7.3: Una antena de radio simple

Véase (Teoría electromagnética de J.A.Stratton, McGraw-Hill, N.Y., 1941. Sección 8.7 y lo siguiente).

Considere una antena lineal alimentada por el centro como la representada en la Figura (7.3.2). Para aplicar la Ecuación (7.2.18) a una antena de longitud finita es necesario conocer la distribución de corriente a lo largo del cable. Una solución exacta de este problema es muy difícil. Una aproximación útil supone que la distribución de corriente a lo largo de la antena es sinusoidal si la variación de tiempo de la corriente es sinusoidal. Para un cable delgado la corriente debe ser cero en los extremos del cable ya que no hay lugar para almacenar carga. En otros lugares a lo largo del cable, la carga puede almacenarse en las superficies del cable y, por lo tanto, la corriente no necesita ser la misma en cada sección transversal. Se supone que la antena es accionada por un generador sinusoidal a la frecuencia circular ω. Una onda de corriente se propaga a lo largo del cable, que puede considerarse como una línea de transmisión, y se refleja desde los extremos abiertos del cable. La distribución de corriente resultante es una sinusoidal

Figura\(\PageIndex{2}\): Una antena de radio lineal alimentada por el centro. La corriente forma una onda estacionaria con nodos en los extremos del cable.

onda estacionaria a lo largo del cable que tiene corriente cero en los extremos del cable en z = ±L. una distribución de corriente de este tipo puede ser descrita por

\[\begin{array}{l} &\text{I}(\text{z}, \text{t})=\text{I}_{0} \exp (-i \omega \text{t}) \sin \frac{\omega}{\text{c}}(\text{L}-\text{z}), \quad \text{z} \geq 0 \label{7.19} \\& \text{I}(\text{z}, \text{t})=\text{I}_{0} \exp (-i \omega \text{t}) \sin \frac{\omega}{\text{c}}(\text{L}+\text{z}), \quad \text{z} \leq 0 \end{array} \]

ver Figura (7.3.2). Utilice esta distribución de corriente en la Ecuación (7.2.18) para calcular el potencial vectorial. Las corrientes fluyen solo en la dirección z, por lo que el potencial vectorial solo tendrá un componente z. Además, se supone que solo nos interesarán aquellos campos que están muy alejados de la antena: esto quiere decir que para un observador a distancia R de la antena asumiremos que R ≫ L, λ donde la longitud de la antena es 2L y λ es la longitud de onda de los campos eléctricos y magnéticos producidos por el antena donde λ = c/f, y ω = 2\(\pi\) f donde f es la frecuencia. Se supone que el cable de la antena es muy delgado de modo que cada punto en una sección transversal en z se puede considerar que está a la misma distancia del observador. Esto significa que en la integral de (7.2.18) la integral de densidad de corriente sobre x, y simplemente da la corriente total en ese lugar a lo largo del cable. Eqn. (7.2.18) puede ser escrito

\[\text{A}_{\text{z}}(\text{X}, \text{Y}, \text{Z}, \text{t})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{-\text{L}}^{\text{L}} \text{d} \text{z} \frac{\text{I}_{\text{z}}\left(\text{z}, \text{t}_{\text{R}}\right)}{\text{r}}, \nonumber \]

donde I _z viene dado por (\ ref {7.19}), t _R = t - r/c, y

\[r^{2}=X^{2}+Y^{2}+(Z-z)^{2}. \nonumber \]

Desde | z |< L y R ≫ L se puede usar el teorema binomial para expandir r en potencias de (z/R):

\[\text{r}=\text{R}\left[1-\frac{2 \text{Zz}}{\text{R}^{2}}+\left(\frac{\text{z}}{\text{R}}\right)^{2}\right]^{1 / 2} , \nonumber \]

o

\[\text{r} \cong \text{R}-\frac{\text{Zz}}{\text{R}} , \nonumber \]

descuidando términos de orden (z/R) ² o superior. Así, la distancia al observador desde un punto z en la antena viene dada por

\[\text{r}=\text{R}-\text{z} \cos \theta , \nonumber \]

donde θ es el ángulo entre la dirección de\(\vec R\) y la antena, ver Figura (7.3.2). Por lo tanto, se puede escribir el potencial vectorial

