9.4: Haces de luz gaussianos

Es imposible generar una onda plana sin límites, por supuesto. Sin embargo, el concepto de ondas planas no delimitadas es muy útil porque un haz finito de radiación puede describirse como la superposición de ondas planas que tienen diferentes amplitudes y fases y se propagan en direcciones ligeramente diferentes, ver Figura (9.3.8). Para simplificar las cosas supongamos que la función de amplitud, A (p, q), es simétrica en p, q: ie. A (-p, -q) = A (p, q). Esta simplificación permite construir un haz en el que el campo eléctrico se polariza a lo largo de una dirección particular en el plano, a lo largo de la dirección x, digamos. Eqn. (\ ref {9.21}) ilustra cómo se podría construir un haz de este tipo:

\[\text{E}_{\text{x}}(\text{x}, \text{y}, \text{z}, \text{t})=\int \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{dpdq} \text{A}(\text{p}, \text{q}) \exp (i[\text{px}+\text{qy}+\text{kz}-\omega \text{t}]), \label{9.21}\]

donde

\[\text{p}^{2}+\text{q}^{2}+\text{k}^{2}=\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2}=\text{k}_{0}^{2}, \nonumber \]

Eqn. (\ ref {9.21}) es un ejemplo de una Integral de Fourier. La función de amplitud A (p, q) se puede elegir para dar el perfil de haz requerido en el plano x-y en algún plano z=constante; es conveniente elegir este plano para que esté en z=0. El perfil de viga en cualquier otra posición z se puede obtener usando la integral (\ ref {9.21}). Como ejemplo de cómo funciona esto, tratemos un caso específico para el cual las matemáticas pueden ser fácilmente elaboradas. Supongamos que en z=0 la sección transversal del haz puede describirse como una onda plana cuya amplitud cae exponencialmente a lo largo de x e y:

\[\text{E}_{\text{x}}(\text{x}, \text{y}, 0)=\text{E}_{0} \exp \left(\frac{-\left(\text{x}^{2}+\text{y}^{2}\right)}{\text{w}_{0}^{2}}\right). \label{9.22}\]

Se asume una dependencia del tiempo exp (−iωt), pero este factor se suprimirá a continuación. El haz de salida de un láser de gas típico, un láser He-Ne por ejemplo, exhibe la variación espacial (\ ref {9.22}) en el espejo de salida con w ₀ aproximadamente igual a 1 mm. Tal perfil de viga se denomina perfil de viga gaussiano. La integral espacial de Fourier en (\ ref {9.21}) se puede invertir para z=0 para obtener

\[\text{A}(\text{p}, \text{q})=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{dxdy} \text{E}_{\text{x}}(\text{x}, \text{y}, 0) \exp (-i[\text{px}+\text{qy}]). \label{9.23}\]

Usando la variación espacial gaussiana de la ecuación (\ ref {9.22}) se encuentra

\[\text{A}(\text{p}, \text{q})=\frac{\text{E}_{0} \text{w}_{0}^{2}}{4 \pi} \exp \left(-\frac{\text{w}_{0}^{2}}{4}\left(\text{p}^{2}+\text{q}^{2}\right)\right). \label{9.24}\]

La transformada de Fourier de una función gaussiana es otra función gaussiana: ver sección (9.4.1).

Observe que la función de amplitud (\ ref {9.24}) se vuelve muy pequeña si p ² o q ² es mayor que\(4 / \text{w}_{0}^{2}\): esto significa que se pueden descuidar las ondas en el haz que describen el haz de radiación que tienen componentes transversales p, q mucho mayores que ±2/w ₀. En un caso típico el radio del rayo láser es ~1 mm de manera que la amplitud A (p, q) se vuelve pequeña para | p |, | q | mayor que 2 × 10 ³ m ⁻¹. Pero a frecuencias ópticas λ ∼ (1/2) ×10 ⁻⁶ m para que k ₀ ∼ 2\(\pi\) /λ ∼ 4\(\pi\) ×10 ⁶ m ⁻¹. Así, los valores importantes de los componentes transversales p, q de las ondas planas que componen el haz son muy pequeños en comparación con el oleaje total k ₀. El componente longitudinal del vector de onda, el componente z k, viene dado por

\[\text{k}^{2}=\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2}-\text{p}^{2}-\text{q}^{2}=\text{k}_{0}^{2}-\text{p}^{2}-\text{q}^{2}. \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{9}\): La variación de la fase a través del plano x-y para una onda esférica se describe por exp\(\left(\frac{i k_{0}}{2 R}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)\). La fase aumenta con la distancia, r, en el plano porque la distancia desde el centro de curvatura hasta un punto fuera del eje en el plano es mayor que el radio de curvatura R.

