7.2: Ecuaciones de Maxwell dependientes del tiempo

Comienza desde las ecuaciones de Maxwell en la forma

\ [\ begin {align} &\ operatorname {curl} (\ vec {\ text {E}}) =-\ frac {\ parcial\ vec {\ texto {B}}} {\ parcial\ texto {t}},\ label {7.1}\\ &\ nombreoperador {div} (\ vec {\ texto {B}}) =0,\ nonumber\ &\ nombreoperador {curl} (\ vec {\ texto {B}}) =\ mu_ {0}\ vec {\ texto {J}} _ {T} +\ mu_ {0}\ épsilon_ {0}\ frac {\ parcial\ vec {\ texto {E}}} {\ parcial \ text {t}},\ nonumber\\ &
\ nombreoperador {div} (\ vec {\ texto {E}}) =\ frac {1} {\ epsilon_ {0}}\ rho_ {T},\ nonumber\ end {align}\]

donde

\[\rho_{T}=\rho_{f}-\operatorname{div}(\vec{\text{P}}) , \label{7.2}\]

y

\[\vec{\text{J}}_{T}=\vec{\text{J}}_{f}+\operatorname{curl}(\vec{\text{M}})+\frac{\partial \vec{\text{P}}}{\partial \text{t}} . \label{7.3}\]

Recordemos que ρ _f es la densidad de cargas libres,\(\vec{\text{J}}_{f}\) es la densidad de corriente libre debida al movimiento de las cargas libres,\(\vec P\) es la densidad de momento dipolo eléctrico, y\(\vec M\) es la densidad de dipolo magnético. Se presume que la densidad de carga total, ρ _T, y la densidad de corriente total\(\vec{\text{J}}_{T}\), son funciones prescritas de posición y de tiempo. La ecuación div (\(\vec B\)) = 0 se puede satisfacer estableciendo

\[\vec{\text{B}}=\operatorname{curl}(\vec{\text{A}}). \label{7.4}\]

porque la divergencia de cualquier rizo es igual a cero. La primera de las Ecuaciones (\ ref {7.1}) se convierte, con la ayuda de la Ecuación (\ ref {7.4}),

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{E}})=-\frac{\partial}{\partial \text{t}} \operatorname{curl}(\vec{\text{A}})=-\operatorname{curl}\left(\frac{\partial \vec{\text{A}}}{\partial \text{t}}\right), \nonumber \]

donde se ha supuesto que el orden de las derivadas del espacio y del tiempo puede ser intercambiado. De ello se deduce que la curva de la suma del campo eléctrico y la derivada temporal del potencial vectorial es cero,

\[\operatorname{curl}\left(\vec{\text{E}}+\frac{\partial \vec{\text{A}}}{\partial \text{t}}\right)=0 . \label{7.5}\]

El curl de cualquier gradiente es cero para que el requisito Ecuación (\ ref {7.5}) pueda satisfacerse poniendo

\[\vec{\text{E}}+\frac{\partial \vec{\text{A}}}{\partial \text{t}}=-\operatorname{grad} \text{V}, \nonumber \]

o

\[\vec{\text{E}}=-\operatorname{\vec{\text{grad}}} \text{V}-\frac{\partial \vec{\text{A}}}{\partial \text{t}} . \label{7.6} \]

La introducción del potencial vectorial\(\vec A\), y el potencial escalar\(\vec V\), permite satisfacer las dos primeras ecuaciones de Maxwell (\ ref {7.1}). Escribir\(\vec E\) y\(\vec B\) en términos de los potenciales en el segundo par de ecuaciones de Maxwell para obtener

\[\operatorname{curl} \operatorname{curl}(\vec{\text{A}})=\mu_{0} \vec{\text{J}}_{T}+\epsilon_{0} \mu_{0}\left(-\operatorname{\vec{\text{grad}}} \frac{\partial \text{V}}{\partial \text{t}}-\frac{\partial^{2} \vec{\text{A}}}{\partial \text{t}^{2}}\right) , \nonumber \]

y

\[-\operatorname{div} \operatorname{\vec{\text{grad}}}\text{V}-\frac{\partial}{\partial \text{t}} \operatorname{div}(\vec{\text{A}})=\frac{\rho_{T}}{\epsilon_{0}} . \nonumber \]

En coordenadas cartesianas, pero solo en coordenadas cartesianas, se puede escribir el operador vectorial curl curl

\[curl curl=-\nabla^{2}+ \operatorname{\vec{\text{grad}}} div. \label{7.7}\]

Usando la ecuación (\ ref {7.7}) se obtiene

\[-\nabla^{2} \vec{\text{A}}+\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \vec{\text{A}}}{\partial \text{t}^{2}}+\operatorname{\vec{\text{grad}}}\left(\operatorname{div}(\vec{\text{A}})+\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial \text{V}}{\partial \text{t}}\right)=\mu_{0} \vec{\text{J}}_{T} . \label{7.8}\]

