5.2: Cálculo de Campos fuera del eje

Es relativamente fácil calcular el campo magnético a lo largo del eje de simetría de un sistema de bobina axialmente simétrica utilizando la ley de Biot-Savart, Ecuación (5.1.8). El cálculo se puede realizar fácilmente porque el campo magnético tiene un solo componente, un componente axial, y la simetría cilíndrica hace que la integración sobre la distribución de corriente sea relativamente simple. M.W.Garrett ha señalado que los campos fuera del eje pueden calcularse fácilmente a partir del potencial escalar magnético (M.W.Garrett, J.Appl.Phys.22,1091-1107 (1951);” Sistemas Axialmente Simétricos para Generar y Medir Campos Magnéticos. Parte I”). En cualquier región libre de corriente

\[\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{H}})=0 \]

y por lo tanto se puede escribir

\[\overrightarrow{\mathrm{H}}=-\operatorname{grad}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{m}}\right), \label{5.10}\]

donde V _m es una función escalar de posición. En un medio uniforme para\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\mu \overrightarrow{\mathrm{H}}\) el cual la ecuación\(\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{B}})=0\) puede ser reescrita como

\[\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{H}})=0. \label{5.11}\]

De la Ecuación (\ ref {5.10}) se deduce que el potencial escalar magnético debe satisfacer la ecuación de LaPlace en cualquier región libre de corrientes. En coordenadas polares esféricas se escribe la ecuación de LaPlace

\[\frac{1}{\mathrm{r}^{2}} \frac{\partial}{\partial \mathrm{r}}\left(\mathrm{r}^{2} \frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\partial \mathrm{r}}\right)+\frac{1}{\mathrm{r}^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\mathrm{r}^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} \mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\partial \phi^{2}}=0 .\label{5.12}\]

El potencial escalar magnético no puede depender del ángulo azimutal\(\phi\) para un sistema de bobina axialmente simétrica, de modo que ² V _m = 0 reduce a

\[\frac{1}{\mathrm{r}^{2}} \frac{\partial}{\partial \mathrm{r}}\left(\mathrm{r}^{2} \frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\partial \mathrm{r}}\right)+\frac{1}{\mathrm{r}^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\partial \theta}\right)=0 . \label{5.13}\]

La solución general de esta ecuación se puede escribir como una expansión en serie en polinomios de Legendre:

\[\mathrm{V}_{\mathrm{m}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{r}^{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{r}^{\mathrm{n}+1}}\right) \mathrm{P}_{\mathrm{n}}(\cos \theta) .\label{5.14}\]

Esta es la misma expansión que se utilizó para el potencial electrostático en Chpt. (3), sección (3.2.1 (d)) para tratar el problema de una esfera dieléctrica en un campo eléctrico aplicado uniforme. Las funciones P _n (x) son polinomios de Legendre, las cinco primeras de las cuales se enumeran en la Tabla (3.2.2). Los términos proporcionales a 1/r ⁿ⁺¹ en la expansión (\ ref {5.14}) no son aceptables para describir la función de potencial magnético para un sistema de bobinas axialmente simétricas porque explotan a r=0; no hay singularidades en el campo magnético a lo largo del eje del sistema de bobinas. Esto significa que el potencial magnético debe ser descriptible por la serie

\[\mathrm{V}_{\mathrm{m}}=\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{r}^{\mathrm{n}} \mathrm{P}_{\mathrm{n}}(\cos \theta). \label{5.15}\]

(El término n=0 corresponde a una constante; no es importante y puede establecerse igual a cero porque cualquier constante puede ser añadida a V _m sin cambiar el campo magnético). A lo largo del eje del sistema de bobinas, el eje z del sistema de coordenadas polares esféricas, el ángulo θ es fijo; cos θ=+1 para la región z > 0 y cos θ=-1 para la región z < 0. Además, a lo largo del eje del sistema de bobinas r =| z |, de manera que a lo largo del eje La ecuación (\ ref {5.15}) se convierte en una serie de potencias en z. El campo magnético calculado a partir de esta serie de potencia puede compararse término por término con la serie de potencia para el campo magnético calculado

Figura\(\PageIndex{1}\): Un bucle circular de radio R que lleva una corriente de I Amps y que se encuentra en el plano x-y.

directamente de la ley de Biot-Savart. La comparación de las dos series arroja valores para los coeficientes a que aparecen en la expansión para el potencial magnético, Ecuación (\ ref {5.15}). Una vez que se han determinado los coeficientes a, el campo magnético en cualquier punto dentro del sistema de bobina se puede calcular fácilmente a partir de\(\vec H\) = −grad (V _m).