Pero\(\left(p^{2}+q^{2}\right) / k_{0}^{2}\) es mucho menos que la unidad para que uno pueda escribir

\[\text{k} \approx \text{k}_{0}-\frac{\left(\text{p}^{2}+\text{q}^{2}\right)}{2 \text{k}_{0}}. \label{9.25}\]

Ahora usando la ecuación de aproximación (\ ref {9.25}) en la ecuación (\ ref {9.21}) investiga el perfil del haz en algún valor arbitrario de z:

\ [\ begin {align}
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}} (\ mathrm {x},\ mathrm {y},\ mathrm {z}) =&\ frac {\ mathrm {E} _ {0}\ mathrm {w} _ {0} ^ {2}} {4\ pi}\ int\ int_ {-\ infty} ^\ infty}\ operatorname {dpdq}\ exp\ left (-\ frac {\ mathrm {w} _ {0} ^ {2}} {4}\ left [\ mathrm {p} ^ {2} +\ mathrm {q} ^ {2}\ derecha]\ derecha). \ label {9.26}\\
&\ cdot\ exp (i [\ mathrm {px} +\ mathrm {qy}])\ exp\ left (-i\ frac {\ left [\ mathrm {p} ^ {2} +\ mathrm {q} ^ {2}\ derecha]\ mathrm {z}} {2\ mathrm {k} _ {0}}\ derecha)\ exp\ left (i\ mathrm {k} _ {0}\ mathrm {z}\ derecha)\ nonumber
\ end {align}\]

Las integrales en la Ecuación (\ ref {9.26}) pueden ser evaluadas para obtener

\[\text{E}_{\text{x}}(\text{x}, \text{y}, \text{z})=\frac{\text{E}_{0}}{\sqrt{1+\left(\text{z} / \text{z}_{\text{R}}\right)^{2}}} \exp \left(\frac{i \text{k}_{0}}{2 \tilde{\text{q}}}\left(\text{x}^{2}+\text{y}^{2}\right)\right) \exp \left(i\left[\text{k}_{0} \text{z}-\psi\right]\right), \label{9.27}\]

donde

\[\tilde{\text{q}}=\text{z}-\text{i} \text{z}_{\text{R}}, \label{9.28}\]

\[\text{z}_{\text{R}}=\frac{\text{k}_{0} \text{w}_{0}^{2}}{2}=\frac{\pi \text{w}_{0}^{2}}{\lambda}, \label{9.29}\]

y

\[\tan (\psi)=\text{z} / \text{z}_{\text{R}}. \label{9.30}\]

Consulte la Sección (9.4.2) para conocer los detalles del cálculo. La variable\(\tilde{\text{q}}\) se llama el complejo radio de curvatura de la viga. Esta nomenclatura deriva de la descripción de un frente de onda esférico, Figura (9.4.9) como se explicará en el siguiente párrafo. La longitud z _R se llama el rango Rayleigh.

Un frente de onda esférico exhibe una variación de fase a través de un plano perpendicular a la dirección de propagación dada por

\[\exp \left(\frac{i \text{k}_{0}}{2 \text{R}}\left(\text{x}^{2}+\text{y}^{2}\right)\right), \nonumber \]

donde R es el radio de curvatura. Una comparación de esta expresión con la ecuación (\ ref {9.27}) muestra por qué\(\tilde{\text{q}}\) se llama el radio de curvatura complejo. Uno puede separar el recíproco del complejo radio de curvatura en sus partes real e imaginaria:

\[\frac{1}{\tilde{\text{q}}}=\frac{1}{\text{z}-\text{z}_{\text{R}}}=\frac{\text{z}+\text{i} \text{z}_{\text{R}}}{\text{z}^{2}+\text{z}_{\text{R}}^{2}}. \label{9.31}\]

La parte real de la ecuación (\ ref {9.31}) da el radio real de curvatura del frente de onda:

\[\frac{1}{R}=\frac{z}{z^{2}+z_{R}^{2}}, \nonumber \]

o

\[\text{R}=\text{z}+\frac{\text{z}_{\text{R}}^{2}}{\text{z}}. \label{9.32}\]

El radio de curvatura es infinito en z=0 correspondiente a un frente de onda plano. Para z ≫ z _R el radio de curvatura se aproxima a la distancia z.

