10.1: Incidencia Normal

Considere una interfaz plana en z=0 que separa el vacío a la izquierda (z < 0) de un medio espacio a la derecha que contiene un material isotrópico, ver Figura (10.1). Se supone que la relación entre\(\vec D\) y\(\vec E\) en este material lineal, es decir\(\vec{\text{D}}=\epsilon(\omega) \vec{\text{E}}\), donde la constante dieléctrica\(\epsilon\) (ω) depende de la frecuencia, ω. La constante dieléctrica,\(\epsilon\), puede ser representada por un número complejo, lo que significa que hay un desplazamiento de fase entre los vectores\(\vec D\) y\(\vec E\). A menudo es útil escribir\(\epsilon(\omega)=\epsilon_{\text{r}}(\omega) \epsilon_{0}\) dónde\(\epsilon_{r}\) está la constante dieléctrica relativa. La constante dieléctrica relativa,\(\epsilon_{r}\), es un número adimensional, complejo.

Dejar que el material en el medio espacio derecho sea no magnético para que su permeabilidad pueda tomarse como la misma que la permeabilidad del espacio libre, µ ₀. Una onda plana de la forma

\[\text{E}_{\text{x}}(\text{z}, \text{t})=\text{E}_{0} \exp (i[\text{kz}-\omega \text{t}]) \label{10.1}\]

cae sobre la interfaz. Se establecerá una perturbación en el material a la derecha del límite y podemos suponer razonablemente que también tendrá la forma de una onda plana;

\[\text{E}_{\text{x}}(\text{z}, \text{t})=\text{A} \exp \left(i\left[\text{k}_{\text{m}} \text{z}-\omega \text{t}\right]\right). \label{10.2}\]

Figura\(\PageIndex{1}\): Una onda plana,\(\text{E}_{\text{x}}=\text{E}_{0} \exp (i[\text{kz}-\omega \text{t}])\) es incidente del vacío sobre un material caracterizado por una constante dieléctrica\(\epsilon\) a la frecuencia circular ω. La ola cae sobre la superficie con incidencia normal. La amplitud de la onda reflejada es E _R, y la amplitud de la onda transmitida es E _T.

La onda plana que se propaga en el material (z > 0) debe tener la misma frecuencia que la onda incidente porque la respuesta del material es impulsada por el campo eléctrico incidente a la frecuencia circular ω. Sin embargo, su evector de ondas no necesita ser el mismo que para el espacio libre; debe elegirse para satisfacer las ecuaciones de Maxwell. La amplitud de la onda en el material debe elegirse para satisfacer las condiciones límite en la superficie de discontinuidad entre el material y el vacío a z=0.

En el material (z > 0) Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{E}})=i \omega \mu_{0} \vec{\text{H}}. \label{10.3}\]

Se supone que no hay densidad de corriente libre,\(\vec{J}_{\text{f}}=0\), por lo que se\(\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})\) simplifica a

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=-i \omega \vec{\text{D}}=-i \omega \epsilon_{\text{r}} \epsilon_{0} \vec{\text{E}}. \label{10.4}\]

También se supone que no hay densidad de carga libre en el material de manera que

\[\operatorname{div}(\vec{\text{D}})=0 . \label{10.5}\]

En el material asumimos que\(\vec{\text{B}}=\mu_{0} \vec{\text{H}}\) y por lo tanto

\[\operatorname{div}(\vec{\text{H}})=0. \label{10.6}\]

Al escribir estas ecuaciones se han hecho uso de las definiciones de la teoría de respuesta lineal en las que se asume que la polarización por unidad de volumen es una función lineal de la intensidad del campo eléctrico:

\[\vec{\text{P}}(\omega)=\epsilon_{0} \chi_{\text{E}}(\omega) \vec{\text{E}}, \nonumber \]

y

\[\vec{\text{D}}=\epsilon_{0} \vec{\text{E}}+\vec{\text{P}} , \nonumber \]

para que

\[\vec{\text{D}}=\left[1+\chi_{\text{E}}(\omega)\right] \epsilon_{0} \vec{\text{E}}=\epsilon_{\text{r}} \epsilon_{0} \vec{\text{E}} . \label{10.7}\]