Este procedimiento se puede ilustrar para un solo bucle de alambre que se encuentra en el plano xy, Figura (5.1.1). El campo magnético a lo largo del eje de dicho bucle viene dado por

\[\mathrm{B}_{\mathrm{z}}=\frac{\mu \mathrm{I} \mathrm{R}^{2}}{2} \frac{1}{\left(\mathrm{z}^{2}+\mathrm{R}^{2}\right)^{3 / 2}}, \label{5.16}\]

ver Ecuación (4.3.4) del Chpt. (4). Esta expresión se puede expandir en un Taylor seies en la variable z:

\[\mathrm{B}_{\mathrm{z}}(\mathrm{z})=\mathrm{B}_{\mathrm{z}}(0)+\left(\frac{d \mathrm{B}_{\mathrm{z}}}{d \mathrm{z}}\right)_{\mathrm{z}=0} \mathrm{z}+\left(\frac{d^{2} \mathrm{B}_{\mathrm{z}}}{d \mathrm{z}^{2}}\right)_{\mathrm{z}=0}\left(\frac{\mathrm{z}^{2}}{2}\right)++\left(\frac{d^{3} \mathrm{B}_{z}}{d z^{3}}\right)_{z=0}\left(\frac{z^{3}}{6}\right)+\cdots+\left(\frac{d^{n} B_{z}}{d z^{n}}\right)_{z=0}\left(\frac{z^{n}}{n !}\right)+\cdots \label{5.17}\]

Para el bucle de corriente único de la Figura (5.1.1) esta serie de Taylor se convierte en

\[\mathrm{B}_{\mathrm{z}}(\mathrm{z})=\left(\frac{\mu \mathrm{I}}{2 \mathrm{R}}\right)\left(1-\frac{3}{2}\left(\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{R}}\right)^{2}+\frac{45}{24}\left(\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{R}}\right)^{4}+\cdots\right). \label{5.18}\]

Observe que esta serie contiene solo potencias pares de (z/R) porque el campo magnético es simétrico con respecto al plano de la bobina, es decir, B _z (−z) = Bz (z). Ahora _Bz (z) se deriva de la función de potencial magnético a través de una diferenciación con respecto a z:

\[\mathrm{B}_{\mathrm{z}}(\mathrm{z})=-\frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\partial \mathrm{z}}, \label{5.19}\]

La serie (\ ref {5.19}) debe compararse con la ecuación general de la serie (\ ref {5.15}) usando r=z y cos θ = 1, es decir, con

\[\mathrm{V}_{\mathrm{m}}(\mathrm{z}, 0)=\mathrm{a}_{1} \mathrm{zP}_{1}(1)+\mathrm{a}_{2} \mathrm{z}^{2} \mathrm{P}_{2}(1)+\mathrm{a}_{3} \mathrm{z}^{3} \mathrm{P}_{3}(1)+\mathrm{a}_{4} \mathrm{z}^{4} \mathrm{P}_{4}(1)+\mathrm{a}_{5} \mathrm{z}^{5} \mathrm{P}_{5}(1)+\cdots \label{5.20}\]

De esta comparación se desprende que los coeficientes de todos los términos pares deben ser cero. Los polinomios de Legendre se normalizan de manera que P _n (1) = 1 (ver Tabla (3.2.2), sección (3.2.1 (d))). De una comparación de (\ ref {5.20}) con (\ ref {5.19}) se deduce que

\ [\ begin {array} {c}
\ mathrm {a} _ {1} =-\ frac {\ mu\ mathrm {I}} {2\ mathrm {R}}\
\ mathrm {a} _ {3} =\ frac {\ mu\ mathrm {I}} {2}\ left (\ frac {1} {2\ mathrm {R} ^ {3}}\ derecha)\\
\ mathrm {a} _ {5} =-\ frac {\ mu\ mathrm {I}} {2}\ izquierda (\ frac {9} {24\ mathrm {R} ^ {5}}\ derecha),\ quad\ texto {etc.}
\ end {array}\ nonumber\]

Los tres primeros términos en la expansión para la función potencial, válidos para cualquier punto en el espacio tal que (r/R) < 1, están dados por

\[\mathrm{V}_{\mathrm{m}}(\mathrm{r}, \theta)=-\frac{\mu \mathrm{I}}{2}\left[\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right) \mathrm{P}_{1}(\cos \theta)-\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{3} \mathrm{P}_{3}(\cos \theta)+\frac{9}{24}\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{5} \mathrm{P}_{5}(\cos \theta)+\cdots\right] , \label{5.21}\]

donde

\ [\ begin {alineado}
&\ mathrm {P} _ {1} (x) =x\\
&\ mathrm {P} _ {3} (x) =\ frac {1} {2}\ izquierda (5\ mathrm {x} ^ {3} -3\ mathrm {x}\ derecha)
\ final {alineado}\ nonumber\]

y

\[\mathrm{P}_{5}(x)=\frac{1}{8}\left(63 \mathrm{x}^{5}-70 \mathrm{x}^{3}+15 \mathrm{x}\right) ; \nonumber \]

(véase Schaum's Outline Series: Mathematical Handbook, por Murray R. Spiegel, McGraw-Hill, N.Y., 1968)). Los componentes del campo magnético se pueden calcular a partir de

\[\mathrm{B}_{\mathrm{r}}=-\frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\partial \mathrm{r}} , \nonumber \]

y

\[\mathrm{B}_{\theta}=-\frac{1}{\mathrm{r}} \frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\partial \theta} . \nonumber \]

Estos campos se pueden calcular muy fácilmente para valores particulares de r, θ por medio de una computadora digital moderna; los programas para calcular polinomios de Legendre y sus derivados están fácilmente disponibles.