3.4: La Energía de Campo como Mínimo

Considere un grupo de conductores embebidos en un medio dieléctrico como se muestra en la Figura (3.3.13). Deje que la distribución real del potencial sea V correspondiente al campo eléctrico\(\overrightarrow{\mathrm{E}}=-\operatorname{grad}(\mathrm{V})\); la función potencial V satisface la ecuación de LaPlace, ² V = 0, y satisface las condiciones límite. Consideremos ahora una segunda distribución de potencial, V _e, que no es la correcta:\(\mathrm{V}_{\mathrm{e}}=\mathrm{V}+\delta \mathrm{V}\), donde\(\delta \mathrm{V}=0\) en los conductores. Esta situación podría surgir, por ejemplo, si se intentara adivinar la distribución del potencial dado el potencial en cada uno de los conductores. La energía de campo calculada usando la función potencial incorrecta V _e sería

\[\mathrm{U}_{\mathrm{E}}^{1}=\int \int \int_{S p a c e}(\mathrm{d} \mathrm{Vol}) \frac{\epsilon}{2}(\overrightarrow{\mathrm{E}}+\delta \overrightarrow{\mathrm{E}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{E}}+\delta \overrightarrow{\mathrm{E}}), \nonumber \]

dónde\(\overrightarrow{\mathrm{E}}=-\operatorname{grad}(\mathrm{V})\) y\(\delta \mathrm{E}=-g r a d(\delta \mathrm{V})\). Al multiplicar los factores bajo el signo integral se obtiene

\[\mathrm{U}_{\mathrm{E}}^{1}=\int \int \int_{S p a c e}(\mathrm{dVol})\left(\frac{\epsilon \mathrm{E}^{2}}{2}+\epsilon \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \delta \overrightarrow{\mathrm{E}}+\frac{\epsilon}{2}(\delta \overrightarrow{\mathrm{E}})^{2}\right). \label{3.70}\]

Pero

\[\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{D}} \delta \mathrm{V})=\delta \mathrm{V} \operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{D}})+\overrightarrow{\mathrm{D}} \cdot \operatorname{grad}(\delta \mathrm{V})=\rho_{f}(\delta \mathrm{V})-\overrightarrow{\mathrm{D}} \cdot \delta \overrightarrow{\mathrm{E}}. \nonumber \]

Si\(\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{D}} \delta \mathrm{V})\) está integrado en todo el espacio el resultado es

\[\int \int \int_{S p a c e}(\mathrm{dVol}) d i v(\overrightarrow{\mathrm{D}} \delta \mathrm{V})=\int \int_{S u r f a c e} \overrightarrow{\mathrm{d} \mathrm{S}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{D}} \delta \mathrm{V}=\int \int \int_{S p a c e}(\mathrm{d} \mathrm{Vol}) \rho_{f} \delta \mathrm{V}-\int \int \int_{S p a c e}(\mathrm{dVol}) \overrightarrow{\mathrm{D}} \cdot \delta \overrightarrow{\mathrm{V}}. \label{3.71}\]

La integral de superficie en la Ecuación (\ ref {3.71}) va a cero por las razones habituales a medida que la superficie S se vuelve infinitamente grande. Es decir, muy lejos de cualquier fuente\(\vec D\) | | va a cero al menos tan rápido como 1/R ² y la superficie aumenta como R ² de manera que la contribución integral superficial debe desvanecerse siempre que el producto\(|\overrightarrow{\mathrm{D}}| \delta \mathrm{V}\) vaya a cero al menos tan rápido como 1/R ³, es decir. \(\delta\)V debe ir a cero al menos tan rápido como 1/R También por hipótesis la densidad de carga, ρ _f, desaparece en todas partes excepto en las superficies de los conductores donde\(\delta\) V = 0, por hipótesis. En consecuencia, la ecuación (\ ref {3.71}) da el resultado

\[\int \int \int_{S p a c e}(\mathrm{dVol}) \overrightarrow{\mathrm{D}} \cdot \delta \overrightarrow{\mathrm{E}}=\int \int \int_{S p a c e}(\mathrm{dVol}) \epsilon \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \delta \overrightarrow{\mathrm{E}}=0. \nonumber \]

De esto y de la Ecuación (\ ref {3.70}) se deduce que la energía incorrecta\(U_{E}^{1}\) excede la energía correcta U _E, donde

\[\mathrm{U}_{\mathrm{E}}=\int \int \int_{S_{\mathrm{P} n} \alpha_{\mathrm{e}}}(\mathrm{d} \mathrm{Vol}) \frac{\epsilon}{2} \mathrm{E}^{2}, \nonumber \]

por una cantidad definitiva positiva:

\[\delta \mathrm{U}_{\mathrm{E}}=\mathrm{U}_{\mathrm{E}}^{1}-\mathrm{U}_{\mathrm{E}}=\int \int \int_{S_{\text {pace}}}(\mathrm{dVol}) \frac{\epsilon}{2}(\delta \overrightarrow{\mathrm{E}})^{2}. \label{3.72}\]

Esto demuestra que la energía del campo eléctrico es mínima para la distribución correcta del campo. Este hecho puede ser la base de un método aproximado para resolver problemas de campo electrostático: se adivina en la forma del potencial usando una función razonable que contiene una serie de constantes ajustables a, b, c etc. Estas constantes se ajustan para obtener la energía electrostática mínima. La solución así obtenida representa la forma funcional dada que más se aproxima a la solución exacta. Este método ha sido ilustrado en la última parte del Chpt. (19) de las Conferencias Feynman sobre Física, Vol. (II), utilizando un condensador cilíndrico como ejemplo.

_{Figura\(\PageIndex{18}\): Un dipolo puntual p a se localiza en el centro de una cavidad esférica vacía de radio R cortada de un material dieléctrico homogéneo caracterizado por una constante dieléctrica\(\epsilon\).} El campo eléctrico lejos de la cavidad es E ₀ voltios/m, y es uniforme y dirigido a lo largo del eje z.