarrow{\mathrm{P}}_{L}\right|=\rho_{L} d\) Coulombs, y\(\vec P\) _L se dirige de la línea negativa a la línea positiva.

como se muestra en la Figura (2.7.15). La línea de dipolos puede ser modelada por dos cargas de línea separadas por una distancia muy pequeña d, como se muestra en la Figura (2.7.15). La función potencial resultante en P, el punto de observación, escrita en coordenadas polares cilíndricas se puede calcular de la siguiente manera usando la función potencial para una línea cargada uniformemente:

\[\mathrm{V}_{P}=-\frac{\rho_{L}}{2 \pi \epsilon_{0}} \ln \left(r_{+}\right)+\frac{\rho_{L}}{2 \pi \epsilon_{0}} \ln \left(r_{-}\right)=\frac{\rho_{L}}{2 \pi \epsilon_{0}} \ln \left(r_{-} / r_{+}\right). \nonumber \]

Pero\(r_{-} \cong r_{+}+d \cos (\theta)\) para que

\[\mathrm{V}_{P}=\frac{\rho_{L}}{2 \pi \epsilon_{0}} \ln \left(1+\frac{d \cos (\theta)}{r_{+}}\right)\nonumber \]

y

\[\lim _{d \rightarrow 0} \mathrm{V}_{P}=\frac{\rho_{L} d}{2 \pi \epsilon_{0}} \frac{\cos (\theta)}{r}=\frac{1}{2 \pi \epsilon_{0}} \frac{\overrightarrow{\mathrm{P}}_{L} \cdot \vec{r}}{r^{2}}, \nonumber \]

donde P _L es la densidad de línea de los dipolos. Los componentes del campo eléctrico son

\[ \mathrm{E}_{r}=-\frac{\partial \mathrm{V}_{P}}{\partial r}=\frac{\mathrm{P}_{L}}{2 \pi \epsilon_{0}} \frac{\cos (\theta)}{r^{2}},\nonumber \]

\[\mathrm{E}_{\theta}=-\frac{1}{r} \frac{\partial \mathrm{V}_{P}}{\partial \theta}=\frac{\mathrm{P}_{L}}{2 \pi \epsilon_{0}} \frac{\sin (\theta)}{r^{2}},\nonumber \]

\[\mathrm{E}_{z}=0. \nonumber\]

Una sección transversal a través de la distribución del campo eléctrico en un plano normal a la línea de dipolos se parece a la distribución del campo alrededor de un dipolo puntual. El campo eléctrico en θ = 0 se dirige a lo largo de la dirección +x y también lo es el campo en θ =\(\pi\): ambos campos tienen la intensidad\(\mathrm{P}_{L} /\left(2 \pi \epsilon_{0} r^{2}\right)\). Los campos eléctricos en θ =\(\pi \) /2, 3\(\pi\) /2 se dirigen a lo largo de la dirección -x, y tienen la fuerza\(\mathrm{E}_{\theta}=\mathrm{P}_{L} /\left(2 \pi \epsilon_{0} r^{2}\right)\).

2.7.4 Un Cuerpo Elipsoidal Uniforme Polarizado.

Figura\(\PageIndex{16}\): Un cuerpo uniformemente polarizado que presenta una forma irregular. La distribución de carga ligada a la superficie resultante produce una distribución de campo eléctrico que no es uniforme tanto dentro como fuera del cuerpo.

Considera un cuerpo uniformemente polarizado de forma arbitraria que se sumerge en vacío. La densidad de carga volumétrica ligada asociada a una densidad de polarización uniforme es cero ya que div (\(\vec P\)) = 0. La densidad de carga superficial ligada no es cero debido a que existe una discontinuidad en el componente normal de\(\vec P\) en la superficie del cuerpo; esta densidad de carga superficial viene dada por\(\sigma_{b}=\overrightarrow{\mathrm{P}}_{0} \cdot \hat{\mathbf{n}}\) donde\(\hat{\mathbf{n}}\) está el vector unitario normal a la superficie del cuerpo. Observe que esta densidad de carga superficial varía de un lugar a otro en la superficie y que

