9.1: Introducción a las ondas planas

Un dipolo eléctrico dirigido a lo largo de z, ubicado en el origen, y que oscila con la frecuencia circular\(ω\) produce campos eléctricos y magnéticos alejados del origen que tienen la forma (ver ecuaciones (7.4.5)):

\ [\ begin {align}
\ mathrm {E} _ {\ theta} &=-\ frac {\ omega^ {2}} {4\ pi\ epsilon_ {0}}\ frac {\ mathrm {p} _ _ {0}\ sin\ theta} {\ mathrm {c} ^ {2}\ mathrm {R}}\ exp (-i\ omega\ mathrm rm {t} -\ mathrm {R}/\ mathrm {c}]),\ label {9.1}\\
\ mathrm {B} _ {\ phi} &=\ mathrm {cE} _ {\ theta}\ nonumber\\
\ mathrm {H} _ {\ phi} &=-\ frac {\ omega^ {2}} {4\ pi}\ frac {\ mathrm {p} _ {0} _ {0}\ sin\ theta} {\ mathrm {cR}}\ exp (-i\ omega [\ mathrm {t} -\ mathrm {R}/\ mathrm {c}])\ nonumber
\ fin {alinear}\]

donde\(\text{p}_{\text{z}}=\text{p}_{0} \exp (-i \omega[\text{t}-\text{R} / \text{c}])\), y t es el momento en que el observador\(\vec R\) mide los campos. Siempre hay que tener en cuenta que los campos están representados por números reales; la notación de números complejos es simplemente un conveniente dispositivo de contabilidad para tratar funciones sinusoidales. La notación\(\exp (-i \omega\text{t})\) “la parte real de\(\exp (-i \omega\text{t})\)” i.e\(\cos (\omega\text{t})\). Es particularmente importante recordar esto al calcular el vector Poynting o las densidades de energía que involucran el producto de dos amplitudes de campo. Por ejemplo, el vector Poynting correspondiente a los campos de Ecuaciones (\ ref {9.1}) viene dado por

\[\text{S}_{\text{r}}=\text{E}_{\theta} \text{H}_{\phi}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\omega^{4}}{4 \pi} \frac{\text{p}_{0}^{2} \sin ^{2} \theta}{\text{c}^{3} \text{R}^{2}} \cos ^{2}(\omega[\text{t}-\text{R} / \text{c}]) \label{9.2}\]

Tenga en cuenta que el factor tiempo no es lo mismo que

\[\text {Real }(\exp (-2 i \omega[\text{t}-\text{R} / \text{c}]))=\cos (2 \omega[\text{t}-\text{R} / \text{c}]). \label{9.3}\]

El promedio de tiempo de la Ecuación (\ ref {9.3}) es cero, mientras que el promedio de tiempo de la expresión correcta, Ecuación (\ ref {9.2}), viene dado por

\[<\text{S}_{\text{r}}>=\left(\frac{1}{8 \pi}\right)\left(\frac{\text{c}}{4 \pi \epsilon_{0}}\right)\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{4} \frac{\text{p}_{0}^{2} \sin ^{2} \theta}{\text{R}^{2}}, \label{9.4}\]

ya que el promedio de tiempo de la función coseno al cuadrado es 1/2. A distancias muy alejadas del radiador dipolo la superficie de la constante R puede aproximarse localmente por un plano perpendicular a\(\hat{\text{u}}_{\text{r}}\), un vector unitario paralelo con\(\vec R.\) Esto sugiere que las ecuaciones de Maxwell deben tener soluciones de onda plana de la forma

\[\vec{\text{E}}(\vec{\text{r}}, \text{t})=\vec{\text{E}}_{0} \exp (i[\vec{\text{k}} \cdot \vec{\text{r}}-\omega \text{t}]), \label{9.5}\]

\[\vec{\text{B}}(\vec{\text{r}}, \text{t})=\vec{\text{B}}_{0} \exp (i[\vec{\text{k}} \cdot \vec{\text{r}}-\omega \text{t}]),\nonumber\]

donde\(\vec k\) es un vector cuya magnitud es\(\omega / c\) y cuya dirección se encuentra a lo largo de la dirección de propagación de la onda,\(\vec{\text{E}}_{0}\) y donde y\(\vec{\text{B}}_{0}\) son vectores constantes que son perpendiculares entre sí y al vector de onda\(\vec k\) (ver Figura (9.1.1)).

