8.5: Dispersión a partir de un átomo estacionario

Deje que la radiación de onda plana que se propaga en vacío caiga sobre un átomo estacionario ubicado en el origen de las coordenadas. Deje que la onda plana se polarice con el vector eléctrico dirigido a lo largo\(z\), y deje que la onda se propague a lo largo\(x\) (Figura (8.4.5)):

\[\mathrm{E}_{\mathrm{z}}=\mathrm{E}_{0} \exp i(\mathrm{kx}-\omega \mathrm{t}). \label{8.25}\]

Consideraremos solo radiación cuya longitud de onda, λ, es mucho mayor que las dimensiones del átomo, es decir, mucho más grande que 10 ⁻¹⁰ metros. Esta condición restringe la frecuencia de la radiación a f ≤ 3×10 ¹⁷ Hz. En este límite de longitud de onda larga se puede tomar el campo eléctrico para que sea uniforme sobre el átomo. Cada partícula cargada en el átomo será sometida, como primera aproximación, al campo eléctrico de la Ecuación (\ ref {8.25}). La respuesta del núcleo al campo eléctrico oscilante se puede descuidar con el propósito de estimar el momento dipolo eléctrico atómico inducido porque el núcleo es tan masivo comparado con los electrones. La principal contribución al momento dipolar inducido se debe a la respuesta de la nube de electrones al campo eléctrico oscilante aplicado. Los resultados de los cálculos utilizando mecánica cuántica muestran que los electrones se comportan como simples osciladores armónicos que siguen una ecuación de movimiento de la forma

\[\frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{z}}{\mathrm{dt}^{2}}+\omega_{0}^{2} \mathrm{z}=-\frac{|\mathrm{e}|}{\mathrm{m}} \mathrm{E}_{0} \mathrm{e}^{-i \omega t} , \label{8.26}\]

donde\(\omega_{0}^{2}\) está el cuadrado de la frecuencia natural asociada con el electrón. (Se debe utilizar la mecánica cuántica para calcular las frecuencias resonantes asociadas a los diversos grupos de electrones en un átomo). La solución de estado estacionario de la Ecuación (\ ref {8.26}) es

\[\mathrm{z}(\mathrm{t})=\mathrm{z}_{0} \mathrm{e}^{-i \omega t}, \label{8.27}\]

donde

\[\mathrm{z}_{0}=\frac{\left(\frac{|\mathrm{e}|}{\mathrm{m}}\right) \mathrm{E}_{0}}{\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)}. \label{8.28}\]

En Ecuación (\ ref {8.28}) | e |= 1.602 × 10 ⁻¹⁹ Coulombs, la carga de electrones, y m=9.11 × 10 ⁻³¹ kg, la masa electrónica. El electrón desarrolla un momento dipolar oscilante, p _z = − | e | z, como resultado del movimiento inducido por el campo eléctrico forzoso. El dipolo oscilante irradiará energía a la misma frecuencia que la radiación incidente, y de esta manera la energía se eliminará de la onda plana incidente y se dispersará en todas las direcciones alrededor del eje z según la discusión de la sección (8.2), Ecuación (8.2.10). Si el átomo contiene muchos grupos de electrones, cada grupo se caracteriza por una frecuencia resonante característica, ωn, entonces cada grupo desarrollará un momento dipolar como resultado de una vibración de la forma de Ecuación (\ ref {8.27}). El momento dipolo total desarrollado por el átomo se obtiene sumando las contribuciones de cada grupo de electrones:

\[\mathrm{p}_{\mathrm{z}}=-\left(\frac{\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{m}}\right)\left(\sum_{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{f}_{\mathrm{n}}}{\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)}\right) \mathrm{E}_{0} \mathrm{e}^{-i \omega \mathrm{t}}=\mathrm{p}_{0} \mathrm{e}^{-i \omega \mathrm{t}}. \label{8.29}\]