Para especificar completamente un campo vectorial se debe dar tanto su rizo como su divergencia. Pero en este punto sólo el rizo de\(\vec A\) ha sido fijado por el requisito que\(\vec B\) = curl (\(\vec A\)); uno todavía es libre de imponer alguna restricción a la divergencia de\(\vec A\). Es conveniente elegir el potencial vectorial para que satisfaga la condición

\[ \operatorname{div}(\vec{\text{A}})+\epsilon_{0} \mu_{0}\left(\frac{\partial \text{V}}{\partial \text{t}}\right)=0. \label{7.9}\]

Esta elección de div (\(\vec A\)) se llama calibre Lorentz. En el medidor de Lorentz, la ecuación (\ ref {7.8}) simplifica para convertirse

\[\nabla^{2} \vec{\text{A}}-\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \vec{\text{A}}}{\partial \text{t}^{2}}=-\mu_{0} \vec{\text{J}}_{T} , \label{7.10} \]

o en forma de componente

\[ \begin{array}{l} &\nabla^{2} \text{A}_{\text{x}}-\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \text{A}_{\text{x}}}{\partial \text{t}^{2}}=-\left.\mu_{0} \text{J}_{\text{T}}\right|_{x}, \label{7.11} \\& \nabla^{2} \text{A}_{\text{y}}-\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \text{A}_{\text{y}}}{\partial \text{t}^{2}}=-\left.\mu_{0} \text{J}_{\text{T}}\right|_{y}, \\& \nabla^{2} \text{A}_{\text{z}}-\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \text{A}_{\text{z}}}{\partial \text{t}^{2}}=-\left.\mu_{0} \text{J}_{\text{T}}\right|_{z}, \end{array} \]

Del mismo modo, si la última de las Ecuaciones de Maxwell (\ ref {7.1}) se combina con la Ecuación (\ ref {7.6}) y con la condición Lorentz (\ ref {7.9}) se encuentra

\[\nabla^{2} \text{V}-\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \text{V}}{\partial \text{t}^{2}}=-\frac{\rho_{T}}{\epsilon_{0}} . \label{7.12}\]

Obviamente, las cuatro ecuaciones (\ ref {7.11} más\ ref {7.12}) son muy similares y la forma de una solución que satisfaga a una de ellas también debe satisfacer a las otras tres. (El hecho de que A _x, A _y, A _z, V satisfagan ecuaciones de la misma forma no es casual: según la teoría especial de la relatividad estas cuatro cantidades están relacionadas con los cuatro componentes de un solo vector en espacio-tiempo de cuatro dimensiones). Considerar la ecuación homogénea

\[\nabla^{2} \text{V}-\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \text{V}}{\partial \text{t}^{2}}=0 ; \nonumber \]

o, ya que c ² = 1/ (\(\epsilon\)₀ µ ₀),

\[\nabla^{2} \text{V}-\frac{1}{\text{c}^{2}} \frac{\partial^{2} \text{V}}{\partial \text{t}^{2}}=0. \label{7.13}\]

Esta ecuación se llama la ecuación de onda. Una solución esféricamente simétrica que satisface la ecuación de onda es

\[\text{V}=\frac{\text{f}(\text{t}-[\text{r} / \text{c}])}{\text{r}} . \label{7.14}\]

donde f (x) es cualquier función. Es instructivo sustituir la función (\ ref {7.14}) en la ecuación de onda. Dado que la función no depende de ninguna de las coordenadas angulares, θ o\(\phi\), el operador Laplaciano se convierte en

\[\nabla^{2} \text{V}=\frac{1}{\text{r}^{2}} \frac{\partial}{\partial \text{r}}\left(\text{r}^{2} \frac{\partial \text{V}}{\partial \text{r}}\right) . \nonumber \]

Insertando la función (7.14) se obtiene

\[\frac{\partial \text{V}}{\partial \text{r}}=-\frac{f}{\text{r}^{2}}-\frac{\dot{\text{f}}}{\text{cr}} , \nonumber \]

desde

\[\frac{\partial \text{f}}{\partial \text{r}}=\left(\frac{\partial \text{f}}{\partial \text{t}}\right)\left(\frac{\partial}{\partial \text{r}}\left[\text{t}-\frac{\text{r}}{\text{c}}\right]\right)=-\frac{\dot{\text{f}}}{\text{c}} . \nonumber \]

Por lo tanto

\[r^{2} \frac{\partial V}{\partial r}=-f-\frac{r \dot{f}}{c} , \nonumber \]

y

\[\frac{\partial}{\partial \text{r}}\left(\text{r}^{2} \frac{\partial \text{V}}{\partial \text{r}}\right)=-\frac{\partial \text{f}}{\partial \text{r}}-\frac{\dot{\text{f}}}{\text{c}}+\frac{\text{r} \ddot{\text{f}}}{\text{c}^{2}}=\frac{\text{r} \ddot{\text{f}}}{\text{c}^{2}} , \nonumber \]

por lo tanto

\[\nabla^{2} \text{V}=\frac{\ddot{\text{f}}}{\text{rc}^{2}} . \nonumber \]