Las ecuaciones (\ ref {9.5}) se pueden escribir en forma de componentes usando algún sistema de coordenadas conveniente, y usando\(\operatorname{Real}(\exp (i[\vec{\text{k}} \cdot \vec{\text{r}}-\omega \text{t}]))=\cos (\vec{\text{k}} \cdot \vec{\text{r}}-\omega \text{t})\):

\ [\ begin {array} {l}
\ texto {E} _ {\ texto {x}} =\ texto {E} _ {0 x}\ cos\ left (\ texto {k} _ {\ texto {x}}\ texto {x} +\ texto {k} _ {\ texto {y}}\ texto {y} +\ texto {k} _ {\ texto {z}\ texto {z}\ texto {z}\ texto {z}\ texto {z}\ texto {z}\ texto {z}} -\ omega\ texto {t}
\ derecha),\\\ texto {E} _ {\ texto {y}} =\ texto {E} _ {0 y}\ cos\ izquierda (\ texto {k} _ {\ texto {x}}\ texto {x} +\ texto {k} _ {y}\ texto {y}\ texto {y} +\ texto {k} _ {\ texto {z}}\ texto {z} -\ omega\ texto {t}\ derecha),\\
\ texto {E} _ {\ texto {z}} =\ texto {E} _ {0 z}\ cos\ izquierda (\ texto {k} _ {\ texto {x}}\ texto {x} +\ texto {k} _ {y}\ texto {y}\ texto {y} +\ texto {x}} _ {\ texto {z}}\ texto {z} -\ omega\ texto {t}\ derecha),
\\\ texto {B} _ {\ texto {x}} =\ texto {B} _ {0 x}\ cos\ izquierda (\ texto {k} _ {\ texto {x}}\ texto {x} +\ texto {k} _ {\ texto {y}}\ texto {y} +\ texto {k} _ {\ texto {z}}\ texto {z} -\ omega\ texto {t}\ derecha),\\
\ texto {B} _ {\ texto {y}} =\ texto {B} _ {0 y}\ cos\ izquierda (\ texto {k} _ {\ texto {x}}\ texto {x} +\ texto {k} _ {\ texto {y}}\ texto {y} +\ texto {k} _ {\ texto {z}}\ texto {z} -\ omega\ texto {t}\ derecha),\\
\ texto {B} _ _ {\ texto {z}} =\ texto {B} _ _ {0 z}\ cos\ izquierda (\ texto {k} _ {\ texto {x}}\ texto {x} +\ texto {k} _ {y}\ texto {y} +\ texto {k} _ {\ texto {z}}\ texto {z} -\ omega\ texto {t}\ derecha),
\ end {array}\ etiqueta {9.6}\]

Usando estas expresiones es fácil demostrar que

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{E}})=-\left(\vec{\text{k}} \times \vec{\text{E}}_{0}\right) \sin (\vec{\text{k}} \cdot \vec{\text{r}}-\omega \text{t}), \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{1}\): Onda plana que se propaga a lo largo de la dirección especificada por\(\vec k\) y para la cual\(|\vec{\text{k}}|=\text{k}=\omega / \text{c}\). Para una onda plana electromagnética en el espacio libre para la que los campos\(\vec E\) y\(\vec B\) satisfacer las ecuaciones de Maxwell, ambos\(\vec E\) y se\(\vec B\) encuentran en la superficie de fase constante y son perpendiculares entre sí.

\ [\ begin {alineado}
\ nombreoperador {div} (\ vec {\ text {E}}) &=-\ izquierda (\ vec {\ text {k}}\ cdot\ vec {\ text {E}} _ {0}\ derecha)\ sin (\ vec {\ text {k}}\ cdot\ vec {\ texto {r}} -\ omega\ text {t}),\\
\ nombreoperador {curl} (\ vec {\ texto {B}}) &=-\ izquierda (\ vec {\ texto {k}}\ veces\ vec {\ texto {B}} _ {0}\ derecha)\ sin (\ vec { \ text {k}}\ cdot\ vec {\ text {r}} -\ omega\ text {t}),\\
\ nombreoperador {div} (\ vec {\ text {B}}) &=-\ left (\ vec {\ text {k}}\ cdot\ vec {\ text {B}} _ {0}\ derecha)\ sin (\ vec {\ texto {k}}\ cdot\ vec {\ texto {r}} -\ omega\ texto {t}),
\ end {alineado}\ nonumber\]

