8.3: Potencia Radiada por una Antena Simple
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Los campos de radiación generados por una simple antena lineal alimentada por el centro orientada a lo largo del eje z se pueden escribir
\ [\ begin {array} {l}
\ mathrm {B} _ {\ phi} =\ frac {\ mu_ {0}} {4\ pi}\ mathrm {I} _ {0}\ izquierda (\ frac {\ omega} {\ mathrm {c}}\ derecha)\ cos (\ omega [\ mathrm {t} -\ mathrm {R}/\ mathrm {c}])\ frac {\ sin\ theta\ mathrm {F} (\ theta)} {\ mathrm {R}},\\
\ mathrm {E} _ _ {\ theta} =\ mathrm {cB} _ {\ phi}
\ end {array}, \ label {8.13}\]
donde
\[ \sin \theta \mathrm{F}(\theta)=\frac{2}{\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right) \sin \theta}\left[\cos \left(\frac{\omega \mathrm{L} \cos \theta}{\mathrm{c}}\right)-\cos \left(\frac{\omega \mathrm{L}}{\mathrm{c}}\right)\right], \label{8.14}\]
(ver Capítulo (7) Ecuaciones (7.3.6 y 7.3.4). La antena resonante más simple es aquella para la cual (ΩL/c) =\(\pi\) /2. Se trata de una antena de media onda para la cual 2L = λ/2; es decir, la longitud total de la antena es la mitad de la longitud de onda del espacio libre λ = 2\(\pi\) (c/ω) = 2\(\pi\) /k. Para esta antena de media onda la ecuación (7.3.4) se convierte en
\[\sin \theta \mathrm{F}(\theta)=\frac{2}{\left(\frac{\omega}{c}\right) \sin \theta} \cos \left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right), \label{8.15}\]
y la distribución actual a lo largo de la antena se convierte en
\[\mathrm{I}_{\mathrm{z}}(\mathrm{z})=\mathrm{I}_{0} \sin (\omega \mathrm{t}) \cos \left(\frac{\pi \mathrm{z}}{2 \mathrm{L}}\right), \label{8.16}\]
ver Figura (8.2.2). El vector Poynting es SR = (E θ B φ /µ 0), y dado que\(\vec E\) y\(\vec B\) oscilan en fase el vector de Poynting promediado en el tiempo viene dado por
\[<\mathrm{S}_{\mathrm{R}}>=\frac{\left|\mathrm{E}_{\theta} \| \mathrm{B}_{\phi}\right|}{2 \mu_{0}}, \nonumber \]
donde | E θ | y | B φ | son las amplitudes de campo eléctrico y magnético. Para el caso particular de la antena de media onda se encuentra usando (\ ref {8.15})
\[<\mathrm{S}_{\mathrm{R}}>=\frac{1}{8 \pi^{2}} \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\epsilon_{0}}} \mathrm{I}_{0}^{2} \frac{\cos ^{2}\left(\frac{\pi \cos \theta}{2}\right)}{\mathrm{R}^{2} \sin ^{2} \theta}. \label{8.17}\]
\(\mathrm{Z}_{0}=\sqrt{\mu_{0} / \epsilon_{0}}=120 \pi\)Ohms= 377 Ohmios es la impedancia del espacio libre. La variación con ángulo de la potencia radiada se muestra en la Figura (8.3.3) donde se compara con el patrón simple sin 2 θ característico de un dipolo puntual. La potencia promedio total que pasa a través de una esfera de radio R es independiente de R y viene dada por
\[<\mathrm{P}_{\mathrm{R}}>=2 \pi \mathrm{R}^{2} \int_{0}^{\pi}<\mathrm{S}_{\mathrm{R}}>\sin \theta \mathrm{d} \theta, \nonumber \]
o
\[<\mathrm{P}_{\mathrm{R}}>=30 \mathrm{I}_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \theta \frac{\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)}{\sin \theta}, \nonumber \]
ya que\(\sqrt{\mu_{0} / \epsilon_{0}}=120 \pi \text { Ohms. }\) La integral puede ser evaluada numéricamente. El resultado es
\[<\mathrm{P}_{\mathrm{R}}>=73.13\left(\frac{\mathrm{I}_{0}^{2}}{2}\right) \quad \text { Watts }. \label{8.18}\]
La potencia promedio disipada en una resistencia, R Ohmios, por una corriente sinusoidal que tiene una amplitud I 0 Amps es\(\mathrm{R}\left(\mathrm{I}_{0}^{2} / 2\right)\), por lo tanto la antena de media onda ideal presenta una impedancia a la fuente de alimentación cuya parte real es R A = 73.13 Ohmios. La resistencia R A se llama resistencia a la radiación de la antena. Una antena ideal es aquella para la cual la resistencia óhmica del propio cable de antena es insignificante en comparación con la resistencia a la radiación. La antena también presentará una impedancia inductiva o capacitiva al generador ya que la energía se almacena en los campos eléctricos y magnéticos cercanos. Una antena de media longitud de onda de cable delgado tiene una impedancia Z = 73.1+i42.5 Ohmios; en otras palabras, la impedancia contiene un componente inductivo. Sin embargo, si la antena tiene una longitud de 0.49λ, la impedancia se vuelve puramente resistiva a aproximadamente 73 Ohmios. Se dice que tal antena está sintonizada. La impedancia de entrada de una antena más corta contiene un componente capacitivo; una antena más larga lleva un componente de impedancia inductiva. Así, la impedancia de entrada de una antena dipolo de media onda varía rápidamente con la frecuencia. Para un uso práctico es deseable construir una antena que (1) irradie la mayor parte de su energía hacia un cono relativamente estrecho, y (2) una que tenga una impedancia de entrada que sea relativamente insensible a la frecuencia. Estos requisitos han llevado al desarrollo de una gran variedad de configuraciones de antena. Estos son descritos por John D. Kraus en” Antenas”, McGraw-Hill, Nueva York, 1988.