Figura\(\PageIndex{17}\): Un cuerpo elipsoidal uniformemente polarizado; la polarización se encuentra a lo largo de un eje principal de la elipse. La distribución de carga ligada a la superficie resultante produce un campo eléctrico uniforme dentro de la elipse. La distribución del campo eléctrico fuera de la elipse no es uniforme.

cambia de signo cuando se consideran puntos opuestos en la superficie, ver Figuras (2.7.16 y 2.7.17). De hecho, es consecuencia de la conservación de cargas que la suma sobre todas las cargas superficiales en un cuerpo que no lleva cargos libres debe ser cero. La distribución de densidad de carga ligada a la superficie se puede utilizar para calcular el campo eléctrico y la función potencial en todas partes del espacio. Un cálculo analítico suele estar fuera de discusión, y el problema generalmente debe resolverse por medio de una suma numérica. Uno podría, en principio, calcular los componentes del campo eléctrico por medio de la ley de Coulomb, pero suele ser más conveniente trabajar con la integral para la función potencial, Ecuación (2.2.6). Para el caso particular en el que el cuerpo uniformemente polarizado tiene una forma elipsoidal el cálculo de la función potencial y el campo eléctrico se puede realizar analíticamente. Véase, por ejemplo, J.A. Stratton, Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, N.Y., 1941, sección 3.25. El resultado sorprendente es que el campo eléctrico dentro de un elipsoide uniformemente polarizado es uniforme. Por lo general, este campo eléctrico interno no es paralelo a la dirección de la densidad de polarización. El campo eléctrico interno y la polarización son paralelos solo si el vector de polarización se dirige a lo largo de un eje principal del elipsoide definido por la ecuación para su superficie

\[\left(\frac{x}{a}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2}+\left(\frac{z}{c}\right)^{2}=1. \label{2.28} \]

Aquí a, b, c son los tres semiejes que definen al elipsoide. Fuera del elipsoide el campo eléctrico no es uniforme: se asemeja a un campo dipolar distorsionado y se cae a grandes distancias como 1/r ³. En el sistema de coordenadas de eje principal definido por la ecuación (\ ref {2.28}) los componentes del campo eléctrico dentro del elipsoide están simplemente relacionados con los componentes de polarización:

\[\mathrm{E}_{x} =-\mathrm{N}_{x} \frac{\mathrm{P}_{x}}{\epsilon_{0}}, \label{2.29} \]
\[\mathrm{E}_{y} =-\mathrm{N}_{y} \frac{\mathrm{P}_{y}}{\epsilon_{0}}, \nonumber \]
\[\mathrm{E}_{z} =-\mathrm{N}_{z} \frac{\mathrm{P}_{z}}{\epsilon_{0}}. \nonumber \]

Los coeficientes de despolarización N _x, N _y y _Nz son números puros que dependen de los parámetros del elipsoide (a, b, c de la Ecuación (\ ref {2.28})). Se pueden calcular usando integrales elípticas. Los coeficientes de despolarización obedecen a una regla de suma:

\[\mathrm{N}_{x}+\mathrm{N}_{y}+\mathrm{N}_{z}=1. \label{2.30} \]

Esta regla de suma hace que sea muy fácil deducir valores para los coeficientes de despolarización para cuerpos muy simétricos. Considere los siguientes ejemplos:

a) Esfera. Por simetría Nx = Ny = Nz. Por lo tanto a partir de la regla de suma cada uno debe ser igual a 1/3

b) Cilindro. Este es el caso limitante en el que una dimensión del elipsoide, digamos la dimensión z, se vuelve muy larga. Los dos factores de despolarización transversal deben ser iguales por simetría. Por otro lado, si el cilindro está polarizado a lo largo de su longitud, cualquier densidad de carga límite superficial solo puede asociarse con los extremos; pero los extremos están infinitamente lejos y en consecuencia cualquier carga sobre ellos produce un campo eléctrico infinitamente pequeño. Esto significa que un cilindro que está polarizado uniformemente a lo largo de su longitud no producirá ningún campo eléctrico. Se puede concluir que para tal cilindro N _z = 0. De la regla de suma se deduce que si N _x = N _y entonces cada uno debe ser igual a 1/2.