\[\text{A}_{z}(\text{R}, \theta, \text{t})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{-\text{L}}^{0} \text{dz} \frac{\text{I}_{0} \sin \left[\frac{\omega}{\text{c}}(\text{L}+\text{z})\right]}{[\text{R}-\text{z} \cos \theta]} \exp (-i \omega \text{t}) \exp \left(\frac{i \omega}{\text{c}}[\text{R}-\text{z} \cos \theta]\right)+\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{0}^{L} \text{d} z \frac{\text{I}_{0} \sin \left[\frac{\omega}{c}(\text{L}-\text{z})\right]}{[\text{R}-\text{z} \cos \theta]} \exp (-i \omega \text{t}) \exp \left(\frac{i \omega}{\text{c}}[\text{R}-\text{z} \cos \theta]\right). \label{7.20}\]

Esta expresión de apariencia bastante formidable puede simplificarse si uno nota que z cos θ en el denominador puede descuidarse en comparación con la distancia R desde RL. Por otro lado, el término (ωz cos θ/c) en los exponenciales no se puede descuidar porque L suele ser comparable con λ y (ωz/c) = 2\(\pi\) z/λ . Con la simplificación anterior tenemos

\[\text{A}_{z}(\text{R}, \theta, \text{t})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\text{I}_{0} \exp (-i \omega[\text{t}-\text{R} / \text{c}])}{\text{R}}\left[\text{I}_{1}+\text{I}_{2}\right], \label{7.21}\]

donde

\[\text{I}_{1}=\int_{-\text{L}}^{0} \text{dz} \sin \left[\frac{\omega}{\text{c}}(\text{L}+\text{z})\right] \exp \left(-i \frac{\omega}{\text{c}} \text{z} \cos \theta\right) \nonumber \]

y

\[\text{I}_{2}=\int_{0}^{\text{L}} \text{dz} \sin \left[\frac{\omega}{\text{c}}(\text{L}-\text{z})\right] \exp \left(-i \frac{\omega}{\text{c}} \text{z} \cos \theta\right). \nonumber \]

Las integrales son desordenadas pero se pueden llevar a cabo fácilmente. El resultado es

\[\text{F}(\theta)=\text{I}_{1}+\text{I}_{2}=\frac{2}{\frac{\omega}{c} \sin ^{2} \theta}\left[\cos \left(\frac{\omega \text{L} \cos \theta}{\text{c}}\right)-\cos \left(\frac{\omega \text{L}}{\text{c}}\right)\right]. \label{7.22}\]

El siguiente paso utiliza (\ ref {7.21}) para calcular el campo B a partir de\(\vec{\text{B}}=\operatorname{curl}(\vec{\text{A}})\). Para ello es conveniente trabajar en coordenadas polares esféricas:

\ [\ begin {array} {c}
\ texto {A} _ {\ texto {R}} =\ texto {A} _ {\ texto {z}}\ cos\ theta\
\ texto {A} _ {\ theta} =-\ texto {A} _ {\ texto {z}}\ sin\ theta\
\ texto {A} _ {\ phi} =0\ nonumber
\ fin {matriz}\]

Pero como A _\(\phi\)= 0 y no hay dependencia angular del ángulo\(\phi\), se deduce que

\[\text{B}_{\text{R}}=\text{B}_{\theta}=0 , \nonumber\]

y

\[\text{B}_{\phi}=\frac{1}{\text{R}}\left[\frac{\partial}{\partial \text{R}}\left(\text{RA}_{\theta}\right)-\frac{\partial \text{A}_{\text{R}}}{\partial \theta}\right] , \nonumber \]

o

\[\text{B}_{\phi}=-i \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \text{I}_{0} \frac{\omega}{\text{c}} \frac{\exp (-i \omega[\text{t}-\text{R} / \text{c}])}{\text{R}} \sin \theta \text{F}(\theta)-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \text{I}_{0} \frac{\omega}{\text{c}} \frac{\exp (-i \omega[\text{t}-\text{R} / \text{c}])}{\text{R}^{2}}\left[-\sin \theta \text{F}(\theta)+\cos \theta \frac{\text{d} \text{F}}{\text{d} \theta}\right] \label{7.23} \]

