5.5: Coeficientes de inductancia
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Considerar\(N\) circuitos incrustados en un medio lineal, isotrópico caracterizado por una permeabilidad\(µ\). El flujo magnético a través de un circuito dado dependerá de las corrientes en todos los circuitos. Sin embargo, el campo magnético generado por la corriente en un circuito particular será una función lineal de la corriente en ese circuito; si la corriente se duplica entonces el campo magnético debido a esa corriente también se duplicará porque las ecuaciones de Maxwell son lineales en la densidad de corriente. Dado que el campo magnético en cualquier punto es una función lineal de las corrientes se deduce que el flujo a través de cada circuito debe ser una función lineal de las corrientes: i.e.
\ [\ begin {alineado}
\ Phi_ {1} &=\ texto {L} _ {11}\ texto {I} _ {1} +\ texto {L} _ {12}\ texto {I} _ {2} +\ cdots+\ texto {L} _ {1\ texto {N}}\ texto {I} _ {\ texto {N}}\
\ Phi_ {2} =\ texto {L} _ {21}\ texto {I} _ {1} +\ texto {L} _ {22}\ texto {I} _ {2} +\ cdots+\ texto {L} _ {2\ texto {N}}\ texto {I} _ {\ texto {N}}\\ texto {N}}\
\ vdots & amp;\\
\ Phi_ {N} &=\ texto {L} _ {\ texto {N} 1}\ texto {I} _ {1} +\ texto {L} _ {\ texto {N} 2}\ texto {I} _ {2} +\ cdots+\ texto {L} _ _ {\ texto {NN}}\ texto {I} _ _ {\ texto {N}}
final {alineado}. \ label {5.49}\]
Los coeficientes\(L_{MN}\) se denominan coeficientes de inducción. Cuentan con unidades de Henries.
La energía magnetostática, Ecuación (5.4.9), se puede escribir en términos de la corriente en cada circuito y los coeficientes de inducción. La energía magnética debe ser independiente del orden en que las corrientes del circuito alcancen sus valores finales. Esta condición requiere que
\[\text{L}_{\text{MN}}=\text{L}_{\text{NM}} . \label{5.50}\]
Por lo tanto, solo hay N (N+1) /2 coeficientes de inducción independientes en lugar de N 2 de ellos. Esta propiedad de simetría de los coeficientes de inducción se puede utilizar para determinar el flujo producido en un sistema de bobina por un cuerpo magnetizado. Considere un sistema de bobina primaria que lleve una corriente I p. Que haya una pequeña bobina secundaria como se muestra en la Figura (5.5.8). El campo magnético producido por la bobina primaria en la posición de la bobina secundaria es
\[\text{B}_{\text{z}}=\text{K} \text{I}_{\text{p}} \quad \text { Teslas } , \nonumber\]
K es solo una constante que depende de la geometría de la bobina primaria. Si el área de la bobina secundaria es A, se supone que es muy pequeña, el flujo a través de la bobina secundaria debido a la corriente primaria viene dado por
\[\Phi_{s}=\text{B}_{z} \text{A}=\text{KAI}_{\text{p}} , \label{5.51}\]
y por lo tanto el coeficiente de inductancia relevante, L sp, es
\[\text{L}_{\text{sp}}=\text{KA} . \label{5.52}\]
Pero esto significa que el flujo a través del sistema de bobina primaria debido a una corriente\(I_s\) en la bobina secundaria viene dado por
\[\Phi_{p}=\text{L}_{\text{pr}} \text{I}_{\text{s}}=\text{L}_{\text{xp}} \text{I}_{\text{z}}=\text{KAI}_{\text{s}} . \nonumber\]
La pequeña bobina secundaria que transporta una corriente\(I_s\) constituye un momento magnético\(m_z = I_sA \,Amp-m^2\). De ello se deduce que un dipolo magnético m z produce un flujo a través de un sistema de bobina primaria dado por
\[\Phi_{p}=\text{Km}_{z} , \label{5.53}\]
donde el sistema de bobina produce el campo\(B_z = KI_p\) Teslas en la posición del momento magnético. Si el campo producido por el sistema de bobina es uniforme sobre un cuerpo magnético se deduce del principio de superposición que el flujo producido en el sistema de bobina por el cuerpo es proporcional a su momento magnético total. En particular, el flujo a través de un solenoide infinito producido por un dipolo magnético\(\vec m\), orientado a lo largo del eje del solenoide viene dado por
\[\Phi=\mu \text{Nm} , \label{5.54}\]
si el sistema está sumergido en un medio cuya permeabilidad es\(\mu\). En la mayoría de las aplicaciones se\(\mu\) puede tomar como la permeabilidad del espacio libre,\(\mu_o\).