3.3: Energía de Campo Electrostático

Se mostrará en el Capítulo (8) que cuesta energía instalar un campo eléctrico. A medida que el campo eléctrico aumenta de cero la densidad de energía almacenada en el campo electrostático, W _E, aumenta de acuerdo con

\[\frac{\partial \text{W}_{\text{E}}}{\partial \text{t}}=\vec{\text{E}} \cdot \frac{\partial \vec{\text{D}}}{\partial \text{t}}. \nonumber \]

Para el caso particular en el que el campo eléctrico se configura en un medio dieléctrico que puede ser descrito por una constante dieléctrica para que\(\vec{\text{D}}=\epsilon \vec{\text{E}}\), esta expresión pueda escribirse

\[\frac{\partial \text{W}_{\text{E}}}{\partial \text{t}}=\epsilon \vec{\text{E}} \cdot \frac{\partial \vec{\text{E}}}{\partial \text{t}}=\frac{\epsilon}{2} \frac{\partial \text{E}^{2}}{\partial \text{t}}. \label{3.54}\]

Eqn. (\ ref {3.54}) se puede integrar inmediatamente para obtener

\[\text{W}_{\text{E}}=\frac{\epsilon \text{E}^{2}}{2}=\frac{1}{2} \vec{\text{E}} \cdot \vec{\text{D}} \quad \text { Joules } / m^{3}. \label{3.55}\]

En las expresiones anteriores se ha elegido que el cero de energía sea cero cuando el campo electrostático está en todas partes cero. La energía total almacenada en el campo electrostático se obtiene como una integral de W _E en todo el espacio. Esta energía total, U _E, se puede expresar en términos de los potenciales y cargas en los electrodos que crearon el campo eléctrico. Esto se puede mostrar partiendo de la identidad del vector

\[\operatorname{div}(\text{V} \vec{\text{D}})=\operatorname{Vdiv}(\vec{\text{D}})+\vec{\text{D}} \cdot \operatorname{grad}(\text{V}), \label{3.56}\]

donde\(\vec D\) es cualquier campo vectorial y V es una función escalar. Esta identidad se puede probar escribiendo la divergencia en las coordenadas cartesianas y realizando las diferenciaciones. Pero a partir de las ecuaciones de Maxwell\(\operatorname{div}(\vec{\text{D}})=\rho_{f}\), y por definición\(\vec{\text{E}}=-\operatorname{grad}(\text{V})\), para que

\[\int \int \int_{V o l u m e} \operatorname{div}(\text{VD}) d(\text{Vol})=\int \int \int_{V o l u m e}\left(\rho_{f} \text{V}-\vec{\text{E}} \cdot \vec{\text{D}}\right) d(\text{Vol}). \label{3.57}\]

La integral de volumen de la izquierda puede ser reemplazada por una integral de superficie usando el teorema de Gauss:

\[\int \int \int_{V o l u m e} \operatorname{div}(\text{V} \vec{\text{D}}) d(\text{Vol})=\iint_{S u r f a c e} \text{VD} \cdot \vec{d S}. \nonumber \]

A medida que el volumen se vuelve muy grande y la superficie S retrocede hasta el infinito, la integral de la superficie se vuelve muy pequeña. Muy lejos de todas las cargas, el potencial V debe disminuir al menos tan rápido como 1/R (el potencial debido a una carga puntual) y |\(\vec D\) | debe disminuir al menos tan rápido como 1/R ² (nuevamente una carga puntual) mientras que el área de superficie aumenta como ^R2. De ello se deduce que la integral superficial debe disminuir al menos tan rápido como 1/R en el límite a medida que las dimensiones de la superficie se vuelven infinitamente grandes. De la Ecuación (\ ref {3.57}) se deduce que

\[\int \int \int_{V o l u m e} \rho_{f} \text{V} d(\text {Vol })=\int \int \int_{V o l u m e}(\vec{\text{E}} \cdot \vec{\text{D}}) d(\text {Vol }), \nonumber \]

y por lo tanto

\[\text{U}_{\text{E}}=\int \int \int_{S p a c e} \text{W}_{\text{E}} d(\text{Vol})=\frac{1}{2} \int \int \int_{S p a c e} \rho_{f} \text{V} d(\text{Vol}). \label{3.58} \]