(c) Un Disco Plano Delgado. Piense en un elipsoide de revolución que es delgado a lo largo de la dirección z pero que tiene un radio R muy grande en el plano xy. Por simetría N _x = N _y. Si los bordes del disco están muy lejos de su centro, es decir. R → ∞, entonces el campo eléctrico cerca del centro del disco debido a las cargas superficiales en los bordes del disco debe volverse muy pequeño (recuerde que

Figura\(\PageIndex{18}\): Elipsoide oblato de revolución.

Figura\(\PageIndex{19}\): Elipsoide de revolución en forma de cigarro.

el campo debido a un elemento de carga disminuye como 1/R ²). De ello se deduce que N _x = N _y → 0 en el límite como R → ∞. De la regla de suma Ecuación (\ ref {2.30}) se puede concluir que N _z → 1. El campo dentro de un disco infinito polarizado paralelo con su eje de simetría tiene el valor\(\mathrm{E}_{z}=-\mathrm{P}_{z} / \epsilon_{0}\) de acuerdo con el resultado previamente deducido para una losa polarizada transversalmente, sección (5) anterior, y Figura (2.7.11).

Dos casos especiales comúnmente encontrados de elipsoides de revolución se muestran en las Figuras (2.7.18 y 2.7.19). En cada caso solo es necesario especificar el coeficiente de despolarización para el eje de revolución, el eje z. Los otros dos factores despolarizantes son iguales y pueden calcularse a partir de la regla de suma Ecuación (\ ref {2.30}). El caso (a) es un elipsoide en forma de panqueque, Figura (2.7.18). Para este caso

\[\mathrm{N}_{z}=\frac{\mathrm{R}^{2} \mathrm{d}}{\left(\mathrm{R}^{2}-\mathrm{d}^{2}\right)^{3 / 2}}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{R}^{2}-\mathrm{d}^{2}}}{\mathrm{d}}-\arctan \left(\frac{\sqrt{\mathrm{R}^{2}-\mathrm{d}^{2}}}{\mathrm{d}}\right)\right), \quad \text { where }(\mathrm{d} / \mathrm{R})<1. \label{2.31} \]

En el límite d/R → 0 el factor de despolarización viene dado aproximadamente por

\[ \mathrm{N}_{z} \cong 1-\frac{\pi}{2}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\right). \label{2.32} \]

El caso (b) es un elipsoide en forma de cigarro, Figura (2.7.19). Para este caso

\[\mathrm{N}_{z}=\frac{\left(1-\psi^{2}\right)}{\psi^{3}}\left(\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+\psi}{1-\psi}\right)-\psi\right), \text { where } \psi=\sqrt{1-(\mathrm{R} / \mathrm{d})^{2}}. \label{2.33} \]

En el límite a medida que el cigarro se vuelve muy largo, (d/R) → ∞ el coeficiente de desmagnetización se puede expresar como

\[ \mathrm{N}_{z} \cong\left(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{d}}\right)^{2}\left(\ln \left[\frac{2 \mathrm{d}}{\mathrm{R}}\right]-1\right).\label{2.34} \]

Para un elipsoide general se puede demostrar que

\ [\ begin {array} {l}
\ mathrm {N} _ {x} =\ izquierda (\ frac {a b c} {2}\ derecha)\ int_ {0} ^ {\ infty}\ frac {d s} {\ izquierda (s+a^ {2}\ derecha) R_ {s}}\
\ mathrm {N} _ _ {y} =\ izquierda (\ frac {a b c} {2}\ derecha)\ int_ {0} ^ {\ infty}\ frac {d s} {\ izquierda (s+b^ {2}\ derecha) R_ {s}}\
\ mathrm {N} _ _ {z} =\ izquierda (\ frac {a b c} {2}\ derecha )\ int_ {0} ^ {\ infty}\ frac {d s} {\ izquierda (s+c^ {2}\ derecha) R_ {s}}
\ end {array}\]

donde\(R_{s}=\left(\left[s+a^{2}\right]\left[s+b^{2}\right]\left[s+c^{2}\right]\right)^{1 / 2}\).

(Véase J.A. Stratton, Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, N.Y., 1941. Sección 3.27.)