9.2: Fasores

Es muy conveniente representar funciones sinusoidales, es decir, senos y cosenos, mediante funciones exponenciales complejas cuando se trata de ecuaciones diferenciales lineales como las ecuaciones de Maxwell. Por ejemplo

\[\text{y}=\text{A} \exp [i(\text{kx}-\omega \text{t})]\nonumber\]

significa

\[\text{y}=\text {Real Part}(\text{A} \exp [i(\text{kx}-\omega \text{t})])=\text{A} \cos (\text{kx}-\omega \text{t})\nonumber\]

si A es un número real, o si A= a+ib es un número complejo

\ [\ begin {align}
\ text {y} &=\ nombreoperador {Real}\ nombreoperador {Parte} ((\ text {a} +\ text {ib})\ exp [i (\ text {kx} -\ omega\ text {t})]),\ label {9.16}\\
&=\ text {a}\ cos (\ text {kx} -\ omega\ text {t}) -\ texto {b}\ sin (\ texto {kx} -\ omega\ texto {t}). \ nonumber
\ end {align}\]

Una amplitud compleja representa un desplazamiento de fase. Desde

\[\cos (\alpha+\beta)=\cos \beta \cos \alpha-\sin \beta \sin \alpha, \label{9.17}\]

La ecuación (\ ref {9.16}) se puede escribir

\[y=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos (k x-\omega t+\beta),\nonumber\]

donde

\[\sin \beta=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\nonumber\]

y

\[\cos \beta=\frac{\text{a}}{\sqrt{\text{a}^{2}+\text{b}^{2}}},\]

o

\[\tan \beta=\frac{b}{a}.\]

En notación fástica

\[\text{y}=\sqrt{\text{a}^{2}+\text{b}^{2}} \exp [i(\text{kx}-\omega \text{t}+\beta)]=(\sqrt{\text{a}^{2}+\text{b}^{2}} \exp i \beta) \exp [i(\text{kx}-\omega \text{t})].\nonumber\]

El prefactor\((\sqrt{a^{2}+b^{2}} \exp i \beta)\) es solo la representación polar del número complejo (a+ib).

Las derivadas son particularmente convenientes en la notación fasorial compleja porque la derivada de una función exponencial devuelve la misma función exponencial multiplicada por una constante (generalmente un número complejo).

Se debe tener cuidado al calcular las densidades de energía o al calcular el vector Poynting usando la notación fasorial porque la Parte Real del producto de dos exponenciales complejos no es lo mismo que el producto de las dos funciones sinusoidales reales que aparecen en el producto. Hay, sin embargo, un truco que es útil. Considere una onda plana que se propaga a lo largo de z y que puede describirse mediante

\[\text{E}_{\text{x}}=\text{E}_{0} \text{e}^{i\left(\text{kz}-\omega t+\phi_{1}\right)} \label{9.18}\]

\[\text{H}_{y}=\text{H}_{0} \text{e}^{i\left(\text{k} z-\omega t+\phi_{2}\right)} \nonumber\]

Estos campos eléctricos y magnéticos no están en fase porque\(\phi_{1}\) y\(\phi_{2}\) son diferentes, y por lo tanto esta onda plana no se está propagando en el espacio libre. Corresponde a una onda que se propaga en un medio caracterizado por una constante dieléctrica compleja como se discutirá en un capítulo posterior. Ahora calcula el promedio de tiempo del vector Poynting,\(\vec{\text{S}}=\vec{\text{E}} \times \vec{\text{H}}\), usando Ecuaciones (\ ref {9.18}). Se afirma que el promedio de tiempo del producto de dos fasores se puede obtener como la mitad de la parte real del producto de un fasor con el conjugado complejo del otro fasor.