En el espacio libre las ecuaciones de Maxwell se convierten

\ [\ begin {align}
\ nombreoperador {curl} (\ overrightarrow {\ mathrm {E}}) &=-\ frac {\ parcial\ overrightarrow {\ mathrm {B}}} {\ parcial\ mathrm {t}},\ label {9.7}\
\ nombreoperador {curl} (\ overrightarrow {\ mathrm {B}}) &=\ epsilon_ {0}\ mu_ {0}\ frac {\ parcial\ overrightarrow {\ mathrm {E}}} {\ parcial\ mathrm {t}},\ nonumber\\
\ nombreoperador {div} (\ overrightarrow {\ mathrm {E}}) &=0,\ nonumber\\
\ nombreoperador {div} (\ overrightarrow {\ mathrm {B}}) &=0. \ nonumber
\ end {align}\]

Figura\(\PageIndex{2}\): Una onda plana electromagnética que se propaga en el espacio libre. El vector de campo eléctrico\(\vec{\text{E}}(\vec{\text{r}}, \text{t})=\vec{\text{E}}_{0} \cos (\vec{\text{k}} \cdot \vec{\text{r}}-\omega \text{t})\), y el vector de campo magnético\( \vec{\text{B}}(\vec{r}, t)=\vec{\text{B}}_{0} \cos (\vec{\text{k}} \cdot \vec{r}-\omega t)\), junto con el vector de propagación\(\vec k\), forman una tríada ortogonal derecha.

La sustitución de Ecuaciones (\ ref {9.6}) en Ecuaciones de Maxwell (\ ref {9.7}) da

\[ \vec{\text{k}} \times \vec{\text{E}}_{0}=\omega \vec{\text{B}}_{0},\]

\[\vec{\text{k}} \times \vec{\text{B}}_{0}=-\epsilon_{0} \mu_{0} \omega \vec{\text{E}}_{0},\nonumber\]

\[\vec{\text{k}} \cdot \vec{\text{E}}_{0}=0,\nonumber\]

\[\vec{\text{k}} \cdot \vec{\text{B}}_{0}=0.\nonumber\]

Las dos últimas ecuaciones establecen que para las soluciones de ondas planas de las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre, tanto los vectores de campo eléctrico como magnético deben ser perpendiculares a la dirección de propagación especificada por el vector\(\vec k\); es decir,\(\vec{\text{E}}_{0}\) y\(\vec{\text{B}}_{0}\) deben ser paralelos a las superficies de constante fase. Las dos primeras ecuaciones de (9.1.8) establecen que los campos\(\vec{\text{E}}_{0}\) y\(\vec{\text{B}}_{0}\) deben ser mutuamente perpendiculares; así los tres vectores\(\vec{\text{E}}_{0}\),\(\vec{\text{B}}_{0}\), y\(\vec k\) forman una tríada ortogonal diestra. Para satisfacer las ecuaciones de Maxwell, la magnitud del vector de onda debe estar dada por

\[\text{k}^{2}=\epsilon_{0} \mu_{0} \omega^{2}=\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2},\label{9.9}\]

y las amplitudes de los campos eléctricos y magnéticos deben estar relacionadas por

\[\left|\vec{\text{E}}_{0}\right|=\text{c}\left|\vec{\text{B}}_{0}\right| , \nonumber\]

ver Figura (9.1.2). Observe que E y B oscilan en fase: es decir, tienen exactamente la misma dependencia sinusoidal del espacio y del tiempo. Estas relaciones son las mismas que las que antes se asociaron con la onda producida por un dipolo oscilante, Ecuaciones (7.4.5).

En el espacio libre el vector de desplazamiento\(\vec D\),, está relacionado con el campo eléctrico por\(\vec{\text{D}}=\epsilon_{0} \vec{\text{E}}\) lo que la tasa de tiempo de cambio de la densidad de energía almacenada en el campo eléctrico, Ecuación (8.2.6), se convierte en

\[\frac{\partial \text{W}_{\text{E}}}{\partial \text{t}}=\epsilon_{0} \vec{\text{E}} \cdot \frac{\partial \vec{\text{E}}}{\partial \text{t}}=\frac{\partial}{\partial \text{t}}\left(\frac{\epsilon_{0} \text{E}^{2}}{2}\right) .\label{9.10}\]

Usando (9.1.10), la densidad de energía almacenada en el campo eléctrico de una onda plana viene dada por

\[\text{W}_{\text{E}}=\frac{\epsilon_{0} \text{E}_{0}^{2}}{2} \cos ^{2}(\vec{\text{k}} \cdot \vec{\text{r}}-\omega \text{t}), \quad \text { Joules} / \text{m}^{3},\nonumber\]

