7.6: Una carga de punto móvil en vacío

La densidad de carga correspondiente a una carga puntual es una distribución singular que se puede escribir

\[\rho_{\text{f}}(\vec{\text{r}}, \text{t})=\text{q} \delta\left(\vec{\text{r}}-\vec{\text{r}}_{0}(\text{t})\right), \label{7.38}\]

donde\(\delta(\vec{\text{r}}\)) es la función delta Dirac introducida en los Capítulos (2) y (4), y\(\vec{\text{r}}_{0}(\text{t})\) describe la variación temporal de la posición de la partícula. Se supone que la función delta es cero para todos los valores de su argumento excepto cuando el argumento es igual a cero; en ese punto la función se vuelve infinitamente grande pero de tal manera que su integral es la unidad. La\(\delta\) función 1-dimensional puede pensarse como el límite como\(\epsilon\) → 0 de una forma rectangular muy delgada que es\(\epsilon\) ancha y que tiene una amplitud 1/\(\epsilon\). La\(\delta\) función tridimensional puede ser concebida como el producto de tres\(\delta\) funciones 1-dimensionales. La función potencial que se genera por la distribución (\ ref {7.38}) se puede escribir usando la ecuación (7.2.16):

\[\text{V}(\vec{\text{R}}, \text{t})=\frac{\text{q}}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \int \int_{S p a c e} \text{d} \tau \frac{\delta\left[\vec{\text{r}}-\vec{\text{r}}_{0}\left(\text{t}_{\text{R}}\right)\right]}{|\vec{\text{R}}-\vec{\text{r}}|}. \label{7.39}\]

El integrand está muy agudamente alcanzó su punto máximo cuando\(\vec{\text{r}}=\vec{\text{r}}_{0}\left(\text{t}_{\text{R}}\right)\) así es muy tentador concluir que

\[\text{V}(\vec{\text{R}}, \text{t})=\frac{\text{q}}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{\left|\vec{\text{R}}-\vec{\text{r}}_{0}\left(\text{t}_{\text{R}}\right)\right|}. \nonumber \]

Esta ecuación es INCORRECTA, porque ignora la dependencia de posición del tiempo retardado que aparece en el argumento de la\(\delta\) función −. En

Figura\(\PageIndex{i}\): Una pequeña gota de carga que se mueve a lo largo del eje x con una velocidad vx. La contribución al potencial en P en el momento de la observación, t, proviene de la posición de la partícula en el tiempo retardado t _R = t − r ₀ /c.

para entender esto, supongamos por simplicidad que se elige un sistema de coordenadas para que en el momento retardado la partícula se mueva a lo largo del eje x, es decir, y _{0 = z 0} = ₀ e y, z no están cambiando con el tiempo debido a que la velocidad de la partícula se dirige a lo largo de x (ver Figura (7.6.4)). La integral de la ecuación (\ ref {7.39}) se puede escribir explícitamente en coordenadas cartesianas: el resultado es

\[\text{V}(\text{X}, \text{Y}, \text{Z}, \text{t})=\frac{\text{q}}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \int \int_{-\infty}^{+\infty} \text{d} \text{xdydz} \frac{\delta\left[\text{x}-\text{x}_{0}\left(\text{t}_{\text{R}}\right)\right] \delta[\text{y}] \delta[\text{z}]}{\sqrt{(\text{X}-\text{x})^{2}+(\text{Y}-\text{y})^{2}+(\text{Z}-\text{z})^{2}}}. \nonumber\]

Las integraciones sobre y, z son solo integraciones ordinarias sobre\(\delta\) −functions que pueden llevarse a cabo a la vez usando

\[\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{du} \text{f}(\text{u}) \delta(\text{u})=\text{f}(0). \nonumber \]

Esto deja que se lleve a cabo la integración sobre x;

\[\text{V}(\text{X}, \text{Y}, \text{Z}, \text{t})=\frac{\text{q}}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{-\infty}^{+\infty} \text{d} \text{x} \frac{\delta\left[\text{x}-\text{x}_{0}\left(\text{t}_{\text{R}}\right)\right]}{\sqrt{(\text{X}-\text{x})^{2}+\text{Y}^{2}+\text{Z}^{2}}}. \label{7.40}\]

Para convertir (\ ref {7.40}) en una integración ordinaria sobre una\(\delta\) función −es necesario cambiar variables para deshacerse de la variación espacial que está contenida en el tiempo retardado, t _R. Introducir la nueva variable

\[\text{u}=\text{x}-\text{x}_{0}\left(\text{t}_{\text{R}}\right). \nonumber \]