Para una colección de conductores incrustados en un medio dieléctrico no conductor, todas las cargas están en las superficies del conductor y las cargas en un conductor dado están todas al mismo potencial. En ese caso las integrales en la Ecuación (\ ref {3.58}) simplemente dan el producto del potencial del electrodo y la carga total en el electrodo:

\[\text{U}_{\text{E}}=\frac{1}{2} \sum_{\text{n}} \text{Q}_{\text{n}} \text{V}_{\text{n}}. \label{3.59}\]

3.3.1 Coeficientes de Capacitancia Generalizados

Las ecuaciones de Maxwell son lineales, por lo tanto los potenciales asociados a los electrodos incrustados en un material que obedece la respuesta lineal deben obedecer al principio de superposición. La distribución potencial que se genera por una carga particular es proporcional a la cantidad de esa carga. De la superposición se deduce que para cualquier cobro de cargas el potencial en cualquier punto debe ser una función lineal de las intensidades de carga. También debe ser cierto lo que hay que hacer. Dada una colección de electrodos conductores incrustados en un medio dieléctrico lineal, la carga en cada uno de los electrodos debe ser una función lineal de los potenciales de los electrodos: si los potenciales se duplican entonces también se debe duplicar la carga en cada electrodo y viceversa.

Esta dependencia lineal de la carga sobre los potenciales se puede expresar de la siguiente manera (ver Figura (3.3.13):

\[\mathrm{Q}_{1}=\mathrm{C}_{11} \mathrm{V}_{1}+\mathrm{C}_{12} \mathrm{V}_{2}+\ldots+\mathrm{C}_{1 \mathrm{n}} \mathrm{V}_{\mathrm{n}} \label{3.60}\]

\[\mathrm{Q}_{2}=\mathrm{C}_{21} \mathrm{V}_{1}+\mathrm{C}_{22} \mathrm{V}_{2}+\ldots+\mathrm{C}_{2 \mathrm{n}} \mathrm{V}_{\mathrm{n}} \nonumber \]

\[\vdots \quad \vdots \nonumber \]

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{n}}=\mathrm{C}_{\mathrm{n} 1} \mathrm{V}_{1}+\mathrm{C}_{\mathrm{n} 2} \mathrm{V}_{2}+\ldots+\mathrm{C}_{\mathrm{nn}} \mathrm{V}_{\mathrm{n}} \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{13}\): Conductores cargados incrustados en un medio dieléctrico lineal. Las cargas son una función lineal de los potenciales, ver Ecuación (\ ref {3.61}) en el texto.

Los factores de proporcionalidad, C _mn, se denominan coeficientes de capacitancia; tienen las unidades de Faradios. Estas ecuaciones expresan la observación de que un cambio en el potencial de un electrodo provoca un cambio en la cantidad de carga almacenada en cada electrodo, no solo en el electrodo cuyo potencial fue alterado. La energía almacenada en el campo eléctrico, que puede calcularse a partir de la Ecuación (\ ref {3.59}), debe ser independiente de cómo se llevó a cabo el proceso de carga. No debe importar, por ejemplo, si el electrodo (1) se carga primero, luego el electrodo (2), luego el electrodo (3), y así sucesivamente, o si (3) se carga primero, luego (2), luego (1), luego (4), y así sucesivamente. La energía contenida en el estado final del sistema debe ser independiente de la manera en que se alcanzó ese estado final: para que así sea, se puede demostrar que

\[\text{C}_{\text{mn}}=\text{C}_{\text{nm}}. \nonumber \]

En lugar de N ² coeficientes de capacitancia independientes solo hay N (N+1) /2 de ellos. Observe que estos coeficientes de capacitancia dependen de la geometría. Cualquier cambio en la forma de cualquier electrodo, o un cambio en la posición de cualquier electrodo, dará como resultado un cambio en todos los coeficientes de capacitancia. De ello se deduce también que la energía almacenada en el campo eléctrico debe cambiar. Este cambio en la energía de campo puede, en principio, ser utilizado para calcular las fuerzas electrostáticas en los conductores o en el medio dieléctrico.