Este campo contiene dos términos. El primer término disminuye con la distancia al observador como (λR) ⁻¹. El segundo término disminuye con la distancia como R ⁻². Esto significa que para la condición R≫ λ se puede ignorar el segundo término porque se vuelve muy pequeño en relación con el primer término. Entonces, en el campo lejano de la antena (R ≫ λ) uno encuentra

\[\text{B}_{\phi}=-i \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \text{I}_{0} \frac{\omega}{\text{c}} \frac{\exp (-i \omega[\text{t}-\text{R} / \text{c}])}{\text{R}} \sin \theta \text{F}(\theta) , \label{7.24}\]

y

\[\text{B}_{\theta}=\text{B}_{R}=0 . \nonumber \]

El campo eléctrico se puede obtener más fácilmente de B por medio de la tercera ecuación de Maxwell (7.2.11.). En el espacio libre\(\vec{\text{J}}_{T}=0\) para que

\[\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\operatorname{curl}(\vec{B}) , \nonumber \]

o, dado que la variación de tiempo es proporcional a exp (−iωt),

\[-i \frac{\omega}{\text{c}^{2}} \vec{\text{E}}=\operatorname{curl}(\vec{\text{B}}) . \label{7.25}\]

Los componentes del campo eléctrico calculados a partir de la Ecuación (\ ref {7.25}) son:

\[ \begin{align} & -i \frac{\omega}{\text{c}^{2}} \text{E}_{\text{R}} =\frac{1}{\text{R} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \text{B}_{\phi}\right) \label{7.26} \\& -i \frac{\omega}{\text{c}^{2}} \text{E}_{\theta} =-\frac{1}{\text{R}} \frac{\partial}{\partial \text{R}}\left(\text{RB}_{\phi}\right) \nonumber \\&\text{E}_{\phi} =0 \nonumber \end{align}\]

Observe que el componente E _R varía con la distancia como 1/R ², mientras que el componente E _θ varía con la distancia como 1/R. para distancias tales que R ≫ λ el componente E _R se vuelve muy pequeño en comparación con E _θ y puede ignorarse. Así, en el campo lejano el límite\(\vec E\) tiene solo el componente E _θ y solo\(\vec B\) tiene el componente _\(\phi\)B. Observe que\(\vec E\) y\(\vec B\) son ortogonales entre sí y ambos son ortogonales a la línea que une al observador al centro de la antena. También tenga en cuenta que de la ecuación (\ ref {7.26})

\[\text{E}_{\theta}=\text{c} \text{B}_{\phi} , \label{7.27}\]

independiente del ángulo de observación.

En el límite de ángulos pequeños, θ, el factor sin θF (θ) en la Ecuación (\ ref {7.24}) simplifica a\(2 \text{L} \theta \sin \left(\frac{\omega \text{L}}{\text{c}}\right)\). Esto significa que en el límite θ → 0 las amplitudes de campo caen a cero a medida que el observador se alinea con la antena (θ se define en la Figura (7.3.2)). Por otro lado, para un observador en el plano X-Y θ =\(\phi\) /2 y

\[\sin \theta \text{F}(\theta)=\left(\frac{2 \text{c}}{\omega}\right)\left[1-\cos \left(\frac{\omega \text{L}}{\text{c}}\right)\right] . \nonumber \]

Los campos de radiación en el plano ecuatorial son distintos de cero y se vuelven particularmente grandes cuando cos (ΩL/c) = 0 o -1. Se dice que una antena de este tipo es resonante. La condición ΩL/c =\(\pi\) /2 corresponde a la antena de media onda comúnmente utilizada para la cual L = λ/4, donde λ es la longitud de onda del espacio libre 2\(\pi\) c/ω. Para tal antena de media onda, la dependencia angular de los campos de radiación se convierte en

\[\sin \theta \text{F}(\theta)=\frac{(2 \text{c} / \omega) \cos (\pi \cos \theta / 2)}{\sin \theta} . \label{7.28}\]

A pesar de su aspecto más complicado, esta función es muy similar a la variación angular sin θ que caracteriza a un radiador dipolo eléctrico puntual, como veremos en la siguiente sección.

La presente sección ha demostrado cómo se puede calcular la intensidad de una señal de radio generada por una antena lineal típica. También demuestra que los campos relativamente complejos son consecuencia de la presencia del tiempo retardado en la fórmula relativamente simple para el potencial vectorial, Ecuación (7.2.18).