Entonces

\[\text{du}=\text{dx}-\dot{\text{x}}_{0}\left(\frac{\partial \text{t}_{\text{R}}}{\partial \text{x}}\right) \text{dx}, \nonumber \]

donde

\[\text{t}_{\text{R}}=t-\frac{\sqrt{(\text{X}-\text{x})^{2}+\text{Y}^{2}+\text{Z}^{2}}}{\text{c}}, \nonumber \]

para que

\[\frac{\partial \text{t}_{\text{R}}}{\partial \text{x}}=\frac{(\text{X}-\text{x})}{\text{c} \sqrt{(\text{X}-\text{x})^{2}+\text{Y}^{2}+\text{Z}^{2}}}. \nonumber \]

Finalmente se obtiene para el diferencial du la expresión

\[\text{du}=\text{dx}\left(1-\frac{\dot{\text{x}}_{0}(\text{X}-\text{x})}{\text{c} \sqrt{(\text{X}-\text{x})^{2}+\text{Y}^{2}+\text{Z}^{2}}}\right), \nonumber \]

y la integral (\ ref {7.40}) se convierte en

\[\text{V}(\text{X}, \text{Y}, \text{Z}, \text{t})=\frac{\text{q}}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{-\infty}^{+\infty} \text{du} \frac{\delta(\text{u})}{\left(\sqrt{(\text{X}-\text{x})^{2}+\text{Y}^{2}+\text{Z}^{2}}-\frac{\dot{x_{0}}(\text{x}-\text{x})}{\text{c}}\right)}. \nonumber \]

La expresión para la función potencial se ha transformado en una integración\(\delta\) −function que puede llevarse a cabo inmediatamente para dar

\[\text{V}(\text{X}, \text{Y}, \text{Z}, \text{t})=\frac{\text{q}}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{1}{\sqrt{\left(\text{X}-\text{x}_{0}\right)^{2}+\text{Y}^{2}+\text{Z}^{2}}-\frac{\dot{x_{0}}\left(\text{X}-\text{x}_{0}\right)}{\text{c}}}\right)_{\text{t}_{\text{R}}}, \label{7.41} \]

ya que para u=0 x=x ₀ (t _R). El resultado, Ecuación (\ ref {7.41}), se puede escribir en una forma más general y compacta usando notación vectorial:

\[\text{V}(\vec{\text{R}}, t)=\frac{\text{q}}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{1}{\left|\vec{\text{r}}_{0}\right|-\frac{\vec{v} \cdot \vec{r}_{0}}{c}}\right)_{t-r_{0} / \text{c}} , \label{7.42}\]

donde\(\vec{\text{r}}_{0}=(\vec{\text{R}}-\vec{\text{r}})\) es el vector que especifica la posición de la partícula en el tiempo retardado relativo al punto de observación en el tiempo t, P (X, Y, Z, t) (ver Figura (7.4)), y\(\vec v\) es la velocidad de la partícula en el tiempo retardado.

Feynman (loc.cit. sección 21-5) ha dado una descripción muy física de por qué el potencial retardado contiene el complicado denominador de la Ecuación (\ ref {7.42}) en lugar de simplemente la distancia retardada | r ₀ |. Explica cómo la integración volumétrica de (\ ref {7.39}) para el potencial debe tomar explícitamente en cuenta que la contribución al potencial en un tiempo fijo de observación proviene de diferentes tiempos retardados para diferentes puntos en la distribución de carga.

Exactamente los mismos argumentos se aplican al cálculo del potencial vectorial para una carga de punto móvil a partir de la Ecuación (7.2.18). La densidad de corriente para una carga puntual que se mueve con una velocidad\(\vec v\) viene dada por

\[\vec{\text{J}}(\vec{\text{r}}, t)=\text{q} \vec{\text{v}} \delta\left(\vec{\text{r}}-\vec{\text{r}}_{0}(\text{t})\right), \nonumber \]

donde se\(\vec{\text{r}}_{0}(\text{t})\) describe la posición de la partícula en el tiempo t. Al llevar a cabo la integración en la Ecuación (7.2.18) se encuentra que el potencial del vector resultante es

\[\vec{\text{A}}(\vec{\text{R}}, \text{t})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\frac{\text{q} \vec{\text{v}}}{\left|\vec{\text{r}}_{0}\right|-\frac{\vec{v} \cdot \vec{r}_{0}}{\text{c}}}\right)_{\text{t}-\text{r}_{0} / \text{c}}, \label{7.43}\]

donde\(\vec{\text{r}}_{0}\) es el vector dibujado desde la posición de la partícula en el tiempo retardado, t _R, hasta el punto de observación en el tiempo t. Eqns. (\ ref {7.42}) y (\ ref {7.43}) se denominan potenciales Lienard-Wiechert para una carga puntual. Son consistentes con la teoría de la relatividad. Los campos eléctricos y magnéticos generados por una carga de punto móvil, Chpt. (1), Ecuaciones (1.1.9) y (1.1.10), se pueden deducir de ellos por medio de las relaciones

\[\vec{\text{B}}=\operatorname{curl}(\vec{\text{A}}), \nonumber\]

y

\[\vec{\text{E}}=-\vec{\operatorname{grad}}(\text{V})-\frac{\partial \vec{\text{A}}}{\partial \text{t}} . \nonumber\]

