8.2: Teorema de Poynting

Se puede obtener una relación entre el flujo de energía y la energía almacenada en el campo electromagnético a partir de las ecuaciones de Maxwell y la identidad vectorial

\[\operatorname{div}(\vec{\text{E}} \times \vec{\text{H}})=\vec{\text{H}} \cdot \operatorname{curl}(\vec{\text{E}})-\vec{\text{E}} \cdot \operatorname{curl}(\vec{\text{H}}). \label{8.1}\]

Multiplicar la ecuación de Maxwell

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{E}})=-\frac{\partial \vec{\text{B}}}{\partial \text{t}} \nonumber \]

por\(\vec H\), y multiplicar

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\vec{\text{J}}_{f}+\frac{\partial \vec{\text{D}}}{\partial \text{t}} \nonumber \]

por\(\vec E\) y restar para obtener

\[\vec{\text{H}} \cdot \operatorname{curl}(\vec{\text{E}})-\vec{\text{E}} \cdot \operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=-\vec{\text{H}} \cdot \frac{\partial \vec{\text{B}}}{\partial \text{t}}-\vec{\text{J}}_{f} \cdot \vec{\text{E}}-\vec{\text{E}} \cdot \frac{\partial \vec{\text{D}}}{\partial \text{t}}. \label{8.2}\]

Usando la identidad (\ ref {8.1}) esto puede ser reescrito

\[-\operatorname{div}(\vec{\text{E}} \times \vec{\text{H}})=\vec{\text{J}}_{f} \cdot \vec{\text{E}}+\vec{\text{E}} \cdot \frac{\partial \vec{\text{D}}}{\partial \text{t}}+\vec{\text{H}} \cdot \frac{\partial \vec{\text{B}}}{\partial \text{t}} . \nonumber \]

Integrar esta última ecuación sobre un volumen V delimitado por una superficie cerrada S. El volumen integral sobre la divergencia puede convertirse en una integral de superficie por medio del teorema de Gauss:

\[-\int \int \int_{V} d \tau d i v(\vec{E} \times \vec{H})=-\iint_{S} d S(\vec{E} \times \vec{H}) \cdot \hat{u}_{n} , \nonumber \]

donde dS es un elemento de área superficial, y\(\widehat{\text{u}}_{n}\) es un vector unitario normal a dS. Usando el Teorema de Gauss se obtiene

\[-\iint_{\text{S}} \text{dS}(\vec{\text{E}} \times \vec{\text{H}}) \cdot \hat{\text{u}}_{n}=\iiint_{V} \text{d} \tau\left(\vec{\text{J}}_{f} \cdot \vec{\text{E}}+\vec{\text{E}} \cdot \frac{\partial \vec{\text{D}}}{\partial \text{t}}+\vec{\text{H}} \cdot \frac{\partial \vec{\text{B}}}{\partial \text{t}}\right) . \label{8.3}\]

La ecuación (\ ref {8.3}) es la afirmación del teorema de Poynting. Cada término en (\ ref {8.3}) tiene las unidades de una tasa de cambio de densidad energética. La cantidad

\[\vec{\text{S}}=\vec{\text{E}} \times \vec{\text{H}} \label{8.4}\]

se llama vector de Poynting; es una medida de la densidad de momento transportada por el campo electromagnético. La densidad de impulso en el campo viene dada por

\[\vec{\text{g}}=\frac{\vec{\text{S}}}{\text{c}^{2}} ; \nonumber \]

ver las Conferencias Feynman sobre Física, Volumen (II), Capítulo (27); (R.P.Feynman, R.B.Leighton, y M.Sands, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1964).

La integral superficial del vector Poynting\(\vec S\), sobre cualquier superficie cerrada da la velocidad a la que la energía es transportada por el campo electromagnético al volumen limitado por esa superficie. Los tres términos del lado derecho de la Ecuación (\ ref {8.3}) describen cómo se distribuye la energía transportada al volumen.