Cuando se introduce la Ecuación (\ ref {9.31}) en la expresión para el campo eléctrico, Ecuación (\ ref {9.27}), la parte imaginaria de 1/\(\tilde{\text{q}}\) da lugar a una variación espacial gaussiana

\[\exp \left(\frac{-\text{k}_{0} \text{z}_{\text{R}}\left(\text{x}^{2}+\text{y}^{2}\right)}{2\left(\text{z}^{2}+\text{z}_{\text{R}}^{2}\right)}\right)=\exp \left(-\frac{\left(\text{x}^{2}+\text{y}^{2}\right)}{\text{w}^{2}}\right), \label{9.33}\]

donde

\[\text{w}^{2}=\text{w}_{0}^{2}\left[1+\left(\frac{\text{z}}{\text{z}_{\text{R}}}\right)^{2}\right]. \label{9.34}\]

Esto significa que a medida que uno se mueve a lo largo de la viga, el radio de la viga aumenta lentamente y se vuelve mayor\(\sqrt{2}\) en z = z _R: es decir, en un rango de Rayleigh eliminado del radio mínimo del haz, o cintura de la viga.

El radio del haz en el espejo de salida, la posición del radio mínimo del haz, suele ser\(\text{w}_{0} \cong 1 \text{mm}\) para un láser de gas típico que opera en lo visible. Para una longitud de onda de λ = 5 × 10 ⁻⁷ metros, el rango de Rayleigh para dicho láser es z _R = 6.28 metros. Por lo tanto, el diámetro del haz se habrá expandido solo en\(\sqrt{2}\) = 1.41 a una distancia de 6.28 metros del espejo de salida del láser.

Los lectores interesados pueden aprender más sobre los haces gaussianos y la óptica de haz gaussiano en el libro “Una introducción a los láseres y máseres” de A.E. Siegman, McGraw-Hill, Nueva York, 1971; capítulo 8.

9.4.1 La Transformada de Fourier de un Gaussiano.

De Ecuaciones (\ ref {9.22}) y (\ ref {9.23}) se tiene

\[\text{A}(\text{p}, \text{q})=\frac{\text{E}_{0}}{4 \pi^{2}} \int \int_{-\infty}^{\infty} \text{d} \text{xdy} \exp \left(-\left[\frac{\text{x}^{2}}{\text{w}_{0}^{2}}+i \text{px}\right]\right) \exp \left(-\left[\frac{\text{y}^{2}}{\text{w}_{0}^{2}}+i \text{qy}\right]\right). \label{9.35}\]

Estas integrales se separan en el producto de dos integrales que tienen una forma idéntica

\[\text{I}=\int_{-\infty}^{\infty} \text{d} \text{x} \exp \left(-\left[\frac{\text{x}^{2}}{\text{w}_{0}^{2}}+i \text{px}\right]\right). \label{9.36}\]

Es útil completar el cuadrado en el exponente de (\ ref {9.36}) para proceder:

\[\frac{1}{w_{0}^{2}}\left[x^{2}+i p w_{0}^{2} x\right]=\frac{1}{w_{0}^{2}}\left[x+\frac{i p w_{0}^{2}}{2}\right]^{2}+\frac{p^{2} w_{0}^{2}}{4}. \label{9.37}\]

Eqn. (\ ref {9.36}) ahora se puede reescribir en términos de una nueva variable

\[\text{u}=\text{x}+i \frac{\text{pw}_{0}^{2}}{2}, \nonumber \]

y

\[\text{du}=\text{dx}. \nonumber \]

