5.1: Introducción- Fuentes en un Material Permeable Uniforme
- Page ID
- 127636
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Las ecuaciones de magnetostática están dadas por la Ecuación (4.1.2)
\[\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{B}})=0, \nonumber \]
y Ecuación (4.1.3)
\[\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{B}})=\mu_{0}\left(\overrightarrow{\mathrm{J}}_{f}+\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{M}})\right). \nonumber \]
(consulte la sección 4.1)). Para un medio lineal, isotrópico, magnético\(\vec B\) es proporcional a\(\vec H\) donde el factor de proporcionalidad se llama permeabilidad.
\[\overrightarrow{\mathrm{B}}=\mu \overrightarrow{\mathrm{H}}=\mu_{0}(\overrightarrow{\mathrm{H}}+\overrightarrow{\mathrm{M}}) , \nonumber \]
para que
\[\overrightarrow{\mathrm{M}}=\left(\frac{\mu}{\mu_{0}}-1\right) \overrightarrow{\mathrm{H}} , \nonumber \]
o
\[\overrightarrow{\mathrm{M}}=\left(\mu_{r}-1\right) \overrightarrow{\mathrm{H}}. \label{5.1} \]
En la Ecuación (\ ref {5.1}) µr = µ/µ0 es la permeabilidad relativa. La segunda de las ecuaciones de Maxwell anteriores se puede reescribir en la forma
\[\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{H}})=\overrightarrow{\mathrm{J}}_{f} , \nonumber \]
o
\[\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{B}})=\mu \overrightarrow{\mathrm{J}}_{f} . \label{5.2}\]
La sustitución\(\vec B\) = curl (\(\vec A\)) asegura que la Ecuación (4.1.2) será satisfecha ya que la divergencia de cualquier rizo es cero. El uso de esta sustitución en la ecuación (\ ref {5.2}) da
\[\operatorname{curlcurl}(\overrightarrow{\mathrm{A}})=\mu \overrightarrow{\mathrm{J}}_{f} . \label{5.3}\]
Si además uno elige
\[\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{A}})=0, \label{5.4}\]
entonces
\[\nabla^{2} \overrightarrow{\mathrm{A}}=-\mu \overrightarrow{\mathrm{J}}_{f} , \label{5.5}\]
y esta ecuación tiene la solución particular
\[\overrightarrow{\mathrm{A}}(\overrightarrow{\mathrm{R}})=\frac{\mu}{4 \pi} \, iiint_{S p a c e} \mathrm{d} \tau \frac{\overrightarrow{\mathrm{J}}_{f}(\overrightarrow{\mathrm{r}})}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|}, \label{5.6}\]
donde d\(\tau\) es un elemento de volumen. Este desarrollo sigue exactamente el procedimiento descrito en el Chpt. (4); la única diferencia es que la integración en la Ecuación (\ ref {5.6}) se lleva a cabo sobre la distribución de densidad de corriente libre, y los campos debidos a la densidad de corriente efectiva curl (\(\vec M\)) se toman en cuenta a través de la permeabilidad µ que multiplica la integral. Cabe señalar que este procedimiento sólo funciona si µ no depende de la posición en el espacio. Si hay regiones caracterizadas por diferentes valores de µ el problema de calcular la distribución del campo magnético se vuelve mucho más difícil. Esto se debe a que en los límites entre regiones que tienen diferentes permeabilidades hay discontinuidades en los componentes normales y tangenciales\(\vec M\) que actúan como fuentes de campo.
En la situación habitual la densidad de corriente es cero excepto dentro de un número finito de hilos delgados. Para una corriente de I amperios transportada en un cable de sección transversal insignificante, la ecuación (\ ref {5.6}) se convierte en
\[\overrightarrow{\mathrm{A}}_{P}=\frac{\mu \mathrm{I}}{4 \pi} \int_{W i r e} \frac{| \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{L}}}{|\overrightarrow{\mathrm{r}}|} , \label{5.7}\]
donde\(\vec r\) es el vector desde el elemento de longitud d\(\vec L\) hasta el punto P donde se va a calcular el potencial\(\vec A\) del vector. De\(\vec B\) = curl (\(\vec A\)) se obtiene
\[\overrightarrow{\mathrm{B}}(\overrightarrow{\mathrm{r}})=\frac{\mu \mathrm{I}}{4 \pi} \int_{W i r e} \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{L}} \times \overrightarrow{\mathrm{r}}}{|\overrightarrow{\mathrm{r}}|^{3}} . \label{5.8}\]
Estas fórmulas son muy similares a las Ecuaciones (4.2.1) y (4.17) del Chpt. (4). Los campos correspondientes a los problemas estándar de un cable recto largo, el campo a lo largo del eje de un bucle circular, y a lo largo del eje de un solenoide finito están dados por las Ecuaciones (4.3.3), (4.3.4) y (4.3.5) donde la permeabilidad del espacio libre, µ 0, es reemplazada por la permeabilidad µ. En particular, el campo de un solenoide infinito que se llena con un material magnético viene dado por
\[\overrightarrow{\mathrm{B}}=\mu \mathrm{NI} , \label{5.9}\]
donde N es el número de vueltas por metro.