Figura\(\PageIndex{14}\): Un condensador de placa paralela. Las dos placas tienen un área A y están separadas por una distancia z. La densidad de carga en cada placa es ρ _s culombs/m ².

3.3.2 Fuerzas Electrostáticas.

Caso (1) Los Cargos son Fijos.

Las cargas de cada conductor se mantienen fijas, y uno de los conductores puede sufrir un ligero desplazamiento\(\vec{\delta \text{r}}\). Durante este desplazamiento las fuerzas eléctricas harán una cantidad de trabajo

\[ \delta \text{w}=\vec{\text{F}} \cdot \vec{\delta \text{r}}.\nonumber \]

Este trabajo sólo se puede hacer a expensas de la energía almacenada en el campo eléctrico ya que no hay otras fuentes de energía. Consecuentemente

\[\vec{\text{F}_{\text{E}}} \cdot \vec{\delta \text{r}}=-\delta \text{U}_{\text{E}}. \nonumber \]

La energía almacenada en el campo eléctrico actúa como una función potencial para las fuerzas eléctricas. Como ejemplo, considere el condensador de placa paralela de la Figura (3.3.14). Es conveniente en este caso trabajar con un área unitaria de superficie de electrodo, y tomar placas metálicas que sean tan grandes que se puedan descuidar los efectos de borde. Para una densidad de carga superficial fija en cada electrodo, la intensidad del campo eléctrico entre las placas es independiente del espaciamiento del electrodo, z. La energía almacenada en el campo eléctrico por unidad de área de electrodo puede calcularse a partir de la ecuación de densidad de energía (\ ref {3.55}); el resultado del cálculo es

\[\text{U}_{\text{E}}=\left(\frac{\rho_{\text{s}}^{2}}{2 \epsilon_{0}}\right) \text{z} \nonumber\]

ya que la intensidad del campo eléctrico viene dada por\(\text{E}=\rho_{s} / \epsilon_{0}\). Deje que las placas se separen por un pequeño incremento dz. El trabajo realizado sobre la placa desplazada por la fuerza eléctrica por unidad de área es dado por Fdz. Este trabajo debe realizarse a costa de la energía eléctrica almacenada, por lo tanto

\[\text{Fdz}=-\left(\frac{\rho_{s}^{2}}{2 \epsilon_{0}}\right) \text{dz}, \nonumber\]

o

\[\text{F}=-\left(\frac{\rho_{s}^{2}}{2 \epsilon_{0}}\right)=-\frac{1}{2} \rho_{s} \text{E} \quad \text { newtons } / \text{m}^{2}. \label{3.61}\]

Las fuerzas eléctricas actúan de tal manera que juntan los electrodos. Este es el resultado esperado porque una placa lleva una carga positiva y la otra placa lleva una carga negativa. Como suposición, uno podría haber pensado que la fuerza por unidad de área en un electrodo dado solo estaría dada por la densidad de carga multiplicada por el campo eléctrico en la superficie del electrodo, es decir, ρ _s E. La ecuación resultante (\ ref {3.61}) muestra que se debe usar el campo promedio que actúa sobre las cargas para calcular la fuerza (recuerda que E=0 dentro del conductor).

Si bien el resultado anterior para la fuerza sobre un conductor se ha derivado para una placa plana paralela, resulta ser válido para la fuerza eléctrica por unidad de área que actúa sobre la superficie de cualquier conductor frente al vacío. Hay una presión negativa que actúa sobre la superficie del conductor que depende solo de los valores locales de la intensidad de campo y la densidad de carga superficial. Esta presión negativa, o tensión t _E, viene dada por

\[\text{t}_{\text{E}}=\frac{\rho_{s} \text{E}}{2}=\frac{\epsilon_{0}}{2} \text{E}^{2} \quad \text { Newtons } / \text{m}^{2}. \nonumber \]

Para una superficie conductora sumergida en un fluido caracterizado por una constante dieléctrica\(\epsilon\) es fácil demostrar que esta tensión se vuelve

\[\text{t}_{\text{E}}=\frac{1}{2} \vec{\text{E}} \cdot \vec{\text{D}}=\frac{\epsilon}{2} \text{E}^{2} \quad \text { Newtons } / \text{m}^{2}. \label{3.62}\]

Caso (2) Los Potenciales son Fijos.