Así la integral I, Ecuación (\ ref {9.36}), se convierte

\[\text{I}=\exp \left(-\frac{\text{p}^{2} \text{w}_{0}^{2}}{4}\right) \int_{-\infty}^{\infty} \text{du} \exp \left(-\frac{\text{u}^{2}}{\text{w}_{0}^{2}}\right)=\text{w}_{0} \sqrt{\pi} \exp \left(-\frac{\text{p}^{2} \text{w}_{0}^{2}}{4}\right). \label{9.38}\]

Usando este resultado la función de amplitud, Ecuación (\ ref {9.35}), se convierte en Ecuación (\ ref {9.24})

\[\text{A}(\text{p}, \text{q})=\frac{\text{E}_{0}}{4 \pi} \text{w}_{0}^{2} \exp \left(-\frac{\text{w}_{0}^{2}}{4}\left[\text{p}^{2}+\text{q}^{2}\right]\right). \nonumber\]

9.4.2 Integrales que son Requeridas en la Transformada de Fourier, Ecuación (9.26).

Las integrales requeridas para calcular la transformada de Fourier del campo eléctrico en la Ecuación (\ ref {9.26}) tienen la forma

\[\text{I}=\int_{-\infty}^{\infty} \text{dp} \exp \left(-\frac{\text{w}_{0}^{2} \text{p}^{2}}{4}+i \text{px}-i \frac{\text{p}^{2} \text{z}}{2 \text{k}_{0}}\right). \label{9.39}\]

El exponente en la función exponencial se puede escribir en la forma

\[\text {Exponent}=-\frac{\text{w}_{0}^{2}}{4}\left(\text{p}^{2}-\frac{4 i \text{px}}{\text{w}_{0}^{2}}+\frac{2 i \text{p}^{2} \text{z}}{\text{w}_{0}^{2} \text{k}_{0}}\right), \nonumber \]

o

\[\text {Exponent}=-\frac{\text{w}_{0}^{2}}{4}\left(1+\frac{2 i \text{z}}{\text{w}_{0}^{2} \text{k}_{0}}\right)\left[\text{p}^{2}-\frac{4 i \text{px}}{\text{w}_{0}^{2}\left(1+\frac{2 i \text{z}}{\text{w}_{0}^{2} \text{k}_{0}}\right)}\right]. \label{9.40}\]

Al completar el cuadrado en la Ecuación (\ ref {9.40}) esto se convierte

\ [\ begin {alineado}
\ text {Exponente} &=-\ frac {\ text {w} _ {0} ^ {2}} {4}\ left (1+\ frac {2 i\ texto {z}} {\ texto {w} _ {0} _ {0} ^ {2}\ texto {k} _ {0}}\ derecha)\\
&\ cdot\ izquierda (\ izquierda [\ texto {p} -\ frac {2 i\ texto {x}} {\ left (\ texto {w} _ {0} ^ {2} +\ frac {2 i\ texto {z}} {\ texto {k} _ {0}}\ derecha)}\ derecha] ^ {2} +\ frac {4\ texto {x} ^ {2}} {\ left (\ text {w} _ {0} ^ {2} +\ frac {2\ text {i} z} {\ text {k} _ {0}}\ derecha) ^ {2}}\ derecha),
\ end {alineado}\]

o

\[\text {Exponent}=-\left(\frac{\text{w}_{0}^{2}}{4}+\frac{i \text{z}}{2 \text{k}_{0}}\right)\left[\text{p}-\frac{2 i \text{x}}{\left(\text{w}_{0}^{2}+\frac{2 \text{i} x}{\text{k}_{0}}\right)}\right]^{2} \label{9.41}\]

\[-\frac{\text{x}^{2}}{\left(\text{w}_{0}^{2}+\frac{2 \text{iz}}{\text{k}_{0}}\right)}\nonumber\]