Los factores f _n se denominan las intensidades del oscilador. Cada f _n es una medida del número efectivo de electrones en un grupo particular caracterizado por la frecuencia resonante ω _n. El modelo anterior no incluye procesos de amortiguamiento y por lo tanto la respuesta descrita por la Ecuación (\ ref {8.29}) se vuelve infinita siempre que la frecuencia de la radiación incidente se vuelve igual a una de las frecuencias resonantes, ω _n. En cualquier sistema atómico real la respuesta de los electrones está limitada por una serie de mecanismos de pérdida de energía, incluida la energía radiada por el momento dipolar oscilante, de manera que en resonancia la respuesta electrónica se vuelve grande pero permanece finita. La velocidad a la que la energía se dispersa en la dirección especificada por θ, φ viene dada por la Ecuación (8.2.10) de la sección (8.2):

\[<\mathrm{S}_{\mathrm{r}}>=\frac{1}{8 \pi} \frac{\mathrm{c}}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{4} \frac{\mathrm{p}_{0}^{2} \sin ^{2} \theta}{\mathrm{R}^{2}}, \label{8.30}\]

donde p ₀ viene dada por la Ecuación (\ ref {8.29}). Del resultado anterior se pueden extraer varias conclusiones interesantes:

1. No se dispersa energía a lo largo de la dirección paralela al campo eléctrico incidente;
2. La intensidad de la radiación dispersada es máxima en el plano perpendicular a la dirección del vector eléctrico de luz incidente, y la luz dispersada se polarizará linealmente;
3. Para frecuencias que son mucho menores que la frecuencia resonante atómica más baja, el momento dipolo, Ecuación (\ ref {8.29}), se vuelve independiente de la frecuencia. En estas condiciones la intensidad de la radiación dispersa aumenta muy rápidamente con la frecuencia; es proporcional a ω ⁴;
4. En el límite de alta frecuencia, ω ≫ ω _max, donde ω _max es la mayor frecuencia resonante, la amplitud del momento dipolo se vuelve inversamente proporcional al cuadrado de la frecuencia de manera que la intensidad de la radiación dispersa se vuelve independiente de la frecuencia.

Si se observa el resultado de la dispersión de la luz visible, no polarizada desde átomos o moléculas en una dirección que es perpendicular a la dirección de propagación de la luz incidente, se encontrará que la luz dispersada tenderá a ser azul y se polarizará linealmente, ver Figura (8.5.6). La luz dispersa tiende a ser azul porque en lo visible la intensidad de dispersión aumenta aproximadamente como la cuarta potencia de la frecuencia, y la luz roja tiene una frecuencia menor que la luz azul. Esto inmediatamente sugiere una explicación para la observación de que el cielo parece ser azul. También explica por qué la luz del cielo se polariza parcialmente cuando se ve en una dirección perpendicular al sol.

Figura\(\PageIndex{6}\): La producción de luz polarizada por medio de dispersión. Que la luz incidente quede sin polarizar. La luz dispersada a lo largo del eje y se polarizará completamente linealmente porque solo la componente del momento dipolar a lo largo de z puede dispersar la radiación en la dirección y (ver Ecuación (8.30)). El argumento puede generalizarse para mostrar que para cualquier dirección en el plano y-z la radiación dispersa será polarizada linealmente.

La tasa total de pérdida de energía de una onda plana debido a la dispersión atómica se puede calcular a partir de la integral de (\ ref {8.30}) sobre una esfera que tiene un radio R. El resultado es (ver Ecuación (8.2.11))

\[\mathrm{P}_{\mathrm{E}}=\frac{1}{3} \frac{\mathrm{c}}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{4} \mathrm{p}_{0}^{2} \quad \text { Watts }. \nonumber \]

La velocidad a la que la energía es transportada al átomo por la onda plana incidente puede calcularse a partir del promedio de tiempo del vector Poynting, Ecuación (8.2.4), usando H ₀ = E ₀ /cµ ₀:

\[<\mathrm{S}_{\mathrm{x}}>=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\epsilon_{0}}{\mu_{0}}} \mathrm{E}_{0}^{2} \quad \text { Watts } / \mathrm{m}^{2}. \nonumber \]