Una antena puede, por supuesto, también ser utilizada para detectar la transmisión de energía por una antena. Es instructivo examinar el problema de una antena utilizada como receptor. Deje que la antena sea terminada por una carga coincidente; la parte resistiva de la carga será así igual a la resistencia a la radiación de la antena, R A. Usemos el ejemplo específico de una antena de media onda para la que R A ≈ 73 Ohmios. Supongamos que la antena receptora está orientada paralela a la antena transmisora de manera que el vector de campo eléctrico incidente se orienta a lo largo de la antena receptora: si el\(\vec E\) campo es transversal a la antena no se detectará ninguna señal. Por lo general, el transmisor está tan alejado del receptor que la amplitud del campo eléctrico incidente puede tomarse como constante sobre la antena receptora. Que la amplitud de este campo eléctrico incidente sea E 0. El campo eléctrico incidente inducirá una distribución de corriente en la antena de media onda que tiene la forma descrita por la Ecuación (\ ref {8.16}) y una amplitud I A Amps. Supongamos que la antena está conectada a un detector cuya impedancia de entrada se ha adaptado a la impedancia de la antena. La tasa promedio a la que se extrae energía de la onda de radio incidente es
\[<\mathrm{P}_{\mathrm{A}}>=\frac{1}{2} \int_{-\mathrm{L}}^{+\mathrm{L}} \mathrm{d} \mathrm{z} \mathrm{E}_{0} \mathrm{I}_{\mathrm{A}} \cos \left(\frac{\pi \mathrm{z}}{2 \mathrm{L}}\right)=\frac{2 \mathrm{L}}{\pi} \mathrm{E}_{0} \mathrm{I}_{\mathrm{A}} \quad \text { Watts }. \label{8.19}\]
Esto significa que para una antena de media onda y una carga emparejada la resistencia del detector será de 73 Ohmios. Para este receptor emparejado, la mitad de la potencia incidente será re-radiada (la distribución de corriente después de todo irradiará energía a la tasa promedio de\(\mathrm{R}_{\mathrm{A}} \mathrm{I}_{\mathrm{A}}^{2} / 2\) Watts), y la mitad de la potencia será absorbida por el detector emparejado,\(\mathrm{R}_{\mathrm{A}} \mathrm{I}_{\mathrm{A}}^{2} / 2\) Watts. Así, la potencia útil captada por la antena y entregada al detector es
\[\mathrm{P}_{\mathrm{D}}=\frac{\mathrm{L}}{\pi} \mathrm{E}_{0} \mathrm{I}_{\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{R}_{\mathrm{A}}}{2} \mathrm{I}_{\mathrm{A}}^{2}. \label{8.20}\]
De esta ecuación se encuentra\(\mathrm{I}_{\mathrm{A}}=2 \mathrm{LE}_{0} /\left(\pi \mathrm{R}_{\mathrm{A}}\right)\), y
\[\mathrm{P}_{\mathrm{D}}=\frac{2 \mathrm{L}^{2}}{\pi^{2}} \frac{\mathrm{E}_{0}^{2}}{\mathrm{R}_{\mathrm{A}}} \quad \text { Watts }. \label{8.21}\]
Es útil e interesante preguntar” ¿qué tan grande debe ser un disco para que toda la energía transmitida interceptada por el disco sea igual a la potencia P D entregada al detector?”. El área de dicho disco se denomina “Apertura Efectiva”, A E, de la antena receptora. La amplitud del vector Poynting promediado en el tiempo para una onda incidente de amplitud E 0 es
\[<\mathrm{P}>=\frac{\mathrm{E}_{0}^{2}}{2 \mathrm{c} \mu_{0}}=\frac{\mathrm{E}_{0}^{2}}{2 \mathrm{Z}_{0}} \quad \text { Watts } / \mathrm{m}^{2}, \nonumber \]
donde Z 0 =377 Ohmios. Por lo tanto
\[\frac{\mathrm{E}_{0}^{2}}{2 \mathrm{Z}_{0}} \mathrm{A}_{\mathrm{E}}=\mathrm{P}_{\mathrm{D}}=\frac{2 \mathrm{L}^{2}}{\pi^{2}} \frac{\mathrm{E}_{0}^{2}}{\mathrm{R}_{\mathrm{A}}}, \nonumber \]
de la cual
\[\mathrm{A}_{\mathrm{E}}=\frac{4}{\pi^{2}} \frac{\mathrm{Z}_{0}}{\mathrm{R}_{\mathrm{A}}} \mathrm{L}^{2} \quad m^{2}. \label{8.22}\]
Para la antena de media onda R A = 73 Ohmios y 2L= λ/2, de manera que
\[\mathrm{A}_{\mathrm{E}}=0.131 \lambda^{2}. \nonumber\]
En otras palabras, la potencia útil entregada al detector es toda la potencia incidente contenida en un círculo cuyo diámetro es 0.4λ, ¡un diámetro casi igual a la longitud de la antena!