Introducir la nueva variable

\[\text{u}=\text{p}-\frac{2 i \text{x}}{\left(\text{w}_{0}^{2}+\frac{2 \text{i} z}{\text{k}_{0}}\right)}, \nonumber \]

con

\[\text{du}=\text{dp}, \nonumber \]

entonces

\[\text{I}=\exp \left(\frac{-\text{x}^{2}}{\left(\text{w}_{0}^{2}+\frac{2 \text{i} \text{z}}{\text{k}_{0}}\right)}\right) \int_{-\infty}^{\infty} \text{du} \exp \left(-\left[\frac{\text{w}_{0}^{2}}{4}+\frac{i \text{z}}{2 \text{k}_{0}}\right] \text{u}^{2}\right), \nonumber \]

y llevar a cabo la integración

\[\text{I}=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\frac{\text{w}_{0}^{2}}{4}+\frac{i z}{2 \text{k}_{0}}}} \exp \left(\frac{i \text{k}_{0} \text{x}^{2}}{2\left[\text{z}-i \text{k}_{0} \text{w}_{0}^{2} / 2\right]}\right). \label{9.42}\]

Usando el resultado anterior, Ecuación (\ ref {9.42}), en Ecuación (\ ref {9.26}) para la amplitud del campo eléctrico da

\[\text{E}_{\text{x}}(\text{x}, \text{y}, \text{z})=\frac{\text{E}_{0} \text{w}_{0}^{2}}{4\left(\frac{\text{w}_{0}^{2}}{4}+\frac{i \text{z}}{2 \text{k}_{0}}\right)} \exp \left(\frac{i \text{k}_{0}\left[\text{x}^{2}+\text{y}^{2}\right]}{2 \tilde{\text{q}}}\right) \exp \left(i \text{k}_{0} \text{z}\right), \label{9.43}\]

donde

\[\tilde{\text{q}}=\text{z}-i \frac{\text{k}_{0} \text{w}_{0}^{2}}{2}. \label{9.44}\]

La cantidad\(\tilde{\text{q}}\) es el complejo radio de curvatura del frente de onda.

Además, es útil definir una distancia llamada gama Rayleigh, z _R:

\[\text{z}_{\text{R}}=\frac{\text{k}_{0} \text{w}_{0}^{2}}{2}=\frac{\pi \text{w}_{0}^{2}}{\lambda}. \label{9.45}\]

En la cintura de la viga el complejo radio de curvatura es puramente imaginario

\[\tilde{\text{q}}_{0}=-i \text{z}_{\text{R}}. \nonumber \]

El prefactor en la Ecuación (\ ref {9.43}) puede ser escrito

\ [\ begin {alineado}
\ frac {\ texto {E} _ {0}\ texto {w} _ {0} ^ {2}} {4\ left (\ frac {\ texto {w} _ {0} ^ {2}} {4} +\ frac {\ texto {i}\ texto {z}} {2\ texto {k} _ {0}}\ derecha)} &=\ frac {\ texto {E} _ {0}} {\ izquierda (1+\ frac {i\ texto {z}} {\ texto {z} _ {\ texto {R}}}\ derecha)}\\
&=\ frac {\ texto {E} _ {0}\ left [1-i\ texto {z}/\ texto {z} _ {\ texto {R }}\ derecha]} {\ izquierda (1+\ izquierda [\ texto {z}/\ texto {z} _ {\ texto {R}}\ derecha] ^ {2}\ derecha)}\\
&=\ frac {\ texto {E} _ _ {0}} {\ ^ sqrt {1+\ izquierda (\ texto {z}/\ texto {z} _ {\ texto {R}}\ derecha) {2}}}\ exp (-i\ psi)
\ final {alineado}\]

donde

\[\tan (\psi)=\text{z} / \text{z}_{\text{R}}.\nonumber \]

Por último,

\[\text{E}_{\text{x}}(\text{x}, \text{y}, \text{z})=\frac{\text{E}_{0}}{\sqrt{1+\left(\text{z} / \text{z}_{\text{R}}\right)^{2}}} \exp \left(\frac{i \text{k}_{0}}{2 \tilde{\text{q}}}\left[\text{x}^{2}+\text{y}^{2}\right]\right) \exp \left(i\left[\text{k}_{0} \text{z}-\psi\right]\right), \label{9.46}\]

y

\[\tilde{\text{q}}=\text{z}-i \text{z}_{\text{R}}, \nonumber \]

con

\[\text{z}_{\text{R}}=\frac{\pi \text{w}_{0}^{2}}{\lambda}. \nonumber \]