10.2: Condiciones de contorno
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10.2.1 Los Componentes Tangenciales del Campo Eléctrico.
Aplicar el teorema de Stokes a la ecuación de Maxwell
\[\operatorname{curl}(\vec{\text{E}})=-\frac{\partial \vec{\text{B}}}{\partial \text{t}} \nonumber\]
y el bucle pequeño cuyos lados son L largos y\(\delta\) largos como se muestra en la Figura (10.1.2):
\[\oint \vec{\text{E}} \cdot \vec{\text{d} \text{L}}=-\frac{\partial}{\partial \text{t}} \int \int_{\text {Area }} \vec{\text{B}} \cdot \text{d} \vec{\text{A}}. \nonumber\]
Uno entonces toma el límite a medida que los lados se\(\delta\) contraen a cero. La línea integral del campo eléctrico da
\[\oint \vec{\text{E}} \cdot \text{d} \vec{\text{L}}=\left(\text{E}_{\text{t} 1}-\text{E}_{\text{t} 2}\right) \text{L}, \nonumber \]
donde E t1 es el componente de campo paralelo con L en el material número 1 (vacío en este caso) y E t2 es el componente de campo eléctrico paralelo con L en el material número 2. El flujo del campo magnético a través del bucle va a cero como\(\delta\) va a cero, por lo tanto
\[\left(\text{E}_{\text{t} 1}-\text{E}_{\text{t} 2}\right)=0 \nonumber \]
o
\[\text{E}_{\text{t} 1}=\text{E}_{\text{t} 2} . \label{10.23}\]
En el límite entre dos materiales los componentes transversales de\(\vec E\) deben ser continuos.
10.2.2 Los Componentes Tangenciales del Campo Magnético.
Aplicar el teorema de Stokes a un bucle pequeño como se muestra en la fig (10.2.3):
\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\frac{\partial \vec{\text{D}}}{\partial \text{t}} , \nonumber \]
donde se ha supuesto que no hay corrientes libres en ninguno de los materiales, y no hay densidad de corriente libre superficial en la interfaz entre el número de material (1) y el número de material (2). Por lo tanto
\[\oint_{C} \vec{\text{H}} \cdot \text{d} \vec{\text{L}}=\frac{\partial}{\partial \text{t}} \int \int_{A r e a} \vec{\text{D}} \cdot \vec{\text{d} \text{S}} . \nonumber\]
Al tomar el límite como\(\delta\) se contrae a cero la superficie integral sobre no\(\vec D\) da nada y
\[\left(\text{H}_{\text{t} 1}-\text{H}_{\text{t} 2}\right) \text{L}=0 , \nonumber \]
es decir
\[\text{H}_{\text{t} 1}=\text{H}_{\text{t} 2} . \label{10.24}\]
Los componentes transversales del campo magnético\(\vec H\) deben ser continuos a través del límite entre dos materiales.
10.2.3 El Componente Normal del Campo B.
El componente normal del campo magnético\(\vec B\) debe ser continuo a través de cualquier interfaz como consecuencia de la ecuación de Maxwell\(d i v(\vec{\text{B}})=0\); ver Figura (10.2.4). En la Figura (10.2.4) El teorema de Gauss se aplica a una pequeña caja de paletas que abarca una superficie arbitraria. La altura de la caja de paletas,\(\delta\), se toma para ser tan pequeña que se puede descuidar cualquier contribución a la superficie integral desde los lados de la caja. La continuidad del componente normal de\(\vec B\) es entonces forzada por el requisito de que la integral de superficie de\(\vec B\) sobre la caja de paletas sea cero:
\[\text{B}_{\text{n} 1}=\text{B}_{\text{n} 2} . \label{10.25}\]