La función dieléctrica relativa\(\epsilon_{\text{r}}(\omega)\) será, en general, un número complejo porque la respuesta del material\(\vec P\), a un campo eléctrico de conducción\(\vec E\), no está en fase con el campo eléctrico. En las ecuaciones anteriores se ha utilizado explícitamente la dependencia temporal de los campos, exp (−iωt). La divergencia de\(\vec D\) es cero porque se ha supuesto explícitamente que el material está sin carga. Si se toma que el campo eléctrico tiene solo un componente x, y se propaga a lo largo de z como se muestra en la Figura (10.1.1), entonces su rizo se simplifica para dar (de la Ecuación (\ ref {10.3})

\[\frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{z}}=i \omega \mu_{0} \text{H}_{\text{y}} ; \label{10.8}\]

de esto se deduce que el campo magnético solo tiene un componente y. De manera similar a partir de la ecuación (\ ref {10.4}) se encuentra

\[\frac{\partial \text{H}_{\text{y}}}{\partial \text{z}}=i \omega \epsilon_{\text{r}} \epsilon_{0} \text{E}_{\text{x}} . \label{10.9}\]

\(\vec E\)Tanto como\(\vec H\) en la onda plana de la Ecuación (\ ref {10.2}) satisfacen automáticamente la condición de que sus divergencias sean cero porque son ondas transversales; así se satisfacen las Ecuaciones (\ ref {10.5}) y (\ ref {10.6}). De las ecuaciones (\ ref {10.8}) y (\ ref {10.9}) se puede obtener

\[\frac{\partial^{2} \text{E}_{\text{x}}}{\partial^{2} \text{z}}=-\epsilon_{\text{r}} \epsilon_{0} \mu_{0} \omega^{2} \text{E}_{\text{x}}=-\epsilon_{\text{r}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} \text{E}_{\text{x}} . \label{10.10}\]

De ello se deduce que una onda en el material satisfará las ecuaciones de Maxwell siempre que

\[\text{k}_{\text{m}}^{2}=\epsilon_{\text{r}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} . \label{10.11}\]

Esto significa que hay dos ondas en el material que se pueden utilizar para satisfacer las ecuaciones de Maxwell:

\[\text{k}_{\text{m}}=+\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right) \sqrt{\epsilon_{\text{r}}}=\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)(\text{n}+i \kappa) , \label{10.12}\]

y

\[ \text{k}_{\text{m}}=-\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right) \sqrt{\epsilon_{\text{r}}}=-\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)(\text{n}+i \kappa), \label{10.13}\]

donde

\[\epsilon_{\text{r}}=(\text{n}+i \kappa)^{2}=\left(\text{n}^{2}-\kappa^{2}\right)+2 i \text{n} \kappa , \label{10.14}\]

y n y κ se definen por la Ecuación (\ ref {10.14}).

Si el parámetro κ es mayor que cero el vector de onda (\ ref {10.12}) representa una onda cuya amplitud decae hacia la derecha ya que la constante A en la Ecuación (\ ref {10.2}) se multiplica por el factor

\[\exp \left(-\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right) \kappa \text{z}\right) . \nonumber \]

Por otro lado, el vector onda (\ ref {10.13}) representa una onda cuya amplitud aumenta hacia la derecha en proporción a

\[\exp \left(+\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right) \kappa \text{z}\right) . \nonumber \]

Esta onda que crece hacia el interior del material claramente no puede ser apropiada para el problema actual porque implicaría que la onda estaba siendo amplificada por su paso por el medio pasivo en el medio espacio derecho de la Figura (10.1.1). Se puede concluir que la onda en el material para z≥0 debe tener la forma

\[\text{E}_{\text{x}}=\text{A} \exp \left(-\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right) \kappa \text{z}\right) \exp \left(i\left(\frac{\text{n} \omega}{\text{c}} \text{z}-\omega \text{t}\right)\right) , \label{10.15}\]

y de cualquiera de las ecuaciones (\ ref {10.8}) o (\ ref {10.9})

\[\text{H}_{\text{y}}=\sqrt{\frac{\epsilon_{0}}{\mu_{0}}}(\text{n}+i \kappa) \text{A} \exp \left(-\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right) \kappa \text{z}\right) \exp \left(i\left(\frac{\text{n} \omega}{\text{c}} \text{z}-\omega \text{t}\right)\right) . \label{10.16}\]

Observe que la relación de H _y a E _x es diferente de la caja de vacío:

\[\frac{\text{H}_{\text{y}}}{\text{E}_{\text{x}}}=(\text{n}+i \kappa) \sqrt{\frac{\epsilon_{0}}{\mu_{0}}} , \label{10.17}\]

en contraposición a

\[\frac{\text{H}_{\text{y}}}{\text{E}_{\text{x}}}=\sqrt{\frac{\epsilon_{0}}{\mu_{0}}}=\frac{1}{137} \quad O h m^{-1} \nonumber \]

para espacio libre.