Estos tres términos son:

\(\text { (1) } \iiint_{V} d \tau\left(\vec{J}_{f} \cdot \vec{E}\right) \nonumber \)

Este término describe la velocidad a la que la energía mecánica en el sistema definido por el volumen V aumenta debido a las fuerzas mecánicas ejercidas sobre las partículas cargadas por el campo eléctrico: describe la conversión de energía eléctrica y magnética en energía cinética y calor. Esto se puede entender considerando la fuerza sobre una partícula cargada

\[\vec{\text{f}}=\text{q}(\vec{\text{E}}+(\vec{\text{v}} \times \vec{\text{B}})) . \nonumber \]

La velocidad a la que el campo electromagnético funciona en la partícula cargada es

\[\frac{\text{dW}}{\text{dt}}=\vec{\text{f}} \cdot \vec{\text{v}} \equiv \text{q} \vec{\text{v}} \cdot \vec{\text{E}} . \label{8.5}\]

(El campo magnético no contribuye al trabajo realizado sobre la partícula porque la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad,\(\vec v\)). Cuando se suman sobre todas las cargas en un elemento de volumen, la Ecuación (\ ref {8.5}) da, por unidad de volumen,\(\vec{\text{J}}_{f} \cdot \vec{\text{E}}\).

\(\text { (2) } \int \int \int_{V} \text{d} \tau\left(\vec{\text{E}} \cdot \frac{\partial \vec{\text{D}}}{\partial \text{t}}\right)\)

Este término da la velocidad a la que la energía almacenada en el campo eléctrico macroscópico aumenta con el tiempo. Su efecto puede ser representado por la tasa de aumento de una densidad de energía W _E:

\[\frac{\partial \text{W}_{\text{E}}}{\partial \text{t}}=\vec{\text{E}} \cdot \frac{\partial \vec{\text{D}}}{\partial \text{t}} . \label{8.6}\]

Observe que este término depende de las propiedades del material porque involucra al vector de polarización a través del vector de desplazamiento\(\vec{\text{D}}=\epsilon_{0} \vec{\text{E}}+\vec{\text{P}}\).

\(\text { (3) } \int \int \int_{V} \text{d} \tau\left(\vec{\text{H}} \cdot \frac{\partial \vec{\text{B}}}{\partial t}\right)\)

Esta integral describe la tasa de incremento de la energía almacenada en el volumen V en forma de energía magnética. Corresponde a una tasa de incremento de una densidad de energía magnética WB:

\[\frac{\partial \text{W}_{\text{B}}}{\partial \text{t}}=\vec{\text{H}} \cdot \frac{\partial \vec{\text{B}}}{\partial \text{t}} .\label{8.7}\]

Observe que este término involucra las propiedades de la materia en el volumen V a través de la presencia de la densidad de magnetización\(\vec M\),, en la definición de\(\vec{\text{H}}=\left(\vec{\text{B}} / \mu_{0}\right)-\vec{\text{M}}\).

Apliquemos el teorema de Poynting, Ecuación (8.3), a una superficie esférica que rodea el radiador dipolo del Capítulo (7). Supongamos que el radio de la esfera, R, es tan grande que solo los campos de radiación tienen una amplitud apreciable en su superficie; recordemos que los campos de radiación caen con una distancia como 1/R (ver Ecuaciones (7.33)), mientras que los demás componentes del campo caen como 1/R ² o 1/R ³. Para el caso de la radiación dipolar en el espacio libre el vector Poynting tiene solamente un componente r ya que\(\vec E\),\(\vec H\) son perpendiculares entre sí y también perpendiculares a la dirección especificada por el vector unitario\(\hat{\text{u}}_{r}=\vec{\text{r}} / \text{r}\). En espacio libre\(\vec{\text{B}}=\mu_{0} \vec{\text{H}}\) y

\[\text{S}_{\text{r}}=\frac{\text{E}_{\theta} \text{B}_{\phi}}{\mu_{0}}=\frac{1}{\text{c} \mu_{0}}\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\right)^{2}\left(\frac{\text{d}^{2} \text{p}_{\text{z}}}{\text{dt}^{2}}\right)_{\text{t}_{\text{R}}}^{2}\left(\frac{\sin ^{2} \theta}{\text{c}^{4} \text{R}^{2}}\right) , \label{8.8}\]