Esta densidad de energía oscila tanto en el espacio como en el tiempo, en particular en un punto fijo en el espacio la densidad de energía desaparece periódicamente. Sin embargo, la densidad de energía promedio medida en cualquier punto del espacio es independiente tanto de la posición como del tiempo:

\[<\text{W}_{\text{E}}>=\frac{\epsilon_{0}}{4} \text{E}_{0}^{2}, \quad \text { Joules} / \text{m}^{3}, \label{9.11}\]

Del mismo modo, la tasa de cambio temporal de la densidad de energía almacenada en el campo magnético viene dada por (8.7)

\[\frac{\partial \text{W}_{\text{B}}}{\partial \text{t}}=\vec{\text{H}} \cdot \frac{\partial \vec{\text{B}}}{\partial \text{t}}=\frac{\partial}{\partial \text{t}}\left(\frac{\text{B}^{2}}{2 \mu_{0}}\right). \label{9.12}\]

Por lo tanto uno puede escribir

\[\text{W}_{\text{B}}=\frac{\text{B}^{2}}{2 \mu_{0}}=\frac{\text{B}_{0}^{2}}{2 \mu_{0}} \cos ^{2}(\vec{\text{k}} \cdot \vec{\text{r}}-\omega \text{t}) \quad \text { Joules} / m^{3}.\nonumber\]

La densidad de energía promediada en el tiempo almacenada en el campo magnético es independiente de la posición y dado que\(\text{B}=\text{E} / \text{c}\) viene dada por

\[<\text{W}_{\text{B}}>=\frac{\text{B}_{0}^{2}}{4 \mu_{0}}=\frac{\text{E}_{0}^{2}}{4 \mu_{0} \text{c}^{2}}=\frac{\epsilon_{0} \text{E}_{0}^{2}}{4}=<\text{W}_{\text{E}}>\quad \text { Joules} / m^{3}. \label{9.13}\]

La densidad de energía promedio almacenada en el campo magnético es exactamente la misma, en el espacio libre, que la densidad de energía promedio almacenada en el campo eléctrico. La densidad de energía promedio en el tiempo total almacenada en el campo electromagnético es

\[<\text{W}>=<\text{W}_{\text{E}}>+<\text{W}_{\text{B}}>=\frac{\epsilon_{0} \text{E}_{0}^{2}}{2}, \quad \text { Joules} / m^{3}. \label{9.14}\]

La velocidad promedio a la que la energía en el campo electromagnético se transporta a través de una unidad de área normal a la dirección de propagación, es decir\(\vec k\), normal a, se puede obtener multiplicando la Ecuación (\ ref {9.14}) por la velocidad de la luz: esta tasa también es solo el promedio de tiempo del vector Poynting

\[<\text{S}>=\text{c} \frac{\epsilon_{0} \text{E}_{0}^{2}}{2}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\epsilon_{0}}{\mu_{0}}} \text{E}_{0}^{2}, \quad \text { Watts } / \text{m}^{2}. \label{9.15}\]

La cantidad\(\text{Z}_{0}=\sqrt{\mu_{0} / \epsilon_{0}}\) tiene las unidades de una resistencia; se llama la impedancia del espacio libre, y\(\text{Z}_{0}=377\) Ohmios. De las ecuaciones para la variación de espacio y tiempo de una onda plana, Ecuaciones (\ ref {9.6}), se deduce que para un tiempo fijo los campos eléctrico y magnético varían en el espacio con un periodo a lo largo de la dirección\(vec k\) dada\(2 \pi /|\vec{k}|.\) por Por definición, este periodo espacial es la longitud de onda, λ, por lo tanto \(|\vec{\text{k}}|=2 \pi / \lambda.\)De igual manera, en una posición fija en el espacio los campos oscilan en el tiempo con el periodo\(2 \pi / \omega;\) por definición, este periodo, T, es el inverso de la frecuencia, f, por lo tanto\(\omega=2 \pi \text{f}\). Para satisfacer las ecuaciones de Maxwell, la frecuencia y la longitud de onda de una onda plana están relacionadas por la ecuación (\ ref {9.9})

\[\omega=\text{c}|\vec{\text{k}}|;\nonumber\]

esto se puede escribir en la forma más familiar\(\text{f} \lambda=\text{c}.\)