En muchos casos es conveniente investigar la distribución de la fuerza eléctrica en circunstancias en las que los potenciales de los electrodos se mantienen fijos. Cualquier cambio en la configuración del electrodo a potenciales fijos que resulte en un cambio en los coeficientes de capacitancia también conducirá a un cambio en la cantidad de carga transportada por cada conductor. Si el cambio en la carga transportada por un electrodo en particular es\(\delta \text{Q}_{\text{M}}\), el trabajo requerido para agregar esta carga al conductor es\(\delta \text{W}_{\text{B}}=\text{V}_{\text{M}} \delta \text{Q}_{\text{M}}\) y esta energía es proporcionada por la fuente de emf que se une al conductor M, es decir, por la batería que se utiliza para mantener el potencial constante. El cambio en la energía almacenada en el campo eléctrico se puede calcular a partir de la Ecuación (\ ref {3.59}); el resultado para potenciales constantes es

\[\delta \text{U}_{\text{E}}=\frac{1}{2} \sum_{N} \text{V}_{\text{N}} \delta \text{Q}_{\text{N}}. \label{3.63}\]

La energía proporcionada por las baterías que mantienen constantes los potenciales V _N viene dada por

\[\delta \text{W}_{\text{B}}=\sum_{N} \text{V}_{\text{N}} \delta \text{Q}_{\text{N}}. \label{3.64}\]

La energía suministrada por las baterías es exactamente el doble del incremento de la energía almacenada en el campo eléctrico. El trabajo realizado por las fuerzas eléctricas en el movimiento de un electrodo es\(\vec{\text{F}_{\text{E}}} \cdot \vec{\text{dr}}\). La conservación de la energía ahora da

\[\vec{\text{F}_{\text{E}}} \cdot \vec{\text{dr}}+\delta \text{U}_{\text{E}}=\delta \text{W}_{\text{B}}, \nonumber \]

o

\[\vec{\text{F}_{\text{E}}} \cdot \vec{\text{dr}}=\delta \text{U}_{\text{E}}=\frac{1}{2} \sum_{N} \text{V}_{\text{N}} \delta \text{Q}_{\text{N}}, \label{3.65}\]

ya que\(\delta \text{W}_{\text{B}}=2 \delta \text{U}_{\text{E}}\). Para este caso el incremento en la energía eléctrica almacenada en el campo es exactamente igual al trabajo externo realizado por las fuerzas eléctricas en el cambio de la geometría del electrodo.

Como ejemplo, considere la configuración mostrada en la Figura (3.3.15). Una losa de material dieléctrico caracterizada por una constante dieléctrica\(\epsilon\), se encuentra con un extremo cerca del centro de un condensador paralelo plano y el otro extremo se encuentra muy fuera del condensador. La losa tiene un espesor d metros y un ancho w metros. El espécimen es tan largo que el campo eléctrico al final que yace

Figura\(\PageIndex{15}\): Un condensador paralelo plano que contiene parcialmente una losa de material dieléctrico d de espesor y w de ancho. La constante dieléctrica de la losa es\(\epsilon\). El objetivo es calcular las fuerzas eléctricas que actúan sobre la losa.

fuera del condensador es casi cero y puede ser descuidado. Un cálculo sencillo pero tedioso da (consulte la Figura (3.3.15)):

\[\text{E}_{1}=\frac{\text{V}}{\left[\text{d}_{1}+\left(\frac{\epsilon_{0}}{\epsilon}-1\right) \text{d}\right]} \quad \text {Volts} / \text{m}; \nonumber \]

\[\text{E}_{2}=\frac{\left(\frac{\epsilon_{0}}{\epsilon}\right) \text{V}}{\left[\text{d}_{1}+\left(\frac{\epsilon_{0}}{\epsilon}-1\right) \text{d}\right]} \quad \text { Volts } / \text{m}; \nonumber \]

y

\[\text{E}_{0}=\frac{\text{V}}{d_{1}} \quad \text {Volts} / \text{m}. \nonumber \]