Esta expresión se puede combinar con la Ecuación (8.2.11) para calcular un área efectiva para la dispersión, es decir, un área tal que si toda la potencia incidente que cae sobre esa área fuera a ser eliminada de la onda plana, entonces esa pérdida de energía solo equivaldría a la potencia radiada dada por la Ecuación (8.2.11). Tal área, que es claramente dependiente de la frecuencia, se denomina sección transversal de dispersión; a menudo se designa por σ _a. Lejos de la resonancia, las secciones transversales atómicas tienden a ser del orden de 10 ⁻³⁷ m ² para la luz visible; es decir, la sección transversal es pequeña comparada con el área atómica de ∼ 10 ⁻²⁰ m ². Para la luz incidente que tiene una longitud de onda de ^{10 −10} m. o menos, el cálculo de la sección transversal de dispersión se complica porque la intensidad del campo eléctrico en la onda incidente no es constante en amplitud a través del átomo. Sin embargo, en el límite de longitudes de onda muy cortas, es decir, para frecuencias muy altas, los electrones en el átomo o molécula se comportan como centros de dispersión independientes cuyos movimientos no están correlacionados. En este régimen de muy alta frecuencia uno tiene ω ≫ ω _n para todos n, y así la amplitud dipolo para cada electrón se vuelve

\[\mathrm{p}_{0}=-\left(\frac{\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{m} \omega^{2}}\right) \mathrm{E}_{0}. \label{3.31}\]

Cada electrón se comporta como si fuera libre, y consecuentemente oscila con una amplitud dada por

\[\mathrm{z}=\frac{|\mathrm{e}|}{\mathrm{m} \omega^{2}} \mathrm{E}_{0} \mathrm{e}^{-i \omega t}. \nonumber\]

La potencia total radiada por cada electrón en el límite de alta frecuencia se puede calcular a partir de la Ecuación (8.2.11). El resultado es

\[\mathrm{P}_{\mathrm{e}}=\frac{1}{3} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{\mathrm{e}^{4}}{\mathrm{m}^{2} \mathrm{c}^{3}}\right) \mathrm{E}_{0}^{2}, \nonumber \]

que es independiente de la frecuencia. Esto, combinado con la ecuación para la tasa de flujo de energía incidente por unidad de área, se puede utilizar para calcular la sección transversal efectiva para cada electrón en el límite de alta frecuencia. El resultado es

\[\sigma_{e}=\frac{8 \pi}{3}\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{mc}^{2}}\right)^{2}=\frac{8 \pi}{3} \mathrm{r}_{\mathrm{e}}^{2}, \label{8.32}\]

donde la longitud re = 2.81 × 10 ⁻¹⁵ metros se llama el radio clásico del electrón. El área independiente de frecuencia (\ ref {8.32}) se llama sección transversal Thompson; tiene el valor numérico σ _e = 66.2 × 10 ⁻³⁰ metros ². En el límite de alta frecuencia donde cada electrón en el átomo se dispersa independientemente, la sección transversal total es proporcional al número total de electrones en el átomo, es decir, es proporcional al número atómico.

Por supuesto, en general, los átomos que dispersan la luz no son estacionarios; se mueven en una dirección aleatoria con una velocidad, V, que está relacionada con la energía térmica media. Este movimiento da como resultado un desplazamiento de frecuencia Doppler que es proporcional a la relación V/c, a primer orden. El problema de la dispersión de la radiación por un átomo en movimiento se puede tratar transformando del marco de laboratorio a un marco en el que el átomo está en reposo, el marco de reposo. Después de haber calculado la intensidad y distribución de la luz dispersada, se puede realizar una transformación inversa de regreso al marco de laboratorio. Las velocidades térmicas de los átomos a temperatura ambiente son bastante pequeñas. Son más grandes para los átomos de hidrógeno, e incluso en ese caso la velocidad correspondiente a 300K es de sólo 2.2 × 10 ³ metros/seg. Por lo tanto, los desplazamientos de frecuencia Doppler son del orden de 1 parte en 10 ⁵ o menores.