En el caso general estos resultan en las ecuaciones bastante complejas de las Ecuaciones (1.1.9) y (1.1.10). Sin embargo, en el límite v/c 1 los campos generados por una carga de punto móvil se pueden obtener de manera relativamente simple a partir del límite de velocidad baja del potencial vectorial. Considera una carga q cerca del origen, at\(\vec{\text{r}}=(0,0, \xi)\), y moviéndose a lo largo del eje z con una velocidad\(v=\dot{\xi}\). En coordenadas polares esféricas se tiene

\ [\ begin {alineado}
\ text {A} _ {\ text {r}} =&\ frac {\ mu_ {0}} {4\ pi}\ frac {\ text {qv}\ cos\ theta} {\ left (\ text {r} -\ frac {\ text {v}\ text {z}} {\ text {c}}\ right)} =\ frac {\ mu_ {0}} {4\ pi}\ frac {\ texto {qv}\ cos\ theta} {\ texto {r}\ izquierda (1-\ frac {\ texto {v}\ cos\ theta} {\ texto {c}}\ derecha)}\
\ texto {A} _ _ {\ theta} &=-\ frac {\ mu_ {0}} {4\ pi}\ frac {\ text {qv}\ sin\ theta} {\ text {r}\ left (1-\ frac {\ text {v}\ cos\ theta} {\ text {c}}\ right)}.
\ end {alineado}\]

Para una partícula que se mueve lentamente, v c, estos se convierten en

\[\text{A}_{\text{r}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\text{qv} \cos \theta}{\text{r}}, \nonumber \]

y

\[\text{A}_{\theta}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\text{qv} \sin \theta}{\text{r}}, \nonumber \]

donde\(\text{A}_{\phi}=0\),\(\text{v}=\dot{\xi}\), y A _r, A _θ deben evaluarse en el tiempo retardado t _R = t − r/c. El campo magnético viene dado por\(\vec{\text{B}}=\operatorname{curl}(\vec{\text{A}})\):

\[\text{B}_{\text{r}}=\text{B}_{\theta}=0, \nonumber \]

y

\[\text{B}_{\phi}=\frac{1}{\text{r}} \frac{\partial}{\partial \text{r}}\left(\text{rA}_{\theta}\right)-\frac{1}{\text{r}} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\text{A}_{\text{r}}\right), \nonumber \]

donde\(\frac{\partial}{\partial \text{r}}\) incluye un término −/ct porque si r cambia por dr, el tiempo retardado cambia por dt _R = −dr/c. Así,

\[\text{B}_{\phi}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \text{q} \sin \theta\left[\frac{\text{v}}{\text{r}^{2}}+\frac{\dot{\text{v}}}{\text{cr}}\right]. \label{7.44}\]

Eqn. (\ ref {7.44}) es solo el campo generado por un dipolo eléctrico puntual en el origen si se escribe\(\text{p}_{\text{z}}=\text{q} \xi\),\(\dot{\text{p}}_{\text{z}}=\text{q} \dot{\xi}\), y\(\ddot{\text{p}}_{z}=\text{q} \ddot{\xi}\); entonces

\[\text{B}_{\phi}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \sin \theta\left[\frac{\dot{\text{p}_{\text{z}}}}{\text{r}^{2}}+\frac{\ddot{\text{p}}_{\text{z}}}{\text{cr}}\right], \label{7.45}\]

ver Ecuación (7.4.2).