E ₁ es el campo en el vacío en una región ocupada por la losa dieléctrica, pero lo suficientemente lejos del extremo de la losa para que se puedan descuidar las inhomogeneidades en el campo: en la práctica, esto significa que se está considerando una posición varios espesores de losa, d, desde el extremo. La cantidad E ₂ es la intensidad del campo eléctrico en la losa dieléctrica, pero en una posición varios d retirados de su extremo. E ₀ es la intensidad del campo eléctrico en la región del condensador donde no hay losa, y lo suficientemente lejos del extremo de la losa para que se puedan descuidar los campos marginales. Ahora deje que la losa se inserte\(\delta \text{x}\) más entre las placas del condensador. El cambio en la energía almacenada en el campo eléctrico será justamente el correspondiente a eliminar un volumen\(\left(d_{1} w\right) \delta x\) de espacio libre de dieléctricos donde el campo es E ₀ Voltios/m y sustituirlo por el volumen (wd)\(\delta\) x de material dieléctrico sujeto al campo E ₂ más el vacío volumen\(w\left(d_{1}-d\right) \delta x\) sujeto al campo E ₁. Este cambio en la energía será independiente de la forma exacta del extremo de la losa siempre que la extensión de la región de campo no uniforme alrededor del extremo de la losa sea muy pequeña en comparación con las dimensiones laterales, D, de las placas del condensador, es decir, proporcionando que D/D 1. El cambio en la energía electrostática almacenada para un pequeño desplazamiento\(\delta \text{x}\) viene dado por

\[\delta \text{U}_{\text{E}}=\operatorname{wd} \delta \text{x}\left(\frac{\epsilon \text{E}_{2}^{2}}{2}+\frac{\epsilon_{0} \text{E}_{1}^{2}}{2}\left[\frac{\text{d}_{1}}{\text{d}}-1\right]\right)-\left(\text{wd}_{1} \delta \text{x}\right) \frac{\epsilon_{0} \text{E}_{0}^{2}}{2}. \nonumber \]

Después de un poco de álgebra esto puede ser escrito

\[\delta \text{U}_{\text{E}}=(\text{w} \delta \text{x})\left(\frac{\epsilon_{0} \text{V}^{2}}{2 \text{d}_{1}}\right)\left(\frac{1-\frac{\epsilon_{0}}{\epsilon}}{\frac{\epsilon_{0}}{\epsilon}-1+\frac{\text{d}_{1}}{\text{d}}}\right). \nonumber \]

En general la constante dieléctrica\(\epsilon\) es mayor a\(\epsilon\) ₀ de manera que la energía electrostática almacenada en el campo aumenta si la losa dieléctrica se mueve más adentro del condensador. Para un voltaje aplicado constante, esto significa que las fuerzas eléctricas son tales que jalan la losa más entre las placas del condensador: a un potencial aplicado constante la geometría tiende a cambiar para maximizar la energía almacenada en el campo. La fuerza sobre la losa viene dada por

\[\text{F}_{\text{x}}=\text{w}\left(\frac{\epsilon_{0} \text{V}^{2}}{2 \text{d}_{1}}\right)\left(\frac{1-\frac{\epsilon_{0}}{\epsilon}}{\frac{\epsilon_{0}}{\epsilon}-1+\frac{\text{d}_{1}}{\text{d}}}\right) \quad \text {Newtons}. \label{3.66}\]