Pero

\[\frac{\partial^{2} V}{\partial t^{2}}=\frac{\ddot{f}}{r c^{2}} ,\nonumber \]

y por lo tanto la ecuación de onda (\ ref {7.13}) es satisfecha por una función potencial de la forma Ecuación (\ ref {7.14}) donde f (x) es una función arbitraria de su argumento, x. Aparte de la aparición del tiempo retardado, t _R = t − r/c, la forma de Ecuación (\ ref {7.14}) es muy similar al potencial función para una carga puntual. Por lo tanto, es natural suponer que la función potencial que se genera por una carga puntual variable en el tiempo q (t) ubicada en el origen viene dada por

\[\text{V}(\text{r}, \text{t})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\text{q}(\text{t}-\text{r} / \text{c})}{\text{r}}, \label{7.15}\]

donde se debe utilizar el valor de la carga en el tiempo retardado para calcular el potencial en el momento de la observación, t: el tiempo retardado debe utilizarse para permitir el tiempo finito requerido para propagar una señal de la carga al observador a la velocidad de la luz. La noción de carga dependiente del tiempo es inusual: piense en un volumen minúsculo en el origen hacia el que la carga puede fluir con el tiempo. Entonces la función potencial (\ ref {7.15}) describe la contribución al potencial en la posición del observador debido a la carga en ese pequeño elemento de volumen en el origen. La función potencial (\ ref {7.15}) va

Figura\(\PageIndex{1}\): Una densidad de carga de fuente dependiente del espacio\(\rho(\vec{\text{r}}, \text{t})\) y el tiempo y una densidad de corriente fuente dependiente del espacio y el tiempo\(\vec{\text{J}}_{T}(\vec{\text{r}}, \text{t})\) generan campos eléctricos y magnéticos dependientes del tiempo en la posición P de un observador.

sobre el potencial electrostático para una carga puntual si el observador está tan cerca del origen que (r/c) puede descuidarse, o si la carga q es independiente del tiempo.

La solución elemental (\ ref {7.15}) de la ecuación de onda se puede utilizar, junto con el principio de superposición, para construir una solución particular de la ecuación de onda dada una distribución de densidad de carga variable en el espacio y el tiempo (ver Figura (7.2.1)):

\[\text{V}(\vec{\text{R}}, \text{t})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \int \int_{S p a c e} \text{d} \tau \frac{\rho_{T}\left(\vec{\text{r}}, \text{t}_{\text{R}}\right)}{|\vec{\text{R}}-\vec{\text{r}}|} , \label{7.16}\]

donde d\(\tau\) es el elemento de volumen y el tiempo retardado viene dado por

\[\text{t}_{\text{R}}=\text{t}-\frac{|\vec{\text{R}}-\vec{\text{r}}|}{\text{c}} , \label{7.17}\]

Puede ser útil escribir la Ecuación (\ ref {7.16}) explícitamente en coordenadas cartesianas (ver Figura (7.2.1):

\[\text{V}_{\text{P}}(\text{X}, \text{Y}, \text{Z}, \text{t})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \int \int_{S p a \alpha e} \operatorname{dxdydz} \frac{\rho_{T}\left(\text{x}, \text{y}, \text{z}, \text{t}_{\text{R}}\right)}{\sqrt{(\text{X}-\text{x})^{2}+(\text{Y}-\text{y})^{2}+(\text{Z}-\text{z})^{2}}} , \nonumber \]

donde

\[\text{t}_{\text{R}}=\text{t}-\frac{\sqrt{(\text{X}-\text{x})^{2}+(\text{Y}-\text{y})^{2}+(\text{Z}-\text{z})^{2}}}{\text{c}}, \nonumber \]

Si la Ecuación (\ ref {7.16}) es la solución requerida de la ecuación de onda no homogénea (\ ref {7.12}) para la función potencial\(\text{V}(\vec{\text{R}}, \text{t})\), entonces por analogía la solución de cada una de las tres Ecuaciones (\ ref {7.11}) debe tener la misma forma. La solución particular para el potencial vectorial que se genera por la densidad de corriente\(\vec{\text{J}}_{T}(\vec{\text{r}}, t)\) viene dada por

\[\vec{\text{A}}(\vec{\text{R}}, \text{t})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \int \int_{S p a c e} \text{d} \tau \frac{\vec{\text{J}}_{T}\left(\vec{\text{r}}, \text{t}_{\text{R}}\right)}{|\vec{\text{R}}-\vec{\text{r}}|} . \label{7.18}\]

Aquí de nuevo t _R es el tiempo retardado. Estas soluciones, que satisfacen las ecuaciones de Maxwell para el caso en que las distribuciones de carga y corriente dependen del tiempo, tienen exactamente la misma forma que la solución para el potencial electrostático, Ecuación (2.2.4), y la solución para el potencial de vector magnetostático, Ecuación (4.1.13), excepto que el tiempo retardado debe ser utilizado en los términos fuente. La presencia del tiempo retardado en las integrales hace que el cálculo de los potenciales escalar y vectoriales sea mucho más complicado que los cálculos equivalentes para el límite estático. Se puede demostrar, después de mucho trabajo, que las funciones potenciales (\ ref {7.16}) y (\ ref {7.18}) satisfacen la condición Lorentz, Ecuación (\ ref {7.9}).