La densidad de energía promedio almacenada en el campo eléctrico viene dada por

\[\text{W}_{\text{E}}=\frac{\vec{\text{E}} \cdot \vec{\text{D}}}{2} \nonumber \]

del Teorema de Poynting y el hecho de que\(\vec D\) es proporcional a\(\vec E\), ver Capítulo (8). La densidad de energía promedio almacenada en el campo eléctrico viene dada por

\[<\text{W}_{\text{E}}>=\frac{1}{4} \operatorname{Real}\left(\vec{\text{E}} \cdot \vec{\text{D}}^{*}\right)=\frac{1}{4} \operatorname{Real}\left(\epsilon_{\text{r}} \epsilon_{0} \text{E}^{2}\right) \nonumber \]

o

\[<\text{W}_{\text{E}}>=\frac{1}{4} \epsilon_{0}\left(\text{n}^{2}-\kappa^{2}\right)|\text{A}|^{2} \exp \left(-\left(\frac{2 \omega}{\text{c}}\right) \kappa \text{z}\right) \quad \text { Joules } / m^{3} . \label{10.18}\]

La densidad de energía promedio almacenada en el campo magnético viene dada por

\ [\ begin {align &=
<\ text {W} _ {\ text {B}} >\ frac {\ mu_ {0}} {4}\ nombreoperador {Real}\ left (\ text {HH} ^ {*}\ derecha)\\ &=
\ frac {\ epsilon_ {0}} {4}\ left (\ text {n} ^ {2} +\ kappa^ {2}\ derecha) |\ texto {A} |^ {2}\ exp\ izquierda (-\ izquierda (\ frac {2\ omega} {\ texto {c}}\ derecha)\ kappa\ texto {z}\ derecha)\ quad\ texto { Julios}/m^ {3}\ nonumber
\ end {align}\]

La suma de estas dos densidades de energía es

\[<\text{W}>=<\text{W}_{\text{E}}>+<\text{W}_{\text{B}}>=\frac{\epsilon_{0} \text{n}^{2}}{2} \quad|\text{A}|^{2} \exp \left(-\left(\frac{2 \omega}{\text{c}}\right) \kappa \text{z}\right) \quad \text { Joules} / m^{3} . \label{10.20}\]

La densidad de energía se desintegra hacia el interior del material como cabría esperar.

El vector Poynting,\(\vec{\text{S}}=\vec{\text{E}} \times \vec{\text{H}}\), tiene solo un componente z

\ [\ begin {align &=
<\ text {S} _ {\ text {z}} >\ frac {1} {2}\ nombreoperador {Real}\ izquierda (\ texto {E} _ _ {\ texto {x}}\ texto {H} _ _ {\ texto {y}} ^ {*}\ derecha)\\ &=
\ frac {\ texto {n}} {2}\ sqrt {\ frac {\ epsilon_ {0}} {\ mu_ {0}}} |\ texto {A} |^ {2}\ exp\ izquierda (-\ izquierda (\ frac {2\ omega} {\ texto {c}}\ derecha)\ kappa\ texto {z}\ derecha )\ quad\ texto {Watts}/m^ {2}\ nonumber
\ end {align}\]

o

\[<\text{S}_{\text{z}}>=\frac{\text{c}}{\text{n}}<\text{W}>\quad \text { Watts } / \text{m}^{2} . \label{10.22}\]

El flujo de energía en la onda se realiza con la velocidad c/n. El número n se llama índice de refracción. En algunas circunstancias el índice de refracción puede ser inferior a 1. En ese caso la velocidad de fase en el material excede la velocidad de la luz en vacío. Parece a primera vista que una velocidad de fase mayor que la velocidad de la luz en vacío debe violar uno de los postulados de la teoría de la relatividad. Sin embargo, no se puede transmitir información usando una onda de amplitud constante que se extiende sobre todo el tiempo de t=-∞ a t=∞. Para transmitir un mensaje se debe modular la amplitud, o la frecuencia, de la onda. Cualquier modulación de este tipo se propaga con la velocidad del grupo; se puede demostrar que la velocidad del grupo es siempre menor que la velocidad de la luz en vacío.

Habiendo determinado el vector onda-de la perturbación generada en el medio espacio lleno de material por la onda electromagnética incidente, queda por calcular la amplitud de esta perturbación en z=0. Para encontrar la amplitud A es necesario aplicar condiciones de contorno apropiadas en E _x y H _y en el plano de interfaz z=0.

Figura\(\PageIndex{2}\): La ecuación de Maxwell\(\operatorname{curl}(\vec{\text{E}})=-\partial \vec{\text{B}} / \partial \text{t}\) requiere que los componentes tangenciales de sean continuos\(\vec E\) a través de cualquier interfaz. Ver el texto.