El campo eléctrico se puede calcular a partir de

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{B}})=\frac{1}{\text{c}^{2}} \frac{\partial \vec{\text{E}}}{\partial \text{t}}. \nonumber \]

Así

\[\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \text{E}_{\text{r}}}{\partial \text{t}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} 2 \cos \theta\left[\frac{\text{qv}}{\text{r}^{3}}+\frac{\dot{\text{v}}}{\text{cr}^{2}}\right], \nonumber \]

o

\[\frac{\partial \text{E}_{\text{r}}}{\partial \text{t}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} 2 \cos \theta\left[\frac{\dot{\text{p}_{\text{z}}}}{\text{r}^{3}}+\frac{\ddot{\text{p}}_{\text{z}}}{\text{cr}^{2}}\right]. \nonumber \]

Esta última ecuación se puede integrar con respecto al tiempo para obtener

\[\text{E}_{\text{r}}=\text{E}_{0}+\frac{2 \cos \theta}{4 \pi \epsilon_{0}}\left[\frac{\text{p}_{\text{z}}}{\text{r}^{3}}+\frac{\dot{\text{p}}_{\text{z}}}{\text{cr}^{2}}\right], \label{7.46}\]

donde la constante de integración es simplemente el campo estático debido a una carga, q, en el origen,

\[\text{E}_{0}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\text{q}}{\text{r}^{2}}. \nonumber \]

El componente de campo eléctrico radial es el de una carga puntual en el origen más un campo debido a un dipolo puntual en el origen.

El componente transversal del campo eléctrico viene dado por

\[\frac{\partial \text{E}_{\theta}}{\partial \text{t}}=\frac{\sin \theta}{4 \pi \epsilon_{0}}\left[\frac{\dot{\text{p}}_{z}}{\text{r}^{3}}+\frac{\ddot{\text{p}}_{z}}{\text{cr}^{2}}+\frac{\dddot{\text{p}}_{z}}{\text{c}^{2} \text{r}}\right]. \nonumber \]

Esta expresión se puede integrar para dar

\[\text{E}_{\theta}=\frac{\sin \theta}{4 \pi \epsilon_{0}}\left[\frac{\text{p}_{\text{z}}}{\text{r}^{3}}+\frac{\dot{\text{p}}_{\text{z}}}{\text{cr}^{2}}+\frac{\ddot{\text{p}}_{\text{z}}}{\text{c}^{2} \text{r}}\right]. \label{7.47}\]

Para este caso la constante de integración es cero porque en el límite estático la única contribución al θ-componente del campo eléctrico es un término dipolo debido al desplazamiento de la carga desde el origen por la distancia esfumantemente pequeña. Eqn. (\ ref {7.47}) es solo el θ-componente del campo generado por un dipolo eléctrico puntual en el origen, Ecuación (7.4.3). Los términos del campo de radiación, los términos que caen como 1/r, se pueden escribir

\[\text{E}_{\theta}=\frac{\sin \theta}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\text{qa}}{\text{c}^{2} \text{r}}, \nonumber \]

\[\text{cB}_{\phi}=\frac{\sin \theta}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\text{qa}}{\text{c}^{2} \text{r}}, \nonumber \]

donde\(a=\ddot{\xi}\). Estos campos de radiación pueden escribirse de la siguiente manera en términos de coordenadas generales de posición de vectores donde se toma que la partícula esté en el origen:

\[\vec{\text{E}}(\vec{\text{r}}, \text{t})=\left.\frac{\text{q}}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{[\vec{\text{r}} \times \vec{\text{r}} \times \vec{\text{a}}]}{\text{c}^{2} \text{r}^{3}}\right|_{\text{t}_{\text{R}}}\label{7.48}\]

\[\text{c} \vec{\text{B}}(\vec{\text{r}}, \text{t})=\left.\frac{\text{q}}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{|\vec{\text{a}} \times \vec{\text{r}}|}{\text{c}^{2} \text{r}^{2}}\right|_{\text{t}_{\text{R}}}, \nonumber \]

donde\(\vec a\) se evalúa la aceleración en el tiempo retardado t _R = t − r/c.

Eqns. (\ ref {7.48}) son válidos solo para una carga que se mueve lentamente cuya velocidad es mucho menor que la velocidad de la luz en vacío. Estos campos de radiación caen como la primera potencia de la distancia desde el observador hasta la partícula.

Eqns. (\ ref {7.46} y\ ref {7.47}) también se pueden calcular a partir de la fórmula

\[\vec{\text{E}}=-\vec{\operatorname{grad}}(\text{V})-\frac{\partial \vec{\text{A}}}{\partial \text{t}}, \nonumber \]

usando el límite de velocidad baja para el potencial vectorial junto con la expresión para la función potencial, Ecuación (\ ref {7.42}), expandida al orden más bajo en las pequeñas cantidades y\(\dot{\xi} / \text{c}\):

\[\text{V}(\vec{\text{r}}, \text{t})=\frac{\text{q}}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{\text{r}}\left[1+\frac{\xi \cos \theta}{\text{r}}+\frac{\dot{\xi} \cos \theta}{\text{c}}\right]. \nonumber \]