Por lo tanto

\[<\text{S}_{z}>=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(\text{E}_{\text{x}} \text{H}_{y}^{*}\right)=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(\text{E}_{\text{x}}^{*} \text{H}_{y}\right), \label{9.19}\]

donde\(E_{x}^{*}\) significa el conjugado complejo de E _x, y\(\text{H}_{\text{y}}^{*}\) significa el conjugado complejo de H _y. Usando la Ecuación (\ ref {9.18}) en la Ecuación (\ ref {9.19}) se obtiene

\[<\text{S}_{z}>=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(\text{E}_{0} \text{H}_{0} \exp i\left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)\right)=\frac{\text{E}_{0} \text{H}_{0}}{2} \cos \left(\phi_{1}-\phi_{2}\right), \label{9.20}\]

ya que E ₀, H ₀ se toman como amplitudes reales. Eqn. (\ ref {9.19}) se puede verificar escribiendo los campos (\ ref {9.18}) en forma real:

\[\text{S}_{z}=\text{E}_{0} \text{H}_{0} \cos \left(\text{kz}-\omega \text{t}+\phi_{1}\right) \cos \left(\text{kz}-\omega \text{t}+\phi_{2}\right), \nonumber \]

o, usando la ecuación (\ ref {9.17}),

\ [\ comenzar {alineado}
\ texto {S} _ {\ texto {z}} =&\ texto {E} _ {0}\ texto {H} _ {0}\ left (\ cos\ phi_ {1}\ cos (\ texto {kz} -\ omega\ texto {t}) -\ sin\ phi_ {1}\ sin (\ texto {kz} -\ omega\ texto {t})\ derecha)\\
&\ veces\ izquierda (\ cos\ phi_ {2}\ cos (\ text {kz} -\ omega\ text {t}) -\ sin\ phi_ {2}\ sin (\ text {kz} -\ omega\ text {t})\ derecha),
\ end {alineado}\]

o sobre una multiplicación explícita

\ [\ begin {alineado}
\ texto {S} _ _ {\ texto {z}} =&\ texto {E} _ {0}\ texto {H} _ {0}\ left (\ cos\ phi_ {1}\ cos\ phi_ {2}\ cos ^ {2} (\ text {kz} -\ omega\ text {t}) -\ cos\ phi_ {2}\ sin\ phi_ {1}\ sin (\ texto {kz} -\ omega\ texto {t})\ cos (\ texto {kz} -\ omega\ texto {t})\ derecha)\\
&-\ texto {E} _ {0}\ texto {H} _ _ {0}\ left (\ sin\ phi_ {2}\ cos\ phi_ {1}\ sin (\ text {kz} -\ omega\ text {t})\ cos (\ text {kz} -\ omega\ text {t}) -\ sin\ phi_ {1}\ sin\ phi_ {2}\ sin ^ {2} (\ text {kz} -\ omega\ text {t})\ derecha)
\ fin alineado {}\]

Al tomar los promedios de tiempo se obtiene

\[ <\text{S}_{z}>=\frac{\text{E}_{0} \text{H}_{0}}{2}\left(\cos \phi_{1} \cos \phi_{2}+\sin \phi_{1} \sin \phi_{2}\right).\nonumber \]

Esta ecuación se puede escribir de forma compacta como

\[<\text{S}_{\text{z}}>=\frac{\text{E}_{0} \text{H}_{0}}{2} \cos \left(\phi_{1}-\phi_{2}\right), \nonumber \]

de acuerdo con el resultado Ecuación (\ ref {9.20}) obtenida usando la prescripción (\ ref {9.19}).

Figura\(\PageIndex{3}\): Dos ondas planas coherentes con polarizaciones ortogonales, y que se propagan a lo largo de la dirección z. Cada onda se caracteriza por la misma frecuencia circular, ω, y el mismo vector de onda,\(\vec k\), donde\(\text{k}_{\text{z}}=|\vec{\text{k}}|=\omega / \text{c}\). Deje que los campos en el número de onda (2) sean desplazados en fase por\(\phi\) radianes en relación con los campos en el número de onda (1).