La fuerza sobre una losa dieléctrica se puede medir y utilizar para obtener la constante dieléctrica para el material de la losa,\(\epsilon\). A menudo se utiliza una variante de este método para medir la constante dieléctrica de un fluido, ver Figura (3.3.16). Eqn. (\ ref {3.66}) se vuelve mucho más simple si el grosor de la losa dieléctrica es el mismo, o casi el mismo, que el espaciamiento entre las placas del condensador. Cuando d = d ₁ uno encuentra

\[\text{F}_{\text{x}}=\text{w}\left(\frac{\epsilon_{0} \text{V}^{2}}{2 \text{d}}\right)\left(\frac{\epsilon}{\epsilon_{0}}-1\right)=\text{w}\left(\frac{\epsilon_{0} \text{V}^{2}}{2 \text{d}}\right) \chi_{e}, \label{3.67}\]

donde\(\chi_{e}\) se define la susceptibilidad eléctrica por\(\epsilon=\epsilon_{0}\left(1+\chi_{e}\right)\). En el límite opuesto, d/d ₁ a 1, la fuerza viene dada por

\[\text{F}_{\text{x}}=\text{w} \text{d}\left(\frac{\epsilon_{0} \text{V}^{2}}{2 \text{d}_{1}^{2}}\right)\left(\frac{\epsilon-\epsilon_{0}}{\epsilon}\right)=\text{w} \text{d}\left(\frac{\epsilon_{0} \text{V}^{2}}{2 \text{d}_{1}^{2}}\right)\left(\frac{\chi_{e}}{1+\chi_{e}}\right) \quad \text { Newtons. } \label{3.68}\]

Figura\(\PageIndex{16}\): Método de Quincke para medir la constante dieléctrica de un fluido. Al aplicar el voltaje V a las placas del condensador, el fluido dieléctrico es aspirado entre las placas. En equilibrio, la fuerza eléctrica sobre el fluido solo equilibra la fuerza gravitacional. La fuerza gravitacional es proporcional a la diferencia de nivel h. La fuerza eléctrica por unidad de área, t, viene dada por t = ρgh donde ρ es la densidad del fluido.

Figura\(\PageIndex{17}\): La fuerza que actúa sobre la materia contenida dentro de un volumen V se puede obtener como la integral superficial de un vector\(\vec T\) sobre una superficie S que encierra V. Se supone que\(\vec D\) está en todas partes dentro de S proporcional al campo eléctrico,\(\vec E\). Se supone además que la superficie S está sumergida en un fluido que no puede soportar esfuerzos cortantes, y que\(\vec D\) y\(\vec E\) son paralelos sobre S. La fuerza por unidad de área viene dada por\(|\text{T}|=\vec{\text{E}} \cdot \vec{\text{D}} / 2\) y la dirección de la fuerza por unidad de área es tal que el ángulo entre\(\vec T\) y la superficie normal está biseccionado por la dirección del campo eléctrico.

3.3.3 El tensor de estrés Maxwell

Las fuerzas que actúan sobre una distribución de carga estática ubicada en un medio dieléctrico isotrópico lineal se pueden obtener como la divergencia de un objeto llamado tensor de tensión Maxwell. Se puede demostrar que existe un vector\(\vec T\) asociado a los elementos del tensor de tensión tal que la integral superficial de\(\vec T\) sobre una superficie cerrada S que encierra un volumen V da la fuerza neta que actúa sobre las cargas dentro de V: ver, por ejemplo, Teoría Electromagnética de J.A.Stratton, sección 2.5, (McGraw-Hill, N.Y., 1941). Se puede escribir

\[\vec{\text{F}_{\text{E}}}=\int \int_{\text{S}} \vec{\text{T}} \text{d} \text{S}. \label{3.69}\]

En esta integral\(\vec T\) se encuentra un vector cuya magnitud viene dada por\(|\vec{\text{T}}|=(\vec{\text{E}} \cdot \vec{\text{D}}) / 2\) y cuya dirección viene dada por la construcción mostrada en la Figura (3.3.17). Obsérvese que el elemento de área, dS, en la Ecuación (\ ref {3.69}) no está representado por un vector; es simplemente una cantidad escalar. Cuando el campo eléctrico, E, se dirige paralelo con el exterior normal al elemento de superficie la contribución de fuerza es una tensión, pero cuando E se encuentra en la superficie la contribución a la fuerza es una presión. Es un ejercicio interesante para demostrar que la fuerza entre dos cargas en vacío viene dada por\(\left(\text{q}_{1} \text{q}_{2} / 4 \pi \epsilon_{0} \text{R}^{2}\right)\) si se integra el vector\(\vec T\) sobre una superficie adecuadamente elegida que rodea completamente una de las cargas.