donde como de costumbre t _R = t − r/C es el tiempo retardado. Ahora toma p _z = p ₀ cos (ωt) para que

\[\left(\frac{\text{d}^{2} \text{p}_{z}}{\text{dt}^{2}}\right)_{\text{tr}}=-\omega^{2} \text{p}_{0} \cos \left(\omega \text{t}_{\text{R}}\right), \nonumber \]

y por lo tanto

\[\text{S}_{\text{r}}=\frac{1}{\text{c} \mu_{0}}\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\right)^{2}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{4} \text{p}_{0}^{2} \cos ^{2} \omega(\text{t}-\text{R} / \text{c})\left(\frac{\sin ^{2} \theta}{\text{R}^{2}}\right) . \label{8.9}\]

El valor promediado en el tiempo del término cos ² ω (t − R/c) es 1/2; también c ² =\(1 /\left(\epsilon_{0} \mu_{0}\right)\). Estos se pueden utilizar en (\ ref {8.9}) para obtener la tasa promedio a la que se transporta la energía a través de una superficie que tiene un radio R:

\[<\text{S}_{\text{r}}>=\left(\frac{1}{8 \pi}\right)\left(\frac{\text{c}}{4 \pi \epsilon_{0}}\right)\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{4} \frac{\text{p}_{0}^{2} \sin ^{2} \theta}{\text{R}^{2}} .\label{8.10}\]

Eqn. (\ ref {8.10}) da la distribución angular de la potencia promediada en el tiempo irradiada por un dipolo eléctrico oscilante. La potencia radiada a lo largo de la dirección del dipolo es cero, y la potencia máxima se irradia en el plano perpendicular al dipolo (ver Figura (8.1.1)). La potencia promedio total irradiada por el dipolo se puede obtener integrando (\ ref {8.10}) sobre la superficie de la esfera de radio R:

Figura\(\PageIndex{1}\): El patrón de potencia radiada para un dipolo eléctrico oscilante. No hay energía irradiada a lo largo de la dirección del dipolo,\(\vec p\) o\(\vec m\).

\[\int \int_{Sphere } \text{dS}<\text{S}_{\text{r}}>=\int_{0}^{\pi}<\text{S}_{\text{r}}>2 \pi \text{R}^{2} \sin \theta \text{d} \theta=\frac{\text{c}}{16 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{4} \text{p}_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} \sin ^{3} \theta \text{d} \theta. \nonumber \]

Pero\(\int_{0}^{\pi} \sin ^{3} \theta \text{d} \theta=4 / 3\) para que la potencia promedio total irradiada por el dipolo eléctrico oscilante esté dada por

\[P_{E}=\frac{1}{3} \frac{c}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{\omega}{c}\right)^{4} p_{0}^{2} \quad W a t t s. \label{8.11}\]

La tasa de energía radiada por el dipolo aumenta muy rápidamente con la frecuencia para un momento dipolar fijo, p ₀.

Un cálculo similar da la tasa promedio, P _M, a la que la energía es irradiada por un dipolo magnético oscilante. Los campos lejanos generados por un dipolo magnético oscilante están dados por

\[\text{B}_{\theta}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\frac{\text{d}^{2} \text{m}_{z}}{\text{dt}^{2}}\right)_{\text{t}_{\text{R}}} \frac{\sin \theta}{\text{c}^{2} \text{R}}, \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{2}\): Diagrama esquemático de una antena de media onda, lineal, alimentada por el centro, orientada a lo largo del eje z. La corriente es cero en los extremos de la antena; estas se encuentran en z=-L y en Z=+L.

\[\text{E}_{\phi}=-\text{c B}_{\theta} , \nonumber \]

donde como de costumbre t _R = t − r/C es el tiempo retardado. Para un dipolo magnético cuya amplitud es m ₀ se encuentra

\[\text{P}_{\text{M}}=\frac{\text{c}}{3} \frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{4} \text{m}_{0}^{2} \quad \text { Watts }. \label{8.